Stochastic model of dynamic relative increments stock price.pdf При описании стоимости ценных бумаг на финансовых рынках широко ис-пользуется модель геометрического броуновского движения [1, 2]. Согласно этоймодели, стоимость актива St как функция времени t подчиняется стохастическомудифференциальному уравнению Ито видаdSt= ƒStdt + ƒStdWtгде постоянные ƒ и ƒ соответственно дрейф и волатильность; Wt - стандартныйвинеровский процесс.В настоящее время становится ясно, что такая модель не является состоятель-ной [3] и не учитывает многие важные особенности рынка [4, 5]. Чтобы учестьразличного рода наблюдаемые закономерности, были введены модели со стохас-тической волатильностью [1, 2, 6 - 9], согласно которым волатильность рассмат-ривается как случайная переменная и в общем случае как функция ƒ = ƒ (Y(t)) не-которого стохастического процесса Y(t).В настоящей работе будет рассмотрен стохастический процессR(t)=(St+1−St)/St, описывающий относительные приращения цен акций. Суще-ствует множество моделей определения его коэффициентов, например метод мо-ментов, метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, ко-торые путем некоторой процедуры варьирования параметров достаточно хорошовоспроизводят вероятностные плотности ценовых приращений, или описыватьотдельные наблюдаемые закономерности, однако сделать однозначный вывод отом, какая из моделей наиболее адекватна предложенным эмпирическим данным,не представляется возможным. Кроме того, не ясно, способна ли какая-либо мо-дель детерминировать весь спектр наблюдаемых эффектов одновременно.Рассмотрим обобщённую модель Ито [1, 2, 8, 9]dRt= ƒ(R,t)dt + ƒ(t)dWt, (1)где на функции коэффициента дрейфа и диффузии выдвигаются стандартные ус-ловия( ( , )) , ,( ) , .D Rt tt tƒ ƒi.Как известно, в случае марковского процесса условные плотности должныудовлетворять уравнению Чэпмена - Колмогороваp(R1,ƒ1|R2,ƒ2)= p(R1,ƒ1|R,ƒ)p(R,ƒ|R2,ƒ2)dR, (2)где 1 1 2 21 1 2 22 2( , | , ) ( , ; , )( , )p R R p R Rp Rƒ ƒƒ ƒ =ƒ(3)Анализируя исходные данные, легко найти условные плотности распределе-ния; проводя численное интегрирование, можно получить следующие результаты,которые представлены на рис. 2 и 3. Из рис. 3 видно, что процесс R - марковскийслучайный процесс.-0,02 -0,01 0,02 R1-0,010,01R2p(R1,ƒ1|R2,ƒ2)Рис. 2. Двумерная плотность распределения p(R1,ƒ1|R2,ƒ2),где ƒ1 = 10 мин, ƒ2 = 15 минКак не раз оказывалось на практике, волатильность является стохастическимпроцессом, который описывается следующим уравнением [13]:dƒ = ƒ(ƒ)dt+ ƒ(ƒ)dZ, (4)где ƒ(ƒ) - коэффициент сноса для волатильности; ƒ(ƒ) - волатильность волатильно-сти, а dZ - приращения винеровского случайного процесса. Будем полагать процессƒ(t) стационарным, поэтому параметры уравнения (4) не зависят от времени.Будем искать волатитльность волатильности в виде νƒγ [13], для этого возве-дём левую и правую часть (4) в квадрат и получим(dƒ)2=ƒ2(ƒ)dt ,так как (dZ)2 = dt, (dt)2 = 0, dt·dZ = 0. Из имеющихся значений волатильности длявсех шести временных серий найдём (Δƒ)2, а также среднее значение M[(Δƒ)2]. Та-ким образом, можно получить следующую зависимость:M[(ƒƒ)2] = ƒ2(ƒ)ƒt .Положим ƒ(ƒ) = νƒγ, а также напомним, что ƒt = ƒ. Затем, логарифмируя, получимln(M[(ƒƒ)2]) = ln(ƒ2ƒ) + 2ƒ ln(ƒ) .На основе линейной регрессионной модели находимƒ = 6,178; ƒ = 0,509,результаты представлены на рис. 5.ƒƒ0 -12 -11 -10 -9 -8-4-8-12-16реальные данныесглаженные значенияln(M[( )2])ln(ƒ)Рис. 5. Зависимость ln(M[(Δƒ)2]) от ln(ƒ)Таким образом, ƒ(ƒ) = νƒγ.Чтобы определить ƒ(ƒ), рассмотрим плотность вероятности p(ƒ, t). Плотностьэтой вероятности определяет уравнение Фоккера-Планка( ) ( )22212p p pt  = ƒ − ƒ ƒ ƒ. (5)Теперь предположим, что нам известна плотность вероятности p(ƒ, t) в ста-ционарном состоянии, обозначим её p∞(ƒ), тогда уравнение (5) перепишется сле-дующим образом:( ) ( )2220 12p p = ƒ − ƒƒ ƒ. (6)Проинтегрировав один раз уравнение (6), получаем выражение для коэффици-ента сноса волатильности( ) 1 ( 2 )2pp ƒ ƒ = ƒƒ.Распределение p∞(ƒ), как видно из рис. 6, логнормальное. Тогда аналитическоевыражение для данной плотности примет вид22ln212 p e aa⎛ ƒ ⎞− ⎜⎝ ƒ ⎟⎠ =ƒ ƒ.где ln ƒ характеризует математическое ожидание ln ƒ , а a - дисперсию. Графики,полученные для α(ƒ), можно увидеть на рис. 7.0204060801,7199⋅10-6 0,0002 0,0004 0,0005 0,0007 0,0009 ƒРис. 6. Плотность распределения волатильности (ƒ=15мин)1000-100-200ƒ(ƒ)0,02 0,04 0,06 ƒРис. 7. Коэффициент сноса для волатильности. На графике снизу-вверхпредставлены коэффициенты сноса для ƒ = 1, 5, 10, 15, 30, 60 минВ настоящее время знания о случайном и детерминированном характере про-цессов, лежащих в основе эволюции финансовых рынков, в значительной мереограничены. При условии, что относительные ценовые приращения R представ-ляют собой марковский процесс на временной шкале t, было показано, что непо-средственно из эмпирических данных могут быть получены коэффициенты обоб-щённого уравнения Ито (1). В частности, были посчитаны коэффициенты ƒ и ƒдля процесса стохастической волатильности, что позволяет строить краткосроч-ные прогнозы и доверительные интервалы для волатильности, которые широкоиспользуются для оценивания опционов и прогнозирования цены активов.

Скачать электронную версию публикации