On torsion-free abelian groups with ua-rings of endomorphisms.pdf Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо R называется кольцом соднозначным сложением (UA-кольцом), если на его мультипликативной полу-группе (R, ∗) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающуюее в кольцо (R, ∗, +) [1 - 3].Абелеву группу, имеющую UA-кольцо эндоморфизмов, мы будем называтьEnd-UA-группой.В настоящей статье получено описание почти вполне разложимых и сильнонеразложимых End-UA-групп без кручения. Далее всюду под словом «группа»понимается абелева группа.Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А≈В), если А квазисодер-жится в В и В квазисодержится в А (если nA  B, mB  A для некоторых n, mN).Квазиравенство А≈⊕iI Аi, где I - конечное множество, называется квазиразложе-нием, или квазипрямым разложением, группы А. При этом подгруппы Аi называ-ются квазислагаемыми группы А. Группа называется почти вполне разложимой,если она квазиравна вполне разложимой группе.Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить в Q-пространство Q⊗A, которое является делимой оболочкой группы A. Естественныйобраз вложения подразумевает отождествление элемента aA с элементом1⊗aQ⊗A. Каждый эндоморфизм ƒE(A) единственным образом продолжаетсядо линейного преобразования 1⊗ƒ Q-пространства Q⊗A. Кольцо E(A) содержитсяв EndQ(Q⊗A).Таким образом, E(A)={ƒEndQ(Q⊗A)| ƒAA}. Q-алгебра Q⊗E(A) называетсякольцом квазиэндоморфизмов группы A. Далее для кольца Q⊗Е(А) примем обо-значение S.Заметим, если S - UA-кольцо, то E(A) тоже будет UA-кольцом. Действительно,новое сложение в кольце E(А) индуцирует новое сложение в кольце S.Псевдоцоколем абелевой группы без кручения A называется сервантная под-группа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характери-стическими подгруппами (pfi-подгруппами) - обозначим ее Soc A.Прямое слагаемое А ранга 1 называется полусвязанным, если в его дополни-тельном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которогосравним с типом А. При этом группу, каждое прямое слагаемое ранга 1 которойполусвязано, назовем полусвязанной. Пусть ƒ(A) множество всех типов прямыхслагаемых ранга 1 вполне разложимой группы A. Тип ƒƒ (A) назовем изолиро-ванным, если никакой другой тип из ƒ(A) не сравним с ƒ. Неопределяемые намипонятия можно найти в [4].Вспомним полезный для дальнейшего изложения результат: кольцо R будетUA-кольцом тогда и только тогда, когда любой изоморфизм мультипликативныхполугрупп колец ƒ: RS является изоморфизмом колец [1 - 3].Теорема 1. Пусть G - почти вполне разложимая группа без кручения конечно-го ранга и А = ⊕ni=1Ai - ее полное квазиразложение. Тогда G является End-UA-группой в том и только том случае, если множество ƒ(А) не содержит изолиро-ванных типов.Доказательство. Достаточность. Имеем S=⊕ ki,j=1 eiSej, где ei, ej, - идемпо-тентны кольца S, соответствующие прямым квазислагаемым данного квазиразло-жения группы G.Покажем, что кольцо S является UA-кольцом. Согласно [3, теорема 2.12.], дос-таточно проверить, чтоL (eiSej)  eiSei = 0 (∗)или R (ejSei)  eiSei = 0, (∗∗)для любого индекса i, j{1,…,k} (здесь L (eiSej) и R (ejSei) - левый и правый анну-ляторы подколец eiSej и ejSei соответственно).Известно, что eiSei ≅ Q⊗E(eiG). Так как Аi является группой ранга 1 без круче-ния, то имеем изоморфизм eiG≅Аi. По условию теоремы, для любого индексаi{1,…,k} найдется индекс j{1,…,k}, такой, что t(ejG)≥ t(eiG) (или наоборот). По-кажем, что для любого 0ϕeiSei найдется ƒejSei, такой, что ƒϕ0.Пусть ϕ(х)=у0 для некоторого хQ⊗eiG. Найдется nN, такой, что nxeiG.Далее, mϕ(nx)eiG для некоторого натурального m, то есть справедливо mϕ(nx)eiG, mϕ(nx)= mnϕ(x)=y0, где yeiG.Пусть W=eiV, U=ejV, где V - делимая оболочка группы G. Если 0ƒejSei, тоƒHom(W,V), причем найдется такое kN, что kƒ(eiG)ejG≅Aj. Следовательно, ог-раничение kƒ на eiG есть мономорфизм из eiG в ejG. Поэтому kƒ(y)= y 0.Заметим теперь, что если ƒ(mϕ)0 для некоторого ƒejSei, то ƒϕ0. Положимƒ=kƒ. Тогда ƒ(mϕ)(nx)=ƒ( y)= kƒ(y)=y0 и равенство (∗∗) выполнено. Следова-тельно, кольцо S является UA-кольцом. На основании сделанного во введении за-мечания заключаем, что E(G) - UA-кольцо.Необходимость. Докажем утверждение для случая А=А1⊕А2 (доказательствораспространяется на случай большего ранга группы А). Предположим противное:тип t(А1) не сравним с типом t(А2). Тогда eiSej=0 при i j. Далее, так как Аi - группаранга 1, то eiSei ≅ Q. Следовательно, S≅ QQ.В работе [2] (после следствия 2 к теореме 3) имеется такое замечание: если Rне UA-кольцо, то для любого кольца T, в свою очередь, RT не является UA-кольцом. Применяя это утверждение к кольцу S≅ QQ, заключаем, что S неUA-кольцо (см. также [1, лемма 2.5]).Покажем, что E(G), будучи подкольцом в S, также не является UA-кольцом.Построим мультипликативный автоморфизм ϕ кольца E(G), полагая ϕ(a,b)==(−1)k(a,b), где k находится из равенства a=pka, (p,a)=1 (наименьший общий де-литель p и a' равен 1).Очевидно, что ϕ - биекция. Кроме того, если a1=pua1, a2= pva2, тоϕ[(a1,b1)( a2,b2)] = ϕ[a1a2, b1b2] = ϕ[ pu+va1 a2,b1 b2] == (-1)u+v(a1 a2,b1 b2) = ϕ[(a1,b1)]ϕ[( a2,b2)].Следовательно, ϕ сохраняет умножение. Так как ϕ (p(1,1)) = ϕ(p,p) = -(p,p)  (p,p) = pϕ(1,1), то ϕ не является кольцевым автоморфизмом кольца E(G). Проти-воречие. Теорема доказана.Доказанная теорема находит свое применение в проблеме определяемостиабелевых групп.Говорят, что абелева группа AX определяется своим кольцом эндоморфизмовE(A) в классе абелевых групп X, если всякий раз из изоморфизма E(A)≅E(B), гдеBX, следует изоморфизм A≅B. По аналогии вводится понятие определяемостиабелевой группы полугруппой эндоморфизмов.Следствие 2. Пусть G - почти вполне разложимая группа без кручения иА=⊕ ni=1 Ai - ее полное квазиразложение. Если множество ƒ(А) не содержит изо-лированных типов и группа G определяется своим кольцом эндоморфизмов в не-котором классе абелевых групп, то она определяется своей полугруппой эндо-морфизмов в этом классе.Чтобы привести пример группы, не являющейся эндоморфной, обратимся ксильно неразложимым группам без кручения ранга 2, для которых кольцо E(G) неявляется подкольцом кольца рациональных чисел. Такие группы хорошо изучены(см., напр. [5]). В этой ситуации возможны следующие случаи [5, § 3]:1. Группа G - сильно неразложима, при этом dimQS=2.2. Группа G - сильно неразложима, при этом { | , }0S q r qr Qq≅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠.Заметим, что, если S≅Q, то S и, следовательно, E(G) не являются UA-кольцами.Для доказательства следующего утверждения нам будут полезны некоторыепонятия и результаты, касающиеся однородных отображений модулей.Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, V - унитарный левый R-модуль.Множество MR(V) = {f : V  V | f(rx) = rf(x), rR, xV} является почтикольцомотносительно операций сложения и композиции отображений. Элементы множе-ства MR(V) называются R-однородными отображениями. Очевидно, что множест-во MR(V) содержит кольцо ER(V) всех эндоморфизмов R-модуля V.В работе [6, Предл. 2.4] доказано, что, если MR(V)= ER(V) для всех R-модулейV, то R - UA-кольцо.Теорема 3. Сильно неразложимая группа G без кручения ранга 2 являетсяEnd-UA-группой в том и только том случае, когда G не совпадает со своим псев-доцоколем Soc G.Доказательство. Необходимость. Предположим, что G = Soc G. Тогда S≅Qили S - квадратичное поле, причем dimQS=2. В обоих случаях кольцо S не являет-ся UA-кольцом, так как, например, мультипликативный изоморфизмƒ:SS, 10, 0;( ), 0xxx− xƒ =⎧⎨ =⎩ не является изоморфизмом колец. Поэтому G - не End-UA-группа.Достаточность. Пусть G не совпадает со своим псевдоцоколем Soc G.Тогда { | , }0S q r qr Qq≅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠. Пусть V - унитарный левый S-модуль, fMS(V) иx,yV. Имеем1 1 ( ) 1 1( ) (),0 1 0 1f x y f x y f x ⎛⎜ −⎞⎟ + = ⎛⎜⎛⎜ −⎞⎟ + ⎞⎟=⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠0 1 ( ) 0 1 ( ) ( ).0 0 0 0⎛⎜ ⎞⎟f x+ y = f⎛⎜⎛⎜ ⎞⎟ x+ y ⎞⎟= f y⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠Сложив данные равенства, получим f(x+y) = f(x) + f(y). Поэтому fES(V) иMS(V)=ES(V). Из работы [6, Предл. 2.4] следует, что кольцо S является UA-коль-цом. Следовательно, кольцо E(G) так же является UA-кольцом. Теорема доказана.Авторы признательны профессору Чехлову А.Р. за полезные замечания, кол-лективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание кработе.

Скачать электронную версию публикации