A generalization of the full transitivity property for torsion-free abeliangroups.pdf Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, G - унитарный левый R-модуль,ER(G) - кольцо эндоморфизмов модуля G. МножествоMR(G) = {f:G → G | rf(x) = f(rx), r ∈ R}является почтикольцом относительно операций сложения и композиции отобра-жений. Элементы данного почтикольца называют однородными (R-однородными)отображениями.Если MR(G) = ER(G), то модуль G называется эндоморфным. Абелеву группубудем называть эндоморфной, если она является эндоморфным модулем над сво-им кольцом эндоморфизмов.Для построения однородных отображений нам потребуются понятия замкну-тости и сильной сервантности модуля. Множество A называется R-замкнутым, ес-ли для любых r∈R, a∈A справедливо ra∈A. Непустое подмножество A левого R-модуля V называется сильно R-сервантным, если 0≠rv∈A влечет v∈A для всехr∈R, v∈V ([1]).Лемма 1 ([1]). Пусть H - R-замкнутое и сильно R-сервантное подмножество R-модуля G и h: H → G - R-однородное отображение.Отображение f: G → G, определяемое по правилу:{ ( ), ,( )0, ,h x x Hf xx H=∉является R-однородным.В [2, гл. 4.] дается определение подпочтикольца N почтикольца M(G) == {f: G → G}, удовлетворяющего условию конечной интерполяции: для любыхразличных g1, g2, …, gk ∈ G и любых h1, h2, …, hk ∈ G существует n ∈ N, такой, чтоn(g1) = h1, n(g2) = h2, …, n(gk) = hk.В теории абелевых групп хорошо изучен класс вполне транзитивных групп безкручения (см. [3, гл. 7], а также [5, 6]). Группа G называется вполне транзитивной,если она удовлетворяет условию: для любых a, b ∈ G, таких, что χ(a) ≤ χ(b) (χ(g)- характеристика элемента g ∈ G), существует f ∈ E(G) со свойством f(a) = b.В данной работе изучаются абелевы группы без кручения G конечного ранга,обладающие следующим свойством: для любых a, b ∈ G, таких, что χ(a) ≤ χ(b),существует f ∈ ME(G)(G) со свойством f(a) = b.Группы с таким свойством будем называть МЕ-вполне транзитивными.Прежде чем перейти к изложению основных результатов, напомним понятия сприставкой «квази», поскольку данная терминология часто используется при ра-боте с абелевыми группами без кручения конечного ранга.Пусть A и B - абелевы группы без кручения. Говорят, что A квазисодержится вB, если nA ⊆ B для некоторого натурального числа n. Говорят, что A квазиравна B(A ≈ B), если A квазисодержится в B и B квазисодержится в A. КвазиравенствоA ≈ ⊕i∈I Ai, где I - конечное множество, называется квазиразложением (квазипря-мым разложением) группы A. Подгруппы Ai называются квазислагаемыми группыA. Абелева группа без кручения A называется сильно неразложимой, если она необладает нетривиальными квазиразложениями.Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить вQ-пространство Q⊗A, которое является делимой оболочкой группы A (элементa ∈ A отождествляется с элементом 1⊗a∈Q⊗A). Каждый эндоморфизм α ∈ E(A)единственным образом продолжается до линейного преобразования 1⊗α Q-про-странства Q⊗A. Кольцо E(A) содержится в EndQ(Q⊗A). Таким образом, E(A)={α ∈EndQ(Q⊗A)| αA⊆A}.Q-алгебра Q⊗E(A) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы A.Неопределяемые нами понятия можно найти в [3].Теорема 2. Однородная МЕ-вполне транзитивная группа G является цикличе-ским модулем над центром CE(G) своего кольца эндоморфизмов.Доказательство. Пусть Н - сервантная подгруппа группы G, инвариантнаяотносительно всех E(G)-однородных отображений, и 0 ≠ a ∈ H, 0 ≠ b ∈ G. Одно-родность группы G позволяет выбрать натуральное число n таким образом, чтоχ(a) ≤ χ(nb). Существует f ∈ ME(G)(G) со свойством f(a) = nb. Поскольку подгруп-па Н инвариантна относительно всех E(G)-однородных отображений, то nb ∈ H.На основании сервантности H заключаем b ∈ H. Поэтому H = G. Отсюда, в част-ности, следует, что группа G неразложима.Покажем, что группа G сильно неразложима. Пусть G ≈ A = B ⊕ C - некотороенетривиальное квазиразложение группы G. В работе [4] доказано, что ME(G)(G) ≈≈ ME(A)(A). ПосколькуME(A)(A)B = ME(A)(A)eBB = eBME(A)(A) B ⊆ B (eB: A→ B - проекция),то для некоторого натурального числа n справедливо ME(G)(G)nB ⊆ nB ⊆ G. По до-казанному выше nB = G. Поэтому C = 0.Пусть H - минимальная pfi-подгруппа группы G и x,y ∈ H. Тогда существуюттакие ϕ ∈ E(G), k ∈ N, что ϕ(x) = ky. Для f ∈ ME(G)(G) имеемkf(x + y) = f(kx + ky) = f(kx + ϕ(x)) = f((k + ϕ)(x)) == (k + ϕ)f(x) = kf(x) + ϕf(x) = kf(x) + kf(y).Следовательно, f(x + y) = f(x) + f(y). Получили, что каждое E(G)-однородноеотображение действует аддитивно на каждой минимальной pfi-подгруппе группыG. Поэтому f(H) ⊆ H. Тогда H = G и группа G неприводима. Сильно неразложимыенеприводимые группы эндоморфны [4]. Откуда следует, что ME(G)(G) = CE(G).Заключаем, что G - неприводимый CE(G)-модуль. Теорема доказана.Теорема 3. Абелева группа без кручения с сильно однородным кольцом эндо-морфизмов МЕ-вполне транзитивна.Доказательство. Пусть G - группа из условия теоремы, a, b ∈ G, такие, чтоχ(a) ≤ χ(b), и A - подгруппа группы G, сервантно порожденная циклическим мо-дулем E(G)a. Понятно, что А - вполне характеристическая подгруппа группы G.Докажем ее сильную сервантность. Если ϕ(x) = y для некоторых ϕ ∈ E(G), y ∈ A.На основании сильной однородности кольца E(G) эндоморфизм ϕ есть целоекратное обратимого элемента, то есть nψ = ϕ для некоторых ψ ∈ Aut(G), n ∈ N.Тогда nψ(x) = y. Откуда ψ(x) = y'∈ A, x = ψ −1(y') ∈ A.Построим E(G)-однородное отображение f: G → G, переводящее a в b, по пра-вилу{ ( ), ( ) ,( )0, .b x a Af xx Aϕ =ϕ =∉Заметим, что данное отображение не аддитивно. Поэтому группа G не являет-ся эндоморфной. Теорема доказана.Следствие 4. Неоднородная вполне транзитивная абелева группа конечногоранга, кольцо квазиэндоморфизмов которой является телом, МЕ-вполне транзи-тивна.Доказательство следует из [3, теорема 41.2.].Предложение 5. Если G = ⊕i∈I Gi - МЕ-вполне транзитивная абелева группа безкручения, то МЕ-вполне транзитивны все слагаемые Gi.Доказательство. Пусть f ∈ ME(G)(G) и Gj - прямое слагаемое группы G (j∈ I).Тогда f (Gj) ⊆ Gj (см. доказательство теоремы 2). Эндоморфизм ϕj ∈ E(Gj) можнопродолжить до эндоморфизма ϕ ∈ E(G). Рассмотрим отображение f(j), являющеесяограничением f на Gj. Тогдаf(j)(ϕjGj) = f(ϕGj) = ϕf(Gj) = ϕj f(j)(Gj).Поэтому f (j) - E(Gj)-однородное отображение слагаемого Gj.Пусть 0 ≠ a, b ∈ Gj, такие, что χ(a) ≤ χ(b) (в группе Gj и, следовательно, вгруппе G). В силу МЕ-вполне транзитивности группы G найдется однородноеотображение f ∈ ME(G)(G) со свойством f (a) = b. Следовательно, f(j)(a) = b и Gj -МЕ-вполне транзитивное слагаемое группы G. Предложение доказано.Полагаем Π(G) = {p| pG ≠ G}.Предложение 6. Пусть G = ⊕i∈I Gi - абелева группа без кручения, удовлетво-ряющая условиям:1) все прямые слагаемые Gi МЕ-вполне транзитивны,2) все прямые слагаемые Gi вполне характеристичны и сильно E(G)-сервантны,3) Π(Gi) ∩ Π(Gj) = ∅ при i ≠ j.Тогда МЕ-вполне транзитивна группа G.Доказательство. Пусть 0 ≠ a, b ∈ G, такие, что χ(a) ≤ χ(b). По условию пред-ложенияa = a1 + a2 + … + an, b = b1 + b2 + … + bn, где ai, bi ∈ Gi, i = 1, 2, …, n.Поскольку Π(Gi) ∩ Π(Gj) = ∅ при i ≠ j, то χ(ai) ≤ χ(bi), i = 1, 2, …, n. На осно-вании МЕ-вполне транзитивности всех слагаемых Gi найдутся E(Gi)-однородныеотображения fi: Gi → Gi (i = 1, 2, …, n), удовлетворяющие условию fi(ai) = bi. Дляотображения f: G → G, определяемого правилом( ), ,( )0, ,i iif x x Gf xx G= ⎧⎨⎩ ∉ и проекций e1, e2 , …, en, e*, соответствующих разложению G = G1⊕G2⊕ …⊕Gn⊕G*, имеемf(a) = (e1 + e2 + … + en + e*) f(a1 + a2 + … + an) == e1f(a1 + a2 + … + an) + e2f(a1 + a2 + … + an) + … ++ enf(a1 + a2 + … + an) + e*f(a1 + a2 + … + an) == f(e1 (a1 + a2 + … + an))+ f(e2 (a1 + a2 + … + an))+ … ++ f(en (a1 + a2 + … + an)) + f(e* (a1 + a2 + … + an)) = f(a1) + f(a2) + … + f(an) == f1(a1) + f2(a2) + … + fn(an) = b1 + b2 + … + bn = b.Предложение доказано.Заметим, что если G - абелева группа без кручения, то для любых a, b ∈ G, та-ких, что χ(a) ≤ χ(b), существует f ∈ MZ(G) со свойством f(a) = b.Пусть A - сервантная подгруппа, порожденная элементом a. Тогда{ , ,( )0, .nb x na Af xx A= =∉Автор благодарен Крылову П.А. за постановку задачи и внимание к работе, атакже Цареву А.В. за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации