Proper fully invariant subgroups of torsion freegroups isomorphic to the group.pdf В теории абелевых групп одним из направлений исследований является изуче-ние групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе. В [1]Р. Бьюмонт и Р. Пирс рассматривали такие группы: I-группы - группы, изоморф-ные собственной подгруппе; IP-группы - группы, изоморфные собственной сер-вантной подгруппе; ID-группы - группы, изоморфные собственному прямомуслагаемому. Г. Монк в [2] исследовал абелевы p-группы, не содержащие собст-венные сервантные плотные подгруппы, изоморфные самой группе. В [3] рас-сматриваются группы, изоморфные подгруппам той же мощности, что и самагруппа. В [4-6] исследовались примарные IF-группы, т.е. группы, содержащиесобственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.В настоящей статье исследуются абелевы группы без кручения, изоморфныенекоторой собственной вполне характеристической подгруппе. Нам понадобитсяследующая теорема.Теорема 1. ([7]) Пусть A - абелева группа, 0 p pA =R⊕D ⊕⎛⎜⊕D ⎞⎟⎝ ⎠, где R - реду-цированная группа, D0 - делимая группа без кручения, Dp - делимые p-группы.Подгруппа S группы A вполне характеристична в A тогда и только тогда, когдаона имеет один из следующих двух видов:1) ' k pp pS=R⊕⎜⎝⎛⊕D ⎡⎣p ⎤⎦⎟⎠⎞, где p pR = ⊕R - периодическая вполне характери-стическая подгруппа группы R (Rp - p-компонента группы R ) и( ) { } sup | p p k er r R ≥  (kp - целое неотрицательное число или символ );2) ' 0 p pS=R⊕D ⊕⎛⎜⊕D ⎞⎟⎝ ⎠, где R - вполне характеристическая подгруппагруппы R.Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивнозаписанную абелеву группу.Рассмотрим группы без кручения, которые содержат собственные вполне ха-рактеристические подгруппы, изоморфные самой группе.Теорема 2. Группа без кручения A содержит собственную вполне характери-стическую подгруппу, изоморфную самой группе, тогда и только тогда, когда A -неделимая группа.Доказательство. Необходимость. Пусть A - группа без кручения, которая со-держит собственную вполне характеристическую подгруппу S, изоморфнуюгруппе A. Предположим, что A - делимая группа. По теореме 1 получаем, чтоS = A, что противоречит, тому, что S - собственная подгруппа группы A.Достаточность. Пусть A - группа без кручения, не являющаяся делимойгруппой. Существует такое натуральное число n, отличное от 1, что nA  A. Рас-смотрим S = nA. Тогда S - вполне характеристическая подгруппа группы A. Таккак A - группа без кручения, то S ≅ A. Значит, A содержит собственную вполнехарактеристическую подгруппу, изоморфную самой группе. Таким образом, группа без кручения, не являющаяся делимой, всегда содер-жит собственную вполне характеристическую подгруппу вида nA, изоморфнуюсамой группе. Будем рассматривать далее группы без кручения, которые имеютсобственную вполне характеристическую подгруппу, отличную от nA, изоморф-ную самой группе.Определение. Группу без кручения A назовем IF-группой, если она содержитсобственную вполне характеристическую подгруппу, отличную от nA, котораяизоморфна самой группе.Из теоремы 2 следует такой результатТеорема 3. Делимая группа без кручения не является IF-группой.Теорема 4. Нередуцированная группа без кручения A является IF-группой то-гда и только тогда, когда ее редуцированная часть является IF-группой.Доказательство. Необходимость. Пусть A - нередуцированная группа безкручения. Тогда она имеет вид A = R ⊕ D0, где D0 - делимая группа без кручения,R - редуцированная группа без кручения. Пусть A - IF-группа, тогда существуеттакая вполне характеристическая подгруппа S группы A, что S ≅ A, S  A и S  nA.По теореме 1 S имеет следующий вид: S=R'⊕D0 , R - вполне характеристиче-ская подгруппа группы R. Так как A = R ⊕ D0 и S ≅ A, то получаем, что R ≅R иR - собственная подгруппа группы R. S  nA, следовательно,R⊕D0n(R⊕D0)=nR⊕D0 . Получаем, R nR. Значит, R - IF-группа.Достаточность. Пусть A - нередуцированная группа без кручения.A = R ⊕ D0, где R - редуцированная группа без кручения, D0 - делимая группа безкручения. Пусть R - IF-группа. Тогда существует вполне характеристическая под-группа R группы R такая, что R ≅R, R R и R nR для каждого n  N. Рас-смотрим группу S=R'⊕D0 . S - собственная вполне характеристическая под-группа группы A, S ≅ A и S  nA. Следовательно, A - IF-группа. В силу теорем 3 и 4 будем рассматривать далее только редуцированные группы.Основными понятиями для групп без кручения являются понятия характери-стики и типа.Характеристикой называется последовательность неотрицательных целыхчисел и символов . Обозначим через X множество таких последовательностей.Если ƒ1 = (k1 , … , kn , …) и ƒ2 = (l1, … , ln , …), то полагают ƒ1 ≤ ƒ2, тогда и толькотогда, когда kn ≤ ln для всех n  N.Пусть A - группа без кручения. Для элемента a  A максимальное целое неот-рицательное число k при данном простом числе p, для которого в группе A разре-шимо уравнение pk x = a, называется p-высотой hp (a) элемента a; если такогочисла не существует, то полагаем hp (a) = . Последовательность p-высотƒ(a)=(hp1,…,hpn,…),где p1, … , pn, … - последовательность всех простых чисел, упорядоченных повозрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностьюэлемента a. Так как характеристика элемента a зависит от группы A, иногда пи-шут ƒA (a), чтобы подчеркнуть роль A.Если ƒ1 = (k1 , … , kn , …) и ƒ2 = (l1, … , ln , …) - характеристики, то их суммаопределяется как характеристикаƒ1+ ƒ2=(k1+l1,…,kn+ln,…),а их разность при ƒ1 ≥ ƒ2 определяется как характеристикаƒ1− ƒ2=(k1−l1,…,kn−ln,…),где, естественно,  плюс (минус) нечто есть . Заметим, что для указанных опе-раций над характеристиками в [8] используется мультипликативная запись, длянаших исследований удобнее аддитивная запись этих операций. Характеристика ƒназывается идемпотентной, если ƒ + ƒ = ƒ.Две характеристики (k1 , … , kn , …) и (l1, … , ln , …) называются эквивалент-ными, если неравенство kn  ln имеет место лишь для конечного числа номеров n итолько тогда, когда kn и ln конечны. Класс эквивалентности в множестве характе-ристик называется типом. Если ƒ (a) принадлежит типу t, то говорят, что элементa имеет тип t, и пишут t (a) = t или tA (a) = t, если необходимо указать, что типэлемента a рассматривается в группе A.Группа без кручения A называется однородной (типа t), если все ее ненулевыеэлементы имеют один и тот же тип t.Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу.Другими словами, пишутt = (k1 , … , kn , …),понимая, что характеристику (k1 , … , kn , …) можно заменить на эквивалентную.Для двух типов t1 и t2 полагают t1 ≤ t2, если существуют две такие характеристикиƒ1 и ƒ2, принадлежащие типам t1 и t2 соответственно, что ƒ1 ≤ ƒ2.Так как сложение характеристик согласовано с отношением эквивалентности вмножестве характеристик, то в множестве типов можно ввести, естественным об-разом, сумму и разность типов, а также понятие идемпотентного типа (t = t + t).Обозначим через ƒ - множество всех простых чисел, перенумерованных в по-рядке возрастания. Тип t называется pk-делимым (pk  ƒ), если для всякой харак-теристики v  t имеем v(k) = . Заметим, что если A - однородная группа типа t итип t - pk-делим, то pk A = A.Пусть t - некоторый тип. Рассмотрим характеристики v, удовлетворяющиеследующим условиям:а) v = (v(1), v(2), … , v(n), … ) ≤ w для некоторой w  t;б) v(k) = , если тип t pk-делим.Обозначим множество, состоящее из всех характеристик, удовлетворяющихсвойствам а), б), и характеристики, членами которых являются только символы ,через F (t).Пусть A - группа без кручения. Если v  X, то обозначим через A (v) следую-щую подгруппу группы A: A(v) ={aA|ƒ(a)≥v}. A (v) - вполне характеристи-ческая подгруппа группы A. Заметим, что если A -редуцированная группа и ха-рактеристика v состоит только из символов , то A (v) = 0.Редуцированная группа A без кручения называется ƒ-группой, если всякая еевполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = A (v), где v - некоторая ха-рактеристика [7]. Редуцированная группа A называется вполне транзитивной, ес-ли для любых двух ее элементов a и b, для которых ƒ (a) ≤ ƒ (b), существует эндо-морфизм ƒ этой группы, такой, что ƒ (a) = b [10].Пусть A - однородная ƒ-группа типа t. В [9] доказано, что любая вполне харак-теристическая подгруппа S группы A единственным образом представима в видеS = A (v), где v - некоторая характеристика, принадлежащая F (t). Заметим, чтоесли v  F (t), где v = (v(1), v(2), … , v(n), … ), и v ≤ w, где w = (w(1), w(2),…, w(n), …) t, то тип группы A (v) определяется характеристикойw−v=(w(1) −v(1),w(2) −v(2),…,w(n) −v(n) ,…).Теорема 5. Однородные ƒ-группы не являются IF-группами.Доказательство. Пусть A - однородная ƒ-группа типа t. Предположим, что A- IF-группа. Тогда существует такая вполне характеристическая подгруппа Sгруппы A, что S ≅ A и S  nA. Имеем S = A (v), где v F (t). A (v) - однороднаягруппа. Так как S ≅ A, то A (v) ≅ A, и, следовательно, тип группы A (v) совпадает стипом группы A.Учитывая, что v  F (t), получаем существование такой характеристикиw = (w(1), w(2), … , w(n), … ), принадлежащей типу t, такой, что v ≤ w. ПустьI(w) ={iN|w(i) 0 и w(i)  }.Рассмотрим вначале случай, когда тип t не является идемпотентным. ИмеемI (w) - бесконечное множество. Так как v  F (t), то v(i) = w(i) при iN \I(w) .Пусть I  - подмножество множества I (w), состоящее из всех натуральных чиселi, для которых v(i)  0. Так как A (v) - собственная подгруппа группы A, то I   ∅ .Имеем w(i) - v(i)  w(i) для всякого iI . Учитывая, что тип группы A (v) определя-ется характеристикой w - v и t (A (v)) = t (A), получаем, что I  - конечное множе-ство. Пустьv(i)ii In p = ƒ . Тогда S = A (v) = nA. Противоречие.Пусть теперь тип t идемпотентен. Тогда множество I (w) конечно. Так какv  F (t) и v ≤ w, то v(i) = w(i) при iN \I(w) . Пусть I  ={iN|v(i) 0 и iI(w)}.I  является непустым конечным подмножеством множества I (w). ТогдаS = A (v) = nA, где( ). v iii In p = ƒ Противоречие. Используя то, что всякая однородная вполне транзитивная группа является ƒ-группой, и всякая однородная редуцированная сепарабельная группа являетсявполне транзитивной группой [10], получаем такие результаты.Следствие 6. Собственная вполне характеристическая подгруппа S однород-ной вполне транзитивной группы A изоморфна группе A тогда и только тогда, ко-гда S = nA для некоторого натурального числа n, отличного от единицы.Следствие 7. Собственная вполне характеристическая подгруппа S однород-ной редуцированной сепарабельной группы A изоморфна группе A тогда и толькотогда, когда S = nA для некоторого натурального числа n, отличного от единицы.

Скачать электронную версию публикации