On a necessary condition for a system of normalized elements to be a basis in a Hilbert space.pdf Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением (⋅,⋅) и нор-мой ⋅ . В пространстве H рассмотрим полную и минимальную последователь-ность элементов ϕk. Хорошо известно, что если система {ϕk} является ортого-нальной, то она образует базис пространства H. В противном случае, только свой-ства полноты и минимальности системы не обеспечивают ее базисности. Провер-ка базисности, несмотря на существование различных абстрактных критериев ба-зисности, для конкретных систем составляет существенную трудность. Поэтомуполучение легко проверяемых необходимых условий базисности представляет со-бой весьма актуальную задачу. Одному виду таких условий и посвящена настоя-щая публикация. Работа примыкает к результатам исследований, опубликован-ным в [1, 2].Одно из легко проверяемых условий базисности нормированных систем полу-чено в [1].Теорема 1. [1] Пусть { k}k 1ϕ = - полная нормированная последовательностьвекторов в гильбертовом пространстве l2, такая, что скалярные произведения(ϕk,ϕj) ≥ ƒ, ƒ >0 при k j,k,jN . Тогда данная последовательность векто-ров не является базисом в l2.В этой же работе приведен простой и вместе с тем наглядный пример последо-вательности нормированных векторов гильбертова пространства l2 (скалярныепроизведения между двумя элементами которой равны некоторому числу ƒ > 0),не являющейся базисом в l2.В настоящей работе рассмотрим системы, у которых скалярные произведения(ϕk, ϕj) могут принимать значения разного знака или даже комплексные значения.Проиллюстрируем это на следующем примере.Пример 1. Пусть { } k k 1 g = - базис Рисса [3] гильбертова пространства H. Рас-смотрим последовательность ϕk=g1+gk+1,kN . Покажем, что система{ } k k 1= ϕ , являясь полной и почти нормированной, не образует базиса в H.Проверим сначала, что система { k}k 1= ϕ является полной. Предположим, чтоона не полна. Тогда существует элемент ϕ0 H,ϕ00, ортогональный всем эле-ментам системы { } k k 1= ϕ . Отсюда(ϕ0,ϕk)(ϕ0,g1)+(ϕ0 ,gk+1)= 0,kN .Поэтому ( ) ( ) ϕ0,gk = ϕ0,g j для всех k, j >1. Так как система {gk}k 1= - базисРисса, то существует единственная биортогональная ей система {qk}k 1= , такжеобразующая базис Рисса в H. Величины (ϕ0 , gk) являются коэффициентами Фу-рье биортогонального разложения элемента ϕ0 по базису Рисса { } k k 1 q = . Поэтомуklim( 0 , k) 0gϕ = . Следовательно, (ϕ0,gk)=0 для всех kN. Отсюда ϕ0 = 0.Полученное противоречие доказывает полноту системы { } k k 1= ϕ . Покажем, чтоона не образует базиса. Предположим, что эта система - базис в H. Тогда элементg1 также может быть представлен в виде разложения по этому базису:11k kkg C==ƒ ϕ .Отсюда 1 11 20 1 k k kk kC g C g −= =⎛ ⎞=⎜ − ⎟ +⎝ ⎠ƒ ƒ .В силу базисности системы { } k k 1 g = это эквивалентно11,0, 1.kkkCC k=⎧= ⎪⎨⎪⎩ = ≥ƒОчевидно, что данная система уравнений не имеет решения. Следовательно,система { } k k 1= ϕ не является базисом.Отметим, что в отличие от приведенного примера системы { } k k 1= ϕ , построен-ные по формуламϕ2k−1 =g2k−1, ϕ2k =g2k +ƒg2k −1,где { } k k 1 g = - безусловный базис, могут образовывать базис. Как следует из ре-зультатов нашей работы [4], система { } k k 1= ϕ образует безусловный базис тогда итолько тогда, когдаg2k−1 ≤C g2k .Легко видеть, что система { } k k 1= ϕ из примера 1 обладает тем свойством, что(ϕk,ϕj) ≥ ƒ,ƒ >0 для всех достаточно больших номеров k, j. Следующая тео-рема показывает, что именно наличие данного свойства является причиной неба-зисности системы.Теорема 2. Пусть { } k k 1= ϕ - полная, минимальная, почти нормированная по-следовательность элементов гильбертова пространства H, такая, что скалярныепроизведения(ϕk,ϕj) ≥ ƒ,ƒ >0 (1)для всех достаточно больших номеров k, j. Тогда данная последовательность век-торов не является безусловным базисом в H.Доказательство. Предположим противное - что система { } k k 1= ϕ образуетбезусловный базис в H. Так как эта система - почти нормированная, то она обра-зует базис Рисса в H [3]. Следовательно, биортогонально сопряженная система{ } k k 1= ƒ также образует базис Рисса в H.Пусть (1) выполнено для всех номеров k, j > N0. Элемент ϕk, k > N0, представимв виде биортогонального разложения по базису Рисса { } k k 1= ƒ :ϕ = ƒ ϕ ϕ ƒ. (2)Так как система{ } k k 1= ƒ - почти нормированная, то коэффициенты биортого-нального разложения (2) принадлежат пространству l2. Однако это противоречитусловию (1) теоремы. Полученное противоречие доказывает, что система { } k k 1= ϕне может образовывать безусловного базиса в H. Теорема доказана.Отметим, что результат данной работы наглядно демонстрирует, что полнота иминимальность системы (даже для случая почти нормированных систем) еще негарантирует ее базисности.

Скачать электронную версию публикации