Non-holonomic torses of the second kind.pdf Двумерное распределение в Е3 - это гладкое отображение ƒ , сопоставляющее М Е3 (или области G Е3) двумерную плоскость ƒ , проходящую через М[2, с. 683; 3, с. 13; 4, с. 19]. По распределению ƒ однозначно определяется урав-нение Пфаффа. Распределение называется голономным, если соответствующееему уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. В этом случае пространство Е3 рас-слаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Если же соответст-вующее уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределениеназывается неголономным. Его интегральные кривые, проходящие через точку М,касаются в этой точке плоскости ƒ и называются кривыми распределения. Пара(М, ƒ ) называется плоским элементом; плоскость ƒ- плоскостью распределения вточке М; прямая l, проходящая через М ортогонально ƒ , - нормалью распределе-ния в точке М. Заметим, что множество всех плоских элементов («график» рас-пределения) представляет собой трёхмерное многообразие, что позволяет исполь-зовать метод внешних форм Картана. Множество единичных векторов нормалейраспределения ƒ образует векторное поле. Таким образом, геометрия неголоном-ного распределения тесно связана с геометрией интегральных кривых не вполне ин-тегрируемого уравнения Пфаффа, а также с геометрией векторного поля.Как известно (см., напр., [5]), для неголономного распределения ƒ определе-ны два важных инварианта: полная кривизна 1-го рода (К1) и полная кривизна2-го рода (К2). Они совпадают тогда и только тогда, когда ƒ голономно. В голо-номном случае К1=К2 есть гауссова кривизна в точке М той интегральной поверх-ности, которая через М проходит. Поверхности нулевой гауссовой кривизны - эторазвёртывающиеся поверхности (или торсы). То есть, если ƒ голономно и для не-го К1=К2= 0, то мы имеем слоение, слоями которого будут торсы. В неголономномслучае, конечно же, никакого слоения нет. При К1= 0 (К2  0) и при К2= 0 (К1  0)получаем распределения с разной геометрией.Определение. Неголономным торсом 2-го рода (НТ-2)называется гладкое не-голономное распределение ƒ на Е3, для которого полная кривизна 2-го рода равнанулю.Итак, для НТ-2 полная кривизна К2 = 0. Так как К2 = (2) (2)k1 k2 , где (2) (2)k1 ,k2 -главные кривизны 2-го рода, то возможны два случая: 1) (2)k1 = 0, (2)k2  0,2) (2)k1 = 0, (2)k2 = 0. Неголономные торсы 2-го рода, для которых выполняетсявторое условие имеют нулевую среднюю кривизну и называются минимальныминеголономными торсами 2-го рода. Их геометрия исследована в работе [6].В данной работе рассматриваются НТ-2, для которых средняя кривизна Н  0 ,то есть одна из главных кривизн 2-го рода отлична от нуля.1. Основные формулы для НТ-2К каждому элементу (M,ƒ) присоединим ортонормированный репер (M,e

Скачать электронную версию публикации