Local compactness and homeomorphisms of spaces ofcontinuous functions.pdf Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются вполне регулярными.Символом suppg обозначается множество {г e7;g(r) ^0} для каждой функции g :Y ->■ R.Если А - подмножество в пространстве X, то производным множеством множества^ называется множество всех предельных точек множества А Обозначается производное множество А .Если пространство X можно представить в виде счетного объединения компактных подпространств, то X называют а -компактным. Локально компактное пространство X называется счетным на бесконечности, если представимо в видеX = \]Qi , где каждое Qt является компактом и Qt с mtQi+l для каждого i e N .i=\Линейное гомеоморфное вложение Т : X ->■ Y называют замкнутым, если множество Т(Х) замкнуто в Y .1. О линейной гомеоморфности пространств непрерывных функцийс топологией поточечной сходимости на метризуемыхне локально компактных пространствахС.П. Гулько и О.Г. Окунев [3, с. 20] доказали, что свойство локальной компактности сохраняется отношением /-эквивалентности, т. е. из линейной гомео-1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.62Т.Е. Хмылева, А.Е Нириенноморфности Ср(Х) и Cp(Y и локальной компактности пространства X следует локальная компактность пространства Y.Основным результатом данного параграфа является следующая теорема.Теорема 1. Пусть S, Т - метризуемые не локально компактные пространства, причём производное множество 5* не является компактом, а Т1 - компакт. Тогда пространства CP(S) и СР(Т) не являются линейно гомеоморфными.Рассмотрим основные свойства, которыми обладает пространство S, удовлетворяющее условиям теоремы 1. По условию множество 5* не является компактом. Это означает, что во множестве 5* существует замкнутое дискретное подмножество {s1}^ с S '. Пусть {U(sl ,rt)}^=l - последовательность непересекающихся шаров в пространстве S , причем lim гг■ = О . Поскольку последователь-i->coность {s1 }f=l cS", то для каждого индекса /' е N существует такая последовательность {/}™=1 cS, что lims' = s' и {/j^ cf/(s',/;). Положим^ ^J->O0Ft = {s1- }°°=1 U {s'} для каждого индекса i e N . Нетрудно видеть, что множествоООF = \)F является замкнутым подмножеством в пространстве S .Символом С (F,{s'}f=l) будем обозначать множество {хеС„(F): х(У) = 0 для всех /' е N}. Если при фиксированном номере /' е N рассматривать множество Ft, то для обозначения множества {х е С (Fi): x(s') = 0} будем использовать символ С°р (Ft).Так как точки s'- являются изолированными в пространстве F, то характери-a t=S)стические функции % t (t) = С (X) - линейное гомеоморфное вложение. Тогда для любойООточки t е X ряд ^ \Ре- (t)\ сходится для каждого индекса i e N .Доказательство. Предположим противное. Пусть существует точка t eT,ООтакая, что V | Ре" (I) \ = +оо для некоторого пе N .СОВоспользуемся известным фактом: если 2J\am l = +Q0> т0 существует беско-СОнечно малая числовая последовательность {аш}^=1, такая, что ^afflöffl =+oo.т=\Локальная компактность и гомеоморфизмы пространств непрерывных функций63Применяя данное утверждение к нашему случаю, получим, что существует беско-00нечно малая числовая последовательность {а }°°=1, такая, что ^ а Ре" (I) = +зоУ=1 для некоторого n е N ."оРассмотрим частичные суммы s = ^ а е" для каждого п0 е N, которые по-ООточечно сходятся к функции ^ а е" для некоторого п е N . Ясно, что для каж-ООдого индекса п0 е N и некоторого neN функции sn и ^ае- принадлежатпространству C°(F,{s'}™=l).Тогда для некоторого индекса neN имеемООWqОО(P(Ea/;))(f) = (P( lim s ))(?)= lim (Ps )(?) = lim 2>;Pe;(f) = 2>;Pe;(?) = +»ooЭто противоречит тому, что функция Р( ^ а е") е С (X). шЛемма 2. Пусть P:C°(_F,{5!}^j) ^^(Г) - линейное гомеоморфное вложение. Тогда для любой последовательности {£п}^=1, где kn е N для каждого neN, множество {n : Pel (t) ф 0} конечно для каждой точки t еТ .Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют точка t е Т и последовательность натуральных чисел {kn }"=1, такие, что множество {n : Pel (t) ф 0} бесконечно, и без ограничения общности можно считать, что оносовпадает с N . Поскольку Pel (I) ф 0, то можно рассмотреть числа а„ =Penkß)для каждого neN."опРассмотрим частичные суммы sn = ^ ®-nek для каждого n0 e N, которыеООООпоточечно сходятся к функции ^ ot^e^ . Ясно, что функции sn и ^ ot^e^ при-надлежат пространству C^F,^'}^) при всех n0 e N. Тогда для каждого n0 e N имеемООЩ(P(Z «/; Ж') = (Д Hm s ))(?) = lim (Л )(f) = lim £ anPe," (?) = lim n0 = oo.Но это противоречит тому, что Р(2~1 а„е^ )е Ср СО п=164Т.Е. Хмылева, А.Е НириенноЛемма 3. Пусть neN и Р:С (Fn)->■ С (Т) - линейное замкнутое гомео-морфное вложение. Тогда существует точка tn еТ ', такая, что для любого г е R множество A" r ={j е N :U(tn,r)f] supp Ре" ф ф} бесконечно, где U(tn, г) - окрестность точки tn.Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Пусть для любой точки IеТ ' существует окрестность U(J,r), такая, что множество А"г конечно. Тогда для любой точки veU(t,r) имеет место равенствосоМ2Z Ре" (v) = 2Z Ре1 (v) Для некоторого М е N .i=\i=l"о п Рассмотрим частичные суммы sn = ^ е. , которые принадлежат пространствуг=1"о"оCp(Fn) для каждого номера п0 е N. Ясно, что P(s„0) = Р(^е") = ^Ре" еi=\i=lе Р(С (Fn)) при всех п0 е N. По предположению леммы в каждой точкесоМveU(t,r) имеет место равенство ^Ре"(v) = ^Ре"(v) для некоторого MeN,i=\i=\ООзначит, функция ^Ре" непрерывна в точке IеТ '. Поскольку точка IеТ 'г=\ООбыла выбрана произвольно, то ^ Ре" е С (Г). По условию леммы множествог=\ООР(С (Fn)) замкнуто в С (Т), поэтому функция "^Ре" , которая является пото-г=\чечным пределом последовательности функций {P(sn )}" =1, принадлежит пространству P(C°(Fn)). Поэтому можно рассмотреть ее прообраз относительно Р , и тогда справедливы следующие равенства:ооЩЩЩЩр-\^Ре") = р-\Мт ЪРе") = Р~\Ъш P(2>f)) = Ит {Г\Р^)))= lim 2>f.г=1"о^°°г=1"о^00 г=1"о^00г=1"о^°°г=1"оНо функция Ит ^ е" не принадлежит пространству С (Fn), так как являет-"0 ->«> г=1ся разрывной в точке s". Получили противоречие. ■Лемма 4. Не существует линейного замкнутого гомеоморфного вложенияp-.c^fas'^Lo^c^T).Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует линейное замкнутое гомеоморфное вложение Р: С (F, {s1 }rf=l) ->■ С (Т).Рассмотрим функции е\ е С°р (Fl) для каждого номера те N .По лемме 3 существует точка /j е Г1-1-1, такая, что множество А] г бесконечно. Поэтому можноЛокальная компактность и гомеоморфизмы пространств непрерывных функций65выбрать точку кг е С/(/1;1), такую, что Ре, (кг)фО для некоторого j\ e N . Положим W] = 1. По лемме 2 найдется номер п2 >пх, такой, что Ре"(кх) = 0 при п>п2 и для любого j e N.Рассмотрим функции е"^ е С°р (Fn ) для каждого номера те N. По лемме 3существует точка t2 еТ ', такая, что множество А"21/2 бесконечно. Поэтому можно выбрать точку к2 eU(t2,l/2), такую, что Ре"1 (к2)ф0 для некоторогоJfi2j2 e N . По лемме 2 найдется номер пъ >п2, такой, что Ре"(к2) = 0 при п > пъ и для любого j e N .Продолжая этот процесс, мы получим последовательности точек tt еТ ' и kt е U(tt,l/i), такие, что Ре"' (£.) ф 0 для каждого /' е N и Ре"' (кт) = 0 для ка-ждого i > т .Поскольку Ре1, (кг) ф 0 , то можно подобрать такой коэффициент аг, чтоСр (S) задается формулой (Vx)(t) = Z £ x(s'j )x\ (0 Д113 каждойточки t e S я для каждого индекса i e N .Тогда Р = А о V является линейным замкнутым гомеоморфным вложениемпространства С (F,{sl}f=l) в С (Т), что противоречит лемме 4. Значит, пространства С (S) и С (Г) не являются линейно гомеоморфными. ■Замечание. Аналогично теореме 1, используя леммы 1-3, можно доказать, что пространства С (S) и С (Т) не являются линейно гомеоморфными, если S, Т- метризуемые пространства, причем S не является локально компактным, a T -локально компактное и счетное на бесконечности.2. О гомеоморфности пространств непрерывных функций с компактно-открытой топологиейСимволом СК(Х) обозначается пространство непрерывных вещественнознач-ных функций с компактно-открытой топологией, заданных на вполне регулярном пространстве X. Базу открытых окрестностей произвольной функции f еСк (X)образуют множества вида W(f,K,e)={geC(X):\f(x)-g(x)\ 0. Следующее утверждение хорошо известно.Лемма 5. Пусть пространство X является локально компактным и X = \JQ{ ,где каждое Qi является компактом, Qt cintß!+1 для каждого i e N . Тогда пространство Ск (X) метризуемо полной метрикой„max|/(0-g(0|=12! l+max|/(0-g(OIЛемма 6. Если пространство X является локально компактным и а -компактным, то оно счетно на бесконечности.Доказательство непосредственно следует из определения а -компактности пространства X . шДокажем основную теорему данного параграфа.Теорема 2. Пусть X, Y - вполне регулярные пространства. Пусть, кроме того, X является локально-компактным и а -компактным, а в пространстве Y су-Локальная компактность и гомеоморфизмы пространств непрерывных функций67ществует точка у0 е Y счетного характера, такая, что каждая ее окрестность не является псевдокомпактом. Тогда пространство Ск (X) не гомеоморфно Ск (Y).Доказательство. По условию теоремы 2 пространство X является локально компактным и а -компактным, а значит, по лемме 6 X - счетно на бесконечности. Тогда по лемме 5 пространство Ск (X) метризуемо полной метрикой, а следовательно, по теореме Бэра о категориях не представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.Предположим, что пространства СК(Х) и CK(Y) гомеоморфны. Тогда пространство Ск (Y) также нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Покажем, что это не так.Поскольку точка у0 eY имеет счетный характер, то можно зафиксировать {Un : п е N } - убывающую фундаментальную систему окрестностей точки у0. По условию теоремы каждая окрестность Un, n e N , не является псевдокомпактом, поэтому для каждого п е N можно выбрать замкнутое в Y бесконечное дискретное множество Dn с С/и . Выберем множества Dn так, чтобы они образовы-вали дизъюнктную систему. Нетрудно видеть, что множество D = Ц Dn U {у0}и=1замкнуто в Y.Рассмотрим для каждого п е N множество Fn = {/ е Ск (Y):СОСОЛII Dk U{y0» с [-«,«]} . Покажем, что CK(Y)=\JF„. Пусть / е Ск (Y) иk=nи=1а =| f(y0) |. Пусть п 0е N таково, что п 0> а . Функция / непрерывна в точке у0, следовательно, найдется такая окрестность Uт точки у0, что | /(/) |< п0для каждой точки teUm . Тогда /( Ц Dk\J{y0})c[-n0,n0]. Ясно, что прик=щООп о< т0 выполнено /( Ц DkUlVo» с ["«о■ «о] с \~то-то\> т-е- feFm0-СОСОЕсли же п о > т0, то справедливо включение Ц^с Ц Dk . Значит,к=щк=т()сосо/(ЦЯ*и{Уо})с/(ЦЯки{у0})с[-Ио,Ио],т.е. /6^.k=n(jk=m(jТеперь проверим, что каждое множество Fn, п е N , нигде не плотно в СК (Y). Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, и поэтому остается доказать, что их внутренности пусты. Пусть g e CK(Y) - произвольная функция, a W(g,Q,e) -произвольная стандартная окрестность функции g . Ясно, что для каждого n e N пересечение Qf)Dn конечно, следовательно, найдется точка t0 eDn\Q. Обозначим Q'={t0}UQ. Зададим функцию g'eCK(Q') по формулеg'(t) =

Скачать электронную версию публикации