The limiting distribution of semivariogram estimators ofstationary stochastic fields.pdf В настоящее время для исследования задач геологии, гидрологии, метеороло-гии, экологии и других областей знаний наряду с использованием классическихметодов теории случайных процессов, статистического анализа временных рядоввозникла необходимость разработки и применения новых методов.Вариограммный анализ представляет собой сравнительно новый раздел стати-стического анализа временных рядов, применяемый для исследования таких за-дач. Вариограмма является одной из основных характеристик случайных процес-сов и полей во временной области.За последние десятилетия значительно увеличился интерес к исследованиюстатистических свойств оценок вариограммы. Это можно объяснить тем, чтооценки несут полезную и необходимую информацию о внутренней структурепроцессов и полей.Асимптотические распределения оценок вариограммы стационарных в широ-ком смысле случайных процессов с дискретным и непрерывным временем нахо-дились, например, в [1, 2]. Статистические свойства оценки вариограммы гаус-совского случайного процесса исследовались в статье [3]. Данная работа посвя-щена нахождению предельного распределения оценок семивариограммы стацио-нарного в узком смысле случайного поля.Введем определения [4], которые понадобятся нам в дальнейшем.Определение. Вариограммой k-мерного случайного поля Х(s), s ¶ Zk , Z = {0,€1, €2, …}, k ¶ N, N - множество натуральных чисел, называется функция2¥(s) = D{X(t + s) - X(t)},где t, s ¶ Zk , функция ¥(s) - семивариограмма рассматриваемого поля.Определение. Бивариограммой k-мерного случайного поля Х(s), s ¶ Zk , назы-вается функция вида¤(s1, s2, s3) = 0,25 М{(Х(s1 + t) - Х(t))2 (Х(s3 + t) - Х(s2 + t))2},где s1, s2, s3, t ¶ Zk .Определение. Случайное поле Х(s), s ¶ Nk, называется т-зависимым, т, k ¶ N,если Х(s1), s1 ¶ С, и Х(s2), s2 ¶ D независимы для любых подмножеств С и D мно-жества Nk , для которых выполняется условие40 Т.В. Цеховая, Н.Н. Трушd(C, D) > m,где d(C, D) = inf {|| s1 - s2 ||}, s1 ¶ С, s2 ¶ D,|| s || = max {| s(i) |, i = 1, …, k}, s = (s(1), s(2), …, s(k)) ¶ Nk.Заметим, что в случае k = 1 вышеуказанные определения соответствуют одно-мерному случайному процессу.Рассмотрим стационарное в широком смысле m-зависимое случайное полеX(t), t ¶ Z2, с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функциейRX(t), t ¶ Z2, m ¶ N.Пусть имеется выборка Х(t(1), t(2)) объема п2, п ¶ N, п >> т, двумерного поляХ(t), t ¶ Z2, в точкахQ = {(t(1) , t(2) ), t( j) = 1,n, j = 1, 2} .Обозначим( )(1) (2)11,2( , )jnntjX X t t=== ” . Докажем вспомогательный результат.Лемма 1. Дисперсия статистики Хп удовлетворяет следующему соотноше-нию:( )2 ( )2 (1) (2)11,2{ } ( , ) (1 | |)jm kn Xt m kjD X n R t t t=− = n== ” ’ − , (1)где RX(t(1), t(2)), t(1), t(2)¶Z - ковариационная функция случайного поля Х(t), t ¶ Z2.Доказательство. Используя определение дисперсии, стационарность рас-сматриваемого поля, запишем( ) ( )(1) (2) (1) (2)1 11,2 1,2{ } cov{ ( , ), ( , )}j jn nnt sj jD X X t t X s s= == == ” ” =( ) ( )(1) (1) (2) (2)1 11,2 1,2( , )j jn nXt sj jR t s t s= == == ” ” − − .Сделаем замену переменных суммирования: t - s = t, s = s, где t = (t(1), t(2)), s =(s(1), s(2)). Тогда получим( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1(1) (2) (1) (2)1 1 1 11,2 1,2 1,2 1,2{ } ( , ) ( , )jj j j j jn n n tn X Xt n s t t sj j j jD X R t t R t t− −= − = − = == = = == ” ” + ” ” =( ) ( )( )0 2 1 2(1) (2) ( ) (1) (2) ( )1 1 1 11,2 1,21 2(1) (2) ( )1 11,2( , ) ( ) ( , ) ( )( , ) ( | |).j jjnk kX Xt n k t kj jnkXt n kjR t t n t R t t n tR t t n t−= − = = == =−= − === + + − == −” ’ ” ’” ’В силу того, что случайное поле Х(t), t ¶ Z2, является m-зависимым, m m ,d(t1 + h,t2 ) > m ,d(t1,t2 + h) > m ,d(t1 + h,t2 + h) > m .Объединяя полученные условия, имеем d(t1,t2 ) > m+ | h | , т ¶ N. Теорема до-казана.Теорема 2. Поле T h (t), t = (t(1) , t(2) ), t( j) = 1, n − h( j) , j = 1, 2, h(1) ,h(2) == 0, n −1, n ¶ N, является стационарным в узком смысле.Доказательство. В силу определения l-мерной функции распределения слу-чайного поля T h (t) , учитывая равенство (2), запишем1 1 1 12 21 11( , ..., ; , ..., ) { ( ) , ..., ( ) }( ( ) ( )) ( ( ) ( )){ , ..., },2 ( ) 2 ( )h hl l l ll llFx x t t PT t x T t xY t h Y t Y t h Y tP x xN h N h+ µ + µ = + µ < + µ < =+ + µ − + µ + + µ − + µ= <

Скачать электронную версию публикации