Endomorphic indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 3.pdf Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и V - унитарный левый R-модуль.Множество MR(V) = { f : V  V | f(rx) = rf(x), rR, xV} является почтиколь-цом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементымножества MR(V) называются R-однородными отображениями. Очевидно, чтомножество MR(V) содержит кольцо ER(V) всех эндоморфизмов R-модуля V.R-модуль V называется эндоморфным, если MR(V) = ER(V) ([1]).Абелеву группу G будем называть эндоморфной, если она является эндоморф-ным модулем над своим кольцом эндоморфизмов E(G). В этом случаеME(G)(G) = Z(E(G)), где Z(E(G)) - центр кольца E(G).Множество A называется сильно R-замкнутым, если для любых rR, aAсправедливо raA. Непустое подмножество A левого R-модуля V называетсясильно R-сервантным, если 0  rvA влечет vA для всех rR, vV ([1]).Приведем определения, связанные с квазиразложением абелевой группы икольцом квазиэндоморфизмов.Пусть A и B - абелевы группы без кручения. Говорят, что A квазисодержится вB, если nAB для некоторого натурального числа n. Говорят, что A квазиравна B(A≈B), если A квазисодержится в B и B квазисодержится в A. КвазиравенствоA≈⊕iIAi, где I - конечное множество, называется квазиразложением или квази-прямым разложением группы A. Подгруппы Ai называются квазислагаемымигруппы A. Группа A называется сильно неразложимой, если она не обладает не-тривиальными квазиразложениями.Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить вQ-пространство Q⊗A, которое является делимой оболочкой группы A. Естествен-ный образ вложения подразумевает отождествление элемента aA с элементом1⊗aQ⊗A. Каждый эндоморфизм ƒE(A) единственным образом продолжаетсядо линейного преобразования 1⊗ƒ Q-пространства Q⊗A. Кольцо E(A) содержитсяв EndQ(Q⊗A).Таким образом, E(A)={ƒEndQ(Q⊗A)| ƒAA}. Q-алгебра Q⊗E(A) называетсякольцом квазиэндоморфизмов группы A.Псевдоцоколем абелевой группы без кручения A называется сервантная под-группа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характери-стическими подгруппами (pfi-подгруппами) (обозначим ее Soc A).Неопределяемые нами понятия можно найти в книгах [2 - 4].Лемма 1. Пусть G - абелева группа без кручения конечного ранга n и {g1,g2,…, gn} - максимальная линейно независимая система элементов группы G. Еслисуществуют такие ϕj E(G), что ϕj(ƒ1g1 + ƒ2g2 + … +ƒngn) = ϕƒjgj для всех ƒiZ,i, j = 1,2,…,n, и ϕ1+ϕ2+…+ϕn=ϕ - мономорфизм, то группа G эндоморфна.Доказательство. Пусть fME(G)(G). Тогдаϕj f(ƒ1g1 + ƒ2g2 + … +ƒngn) = f(ϕj(ƒ1g1 + ƒ2g2 + … +ƒngn)) == f(ϕƒjgj)= ϕf(ƒjgj), j=1,2,…,n.Сложим полученные равенства:(ϕ1+ϕ2+…+ϕn) f(ƒ1g1 + ƒ2g2 + … +ƒngn) = ϕ( f(ƒ1g1)+ f(ƒ2g2)+…+ f(ƒngn)).Используя инъективность ϕ, получаемf (ƒ1g1+ƒ2g2+…+ƒngn) = f (ƒ1g1)+f(ƒ2g2)+…+f(ƒngn).Поскольку каждый элемент G может быть записан в виде линейной комбина-ции элементов g1,g2,…gn, то мы делаем вывод, что для любых х, у G выполняетсяравенствоf (x+y) = f (x)+ f (y).Таким образом, f  Z (E(G)). Лемма доказана.В некоторых случаях удается непосредственно указать существование эндо-морфизмов ƒj из леммы 1 (см. доказательства теорем 2, 4); это можно сделать идля ряда классов групп, «насыщенных» эндоморфизмами (класс вполне транзи-тивных групп и др.), см. статью [5].Для кольца квазиэндоморфизмов абелевой группы G фиксируем обозначение S.Теорема 2. Пусть G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга3, такая, что GSoc G. Группа G не является эндоморфной тогда и только тогда,когда dimQ S=2.Доказательство. Достаточность. Пусть {g1,g2,g3} - максимальная линейно не-зависимая система элементов группы G и кольцо S имеет вид ([6])00 0 ,0 0r sS r rsQr=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪.Тогда Soc G=*. При этом *= 〈ƒg⎜ƒN0, g G〉* - сервантная обо-лочка следа N0G в группе G, где N0 = J(E(G))  E(G). Таким образом, группаА=*является сильно E(G)-сервантной и сильно E(G)-замкнутой подгруппой вG. Построим E(G)-однородное отображение f : G  G по следующему правилу:( ) { , ;0, \ .f g g g Ag G A=Пусть 0  хА, уG\А. Тогда f (x+y) = 0  x = f (x)+ f (y).Аналогично проводится доказательство для случаев, когда00 0| , ,0 0r sS r rsQr=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪0 00 |,0 0rS r s rsQr=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪.Необходимость. Предположим dimQ S  2. Тогда кольцо S изоморфно одномуиз следующих колец ([6]):1 0 0| , ,0 0x y zK x xyz Qx=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪,K x ky x y z Q k Q kx=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟    = ⎫⎭⎪⎬⎪,3 0 |,,,0 0x y zK x t x y z t Qx=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪.В каждом случае найдутся эндоморфизмы ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕE(G), удовлетворяю-щие условию леммы 1.1) Если S ≅ K1, то1 2 30 0 0 0 0 00 0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r r r r r rr r E Gr r⎛ − − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,для некоторого rQ.2) Если S ≅ K2, то1 2 30 00 0 00 , 0 0 , 0 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r r kr r r kr r rr kr kr r EGr r⎛ − − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ − ⎟ ϕ = ⎜ ⎟ ϕ = ⎜ ⎟ ϕ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,для некоторого rQ.3) Если S ≅ K3, то1 2 30 0 0 0 0 00 0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r r r r r rr r E Gr r⎛ − − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,для некоторого rQ.Для кольца K1 покажем, что отображения ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ являются эндоморфиз-мами группы G. В других случаях рассуждения те же.Пусть S ≅ K1. Рассмотрим идеалы1 20 0 0 00 0 0 , 0 0 0 .0 0 0 0 0 0q qS q Q S q Q=⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎟⎟⎞⎠  ⎫⎭⎪⎬⎪ = ⎧⎩⎪⎨⎪⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪Аддитивная группа кольца S есть делимая оболочка аддитивной группы кольцаE(G) и E(G)  Si 0, i = 1,2. Следовательно, найдется такое рациональное число r,что ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ  E(G). Таким образом, dimQ S2. Теорема доказана.Интересно проследить взаимосвязь между свойствами эндоморфности и чис-тоты модуля.Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, М - левый R-модуль. ПодмодульА модуля M называется чистым, если всякая конечная система уравнений вида1nij i jir x a=ƒ = (j=1,…,m)с коэффициентами rijR и правыми частями ajA, имеющая решение в M, имеетрешение и в A.Модуль называется чисто простым, если он не содержит в себе собственныхчистых подмодулей, и чисто полупростым, если он изоморфен прямой сумме чис-то простых модулей.Вполне характеристическая подгруппа А абелевой группы G такая, что модульА является чистым подмодулем левого E(G)-модуля G, называется эндочистымподмодулем группы G.Подгруппа А группы G называется сервантным подмодулем в левом E(G)-модуле G, если всякое уравнение вида ϕx=a, где ϕE(G), aA, имеющее решениев G, имеет решение и в A.Понятно, что любой эндочистый подмодуль абелевой группы G является сер-вантным.Чистота в абелевых группах изучалась в работах [7, 8]. Следствием результа-тов этих публикаций и доказанной теоремы является следующее утверждение.Следствие 3. Сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 3, несовпадающая со своим псевдоцоколем, эндоморфна тогда и только тогда, когдаона не содержит сервантных подмодулей.Абелева группа называется жесткой, если ее кольцо эндоморфизмов являетсяподкольцом поля Q.Теорема 4. Пусть G =А⊕В, где А - абелева группа без кручения ранга 1, В -жесткая сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 2. Группа G неявляется эндоморфной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следую-щих условий:1. r(Hom (A, B))=1, Hom (B, A) = 0,2. Hom (B, A) = Hom (A, B) =0.Доказательство. Необходимость. Рассмотрим следующие четыре случая:1) r(Hom (A, B)) = 2 и Hom (B, A) = 0;2) r(Hom (B, A)) = 2 и Hom (A, B) = 0;3) r(Hom (B, A)) = 1 и Hom (A, B) = 0;4) r(Hom (B, A)) = r(Hom (A, B)) = 1.Они в совокупности с равенствами из заключения теоремы полностью исчер-пывают возможные значения рангов групп Hom (A, B) и Hom (B, A).1) r(Hom (A, B)) = 2 и Hom (B, A) = 0.Подгруппа А является порождающим множеством E(G)-модуля G. Тогда длялюбых b1,b2 B существуют ϕ, ƒ  E(G), а1, а2А, такие, что b1=ϕa1, b2=ƒa2. Учи-тывая, что ma1=na2, для некоторых m, nZ, fME(G)(G) имеемmf(b1+b2) = f(mb1+mb2) = f(mϕa1+mƒa2) = f(ϕma1+mƒa2) = f(ϕna2+mƒa2)== f((ϕn+mƒ)a2) = (ϕn+mƒ)f(a2) = ϕnf(a2)+mƒf(a2) = f(ϕna2)+mf(ƒa2) = mf(b1)+mf(b2).Откуда f (b1+b2) = f(b1)+ f(b2).Пусть a  A, b B и eA: G  A, eB: G B - проекции, соответствующие пря-мому разложению группы G. Тогда для любого fME(G)(G) имеемf(a+b) = (eA+eB) f(a+b) = eA f(a+b)+ eBf(a+b) = f(eA(a+b)) + f(eB(a+b)) = f(a)+f(b).Если a1, а2  А, то найдутся и,vZ, такие, что иа1=vа2. Тогда для любогоfME(G)(G) получаемиf (a1+a2) = f(иa1+иa2) = f(vа2+иа2)=(v+и) f(а2) = vf(a2)+иf(a2) == f(va2)+иf(a2) = иf(a1)+ иf(a2).Следовательно, f (a1+a2) = f (a1)+ f (a2).В ситуациях 2) - 4) группа G эндоморфна. Мы укажем лишь эндоморфизмыϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ, удовлетворяющие условию леммы 1.2) r(Hom (B, A))=2 и Hom (A, B) = 0.Кольцо квазиэндоморфизмов S группы G изоморфно кольцу ([9, теорема2.2.3])0 0 ,,, .0 0x y wS y xyuwQy≅⎧⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎛⎝ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪Тогда эндоморфизмы ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ имеют вид1 2 30 0 0 0 0 0 0 00 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r r r rr EGr⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,для некоторого rQ.3) r(Hom (B, A))=1 и Hom (A, B) = 0.Из работы [9, доказательство теоремы 2.2.3] следует, что00 0 ,,, .0 0x uS y xyu Qy≅⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟  ⎫⎭⎪⎬⎪В качестве ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ возьмем эндоморфизмы1 2 30 0 0 0 0 0 0 00 0 0 , 0 0 0 , 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r r r rr r E Gr r⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,для некоторого rQ.4) r(Hom (B, A)) = r(Hom (A,B)) = 1.Кольцо S имеет вид ([9, теорема 2.2.3]):00 , , , .0 0x uS w y xyuw Qz≅⎧⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎛⎝ ⎟⎟⎞⎠  ⎫⎭⎪⎬⎪Тогда в качестве искомых эндоморфизмов достаточно взять следующие:1 2 30 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 , 0 0 , 0 0 0 , 0 0 ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r rr r E Gr r⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠, для не-которого rQ.Достаточность. 1) Пусть r(Hom (A, B))=1, Hom (B, A) = 0.РассмотримHom(A,B)B Aƒ= ƒ ƒ - след А в В. Тогда В - сервантная подгруппа вгруппе В ранга 1. Пусть В = 〈b〉∗ и элементы b , b образуют максимальную ли-нейно независимую систему элементов в В. Тогда подгруппа В= 〈b〉∗ являетсясильно E(G)-замкнутым и сильно E(G)-сервантным подмножеством.Построим E(G)-однородное отображение f:GG по следующему правилу:( ) {, ;0, \ .f g g g Bg G B = Пусть 0хВ, уG\ В. Тогда f(x+y)=0 x=f(x)+f(y). Группа G не эндоморфна.2) Пусть Hom (B, A)=Hom (A, B) = 0.В этом случае Q⊗E(A⊕B)≅ Q⊗E(A)⊕Q⊗E(B). Принимая во внимание изомор-физмы Q⊗E(A)≅Q и Q⊗E(B)≅Q, заключаем, что S≅Q⊕Q. Так как Hom(B, A) == Hom (A,B) = 0, то G разлагается в прямую сумму модулей А и В. Пусть Н - сер-вантная подгруппа ранга 1 группы В, ϕ  E(G), hН. Предположим, что(h) khlϕ = для некоторых k, lZ. Отсюда lϕ(h)=kh, ϕ (h)H. Предположим, чтоϕ(х) = у для некоторых уН, хG. Можем записать k x yl= . Тогда kх =ly, х Н.Следовательно, подгруппа Н является сильно E(G)-замкнутым и сильно E(G)-сер-вантным подмножеством в G. Построим E(G)-однородное отображение f : GGпо следующему правилу:( ) {, ;0, \ .f g g g Hg G H=Пусть 0  хН, уG\H. Тогда f(x+y) = 0  x = f(x)+f(y).Таким образом, группа G неявляется эндоморфной. Теорема доказана.Автор благодарен доценту Любимцеву О.В. за постановку задачи и профессо-ру Чехлову А.Р. за ценные замечания по доказательству теорем, а также кафедреалгебры Томского государственного университета за внимание к работе автора.

Скачать электронную версию публикации