To the theory of two-dimensionally ordered fields.pdf 1. Двумерно упорядоченные поляЭта работа является продолжением исследований, начатых в [1-3]. Другой (неэквивалентный) подход к теории двумерно упорядоченных полей представлен вработах Novoa L.G. [4]. Определение линейно упорядоченного множества в дан-ной статье сформулировано, исходя из свойств расположения трёх точек на ори-ентированной прямой. Подобно этому, определение двумерно упорядоченногомножества, используемое в данной статье, построено, исходя из свойств располо-жения пяти точек на ориентированной плоскости. Более подробное изложениеприведено в [1]. Что касается подхода Novoa L.G. [4], то определение двумерноупорядоченного множества даётся через свойства множеств из 7 точек, что суще-ственно затрудняет работу с этим определением. Далее мы всюду пользуемся оп-ределением двумерно упорядоченного множества, изложенным в [1].Для удобства читателя приведём краткую сводку сведений о двумерно упоря-доченных полях. Пусть в поле P задан двумерный порядок ƒ(x,y,z). Говорят, чтодвумерный порядок ƒ(x,y,z) согласован с алгебраическими операциями в поле P,если для всех a,x,y,z P, a0, выполнено ƒ(a+x,a+y,a+z) = ƒ(ax,ay,az) = ƒ(x,y,z).Обозначим через Pu множество всех таких xP, что ƒ(0,1,x) ≥ 0. Множество Puназовём верхним конусом двумерного порядка ƒ(x,y,z). Аналогично тому, как по-ложительный конус в поле определяет линейный порядок в поле, верхний конусPu определяет двумерный порядок в поле P . Обозначим через P0 множество всехтаких xP, что ƒ(0,1,x) = 0. Можно сказать, что P0 есть прямая, проходящая черезточки 0 и 1. Множество P0 назовём базой двумерного порядка ƒ(x,y,z). Двумерныйпорядок ƒ(x,y,z) индуцирует линейный порядок ≥ на базе P0 следующим образом.Фиксируем b ∉ P0. Примем, для определённости, что ƒ(b,0,1)>0. Пусть x,y  P0.Если ƒ(b,x,y) ≥ 0, то полагаем y ≥ x. Бинарное отношение y ≥ x является линейнымпорядком на P0. Относительно линейного порядка база P0 является линейно упо-рядоченным полем (Подробности и доказательства см. в [1].) Введём ещё множе-ство (открытый верхний конус)oPu=Pu\P0.Пусть aP - трансцендентный элемент над P0 . Так как P0(a)  P, то P0(a) какподполе двумерно упорядоченного поля также двумерно упорядочено. Сужениедвумерного порядка ƒ(x,y,z) на поле P0(a) будем по-прежнему обозначать черезƒ(x,y,z), если это не вызовет недоразумения. Таким образом, в поле P0(a) задандвумерный порядок ƒ(x,y,z), согласованный сВведём функции ϕ,ƒa в поле P0(a):Функция ƒa .Пусть xP0 [a]. Положимƒa (x) = { rP0| ra u x}.Если (ƒa− (x), ƒa+ (x) ) есть фундаментальное сечение в P0, то элемент из 0 P

Скачать электронную версию публикации