Two-dimensionally ordered groups.pdf 1. Двумерно упорядоченные множестваОпределение линейно упорядоченного множества отталкивается от свойствмножества точек, расположенных на прямой. Поэтому представляется естествен-ным при выработке понятия двумерно упорядоченного множества исходить изсвойств множества точек, расположенных на плоскости. Подобно тому, как напрямой имеется естественный линейный порядок, на плоскости имеется ориента-ция, которую разумно рассматривать как естественный двумерный порядок. Оп-ределение двумерно упорядоченного множества может быть задано либо в аксио-матической форме [1, с. 12], либо через так называемую реализацию множества вℜ2 [1, с. 11]. В данной работе используется определение двумерно упорядоченно-го множества через реализацию на плоскости. Отметим, что определение двумер-но упорядоченного множества в аксиоматической форме и определение черезреализацию на плоскости являются эквивалентными (готовится статья с доказа-тельством их эквивалентности).Для удобства читателя приведем оба определения 2-упорядоченного множества.Определение (в аксиоматической форме). Пусть M - непустое множество ина M3 задана 0.25функциякости. Пусть x,y,z есть точки плоскости ℜ2 . Если обход тройки точек (x,y,z) про-исходит против часовой стрелки, то полагаем ƒ( x, y, z)=1. Если обход происходитпо часовой стрелке, полагаем ƒ(x, y, z) = −1. Наконец, если точки x,y,z расположе-ны на одной прямой, то принимаем ƒ(x, y, z) = 0. Функцию ƒ(x, y, z) назовём есте-ственной ориентацией плоскости ℜ2. Разумеется, функцию ƒ(x, y, z) легко задатькак знак соответствующего определителя.Если для множества AM, |A|0, то {a,b} называется внешнейгранью множества . Более полные сведения о двумерно упорядоченныхмножествах представлены в [1]. А в данной статье мы имеем дело только с дву-мерно упорядоченными множествами. Для произвольного натурального n опреде-ление n-упорядоченного множества в аксиоматической форме дано в [2], некото-рые теоремы об n-упорядоченных группах изложены в [3].2. Двумерно упорядоченные группы. Постановка задачи.Теорема об элементах конечного порядкаПусть на группе G задан двумерный порядок ƒ(x,y,z). Будем говорить, что по-рядок ƒ(x,y,z) согласован с групповой операцией, если для всех элементов x,y,z,aгруппы G выполнено ƒ(ax,ay,az) = ƒ(xa,ya,za) = ƒ(x,y,z). Группу с заданным на нейдвумерным порядком, согласованным с групповой операцией, назовём двумерноупорядоченной группой. Мультипликативная группа комплексных чисел C* слу-жит примером абелевой двумерно упорядоченной группы. Тоболкин А.А. показалкак можно строить неабелевы n-мерно упорядоченные группы, отправляясь отлинейно упорядоченных групп [4].Теорема. 1. Пусть есть невырожденная двумерно упорядоченнаягруппа и для некоторого натурального n выполнено a nZ(G). Тогда aZ(G).Доказательство. Пусть a nZ(G), an+1∉Z(G), где n натуральное.Тогда найдётся такое bG, что b не коммутирует с a. Существует такое k на-туральное, что [ak , b]  e, [ak +1, b] = e, Рассмотрим по отдельности два случая:1) blea, 2) b∉lea.1) Пусть сначала blea. Тогда, по определению прямой в двумерно упорядо-ченном множестве, ƒ(e,a,b)=0. Отсюда, пользуясь инвариантностью ƒ , получаемпоследовательно ƒ(e,a,ba)=0,…, ( , , ƒ e a bak )=0. Итак, элементы множества {b, ba,…, bak } принадлежат прямой lea. Очевидно, что они попарно различны.Далее, существует такой элемент c, что c ∉ lea. В самом деле, если бы все эле-менты группы G принадлежали прямой lea, то ƒ(x,y,z) равнялось бы нулю для всехx,y,zG, что противоречит условию невырожденности двумерного порядка нагруппе G . Итак, ƒ(e,a,c)0. Но ƒ(e,a,c)= ƒ(e,a,ca)0. Отсюда сa∉ lea. Теперь ƒc(x,y) иƒca(x,y) есть линейные порядки на lea. Следовательно, существует ƒ= 1, такое чтодля всех x,y из lea. выполнено ƒc(x,y)=ƒƒca(x,y) [1]. Из ƒ(e,a,c)=ƒ(e,a,ca) следуетƒc(e,a)=ƒca(e,a). Поэтому, , ƒ = 1. Итак, для всех x,y из lea выполнено ƒc(x,y)=ƒca(x,y),то есть ƒ(c,x,y)=ƒ(сa,x,y). Аналогично находим ƒ(c,x,y)=ƒ(с,xa,ya), откудаƒc(x,y)=ƒc(xa,ya).Итак, отношение ƒc(x,y)=1 есть отношение линейного порядка на lea, инвари-антное относительно a-сопряжений. Обозначим отношение ƒc(x,y) =1 через x < y .Пусть, для определённости, ƒc(b,ba)=1. Отсюда ƒ(c,b,ba)=1, 2 ƒ(ca,ba,ba )=1,2 ƒ(c ,ba,ba )=1. Итак, b0, ƒ(e,a,z)>0. (***)Легко видеть, что пятёрка (e,a,x,y,z), удовлетворяющая соотношениям (**) и(***), нереализуема на плоскости. В самом деле, если бы существовала её реали-зация ϕ на плоскости, то из (**) следовало бы, что ϕ(a) лежит внутри треугольни-ка с вершинами ϕ(x), ϕ(y), ϕ(z). С другой стороны, из (***) следовало бы, что точ-ки ϕ(x), ϕ(y), ϕ(z) расположены по одну сторону от прямой, проходящей черезточки ϕ(e), ϕ(a). Итак, предположение о том, что a∉Z(G), ведёт к противоречию.Замечание. Теорема 1 является обобщением теоремы 20 [5].Следствие 1. Множество всех элементов конечного порядка двумерно упоря-доченной группы G есть её нормальная подгруппа.Следствие 2. Если элемент a не принадлежит центру двумерно упорядоченнойгруппы G, то и никакая степень этого элемента ему не принадлежит.

Скачать электронную версию публикации