Pointing of optical equipment of small remote sensing spacecraft.pdf Рассматривается малый космический аппарат (МКА) дистанционного зондирования с аппаратурой оптико-электронного сканирования, работающей в режиме временной задержки и накопления. Для МКА должен быть предусмотрен ряд режимов ориентации, которые задаются требованиями, диктуемыми аппаратурой дистанционного зондирования. Учет всех требований определяет содержание задачи управления наведением и ориентацией. Постановка задачи Задача управления наведением и ориентацией МКА включает в себя несколько подзадач, из которых в данной работе рассматриваются следующие: 1. Выбор удобного способа задания маршрута съемки на поверхности Земли. 2. Расчет программного кватерниона, т.е. кватерниона ориентации МКА относительно орбитальной системы координат (ОСК) в момент съемки. 3. Расчет программной угловой скорости - угловой скорости, с которой МКА должен приводиться в требуемое положение к моменту съемки. (1) Маршрут съемки Будем считать, что Земля имеет форму эллипсоида вращения. Рассмотрим плоское сечение Земли по меридиану (рис. 1) и параллели (рис. 2). Декартовы координаты k-го объекта съемки (Xk; Yk; Zk) выражаются через географическую широту фь долготу Xk и высоту над уровнем океана hk по известным формулам [1, 2]: Xk =(N+hk) c°^k cosXk; Yk = (N + hk )cosфk sin^k; N a где a = 6378,137 км - экваториальный радиус Земли; b = 6356,751 км - полярный радиус Земли; e2 = (a2 - b2)/ a2 - первый эксцентриситет. Для последующих расчетов будем использовать только декартовы координаты цели (Xk; Yk; Zk), которые будем записывать в виде одного вектора Rk , и декартовы координаты МКА, определяемые по данным систем GPS/TnOHACC или по усредненным кеплеровым элементам (TLE, Two-Line Element set). Очевидно, что площадная и стереоскопическая съемка являются частными случаями маршрутной. Понятия же кадровой съемки вовсе не существует для матрицы, работающей в режиме временной задержки и накопления. Исходные данные на маршрутную съёмку задаются в виде координат узловых точек и векторов, определяющих направление скорости бега изображения. Под бегом изображения понимается специально организуемое угловое движение МКА и аппаратуры съемки, такое, что имеет место движение изображения снимаемой поверхности в фокальной плоскости аппаратуры в строго заданном направлении (по столбцам матрицы) и с заданной скоростью. Рассмотрим гладкую кривую, проходящую через узловые точки c известными координатами в WGS84 и заданными в этих точках касательными к этой кривой (рис. 3). Наиболее целесообразным представляется задание интерполирующей кривой в виде сплайна третьего порядка с заданными в узловых точках значениями его производной (сплайн Эрмита) [3]. Север Местная вертикаль Рис. 2. Сечение по параллели Рис. 1. Сечение по меридиану / / Рис. 3. Сплайн третьего порядка Интерполирующая кривая Узловые точки и векторы касательных Для системы точек в пространстве построение интерполирующих сплайнов третьей степени осуществляется следующим образом. Пусть {Xk, Yk, Zk} - семейство точек, координаты которых в WGS84 рассчитываются по формулам (1), {Xk, Yk, Zk} - векторы касательных в заданных точках. Требуется построить гладкую кривую, проходящую через эти точки, касательные в которых совпадают с заданными. Искомые сплайны зададим в виде параметрических уравнений: (2) Xk (t) = ay + by • t + cy • t2 + dy • t3; yk (t) = aky + bky • t + cky • t2 + dky • t3; Zk(t) = ay + by • t + cy • t2 + dy • t3. Положим 4=0, tk+1=1 для каждого промежутка [tk; tk+i]. На концах промежутка [tk; tk+i] должны выполняться соотношения xk (tk) = Xk; уу (tk) = Yk; Zk (tk) = Zk; xy (tk) = Xу ; yy (ty) = Yy; Zk (tk) = ^y; xk (tk+1 ) = Xk+1; yk (tk+1 ) = Yk+1; Zk (tk+1 ) = Zk+1; Xk (tk+1 ) = Xk+1; yy (tk+1) = Yk+1; Zk (tk+1 ) = Zk+1. (3) Решая полученные системы уравнений, найдём искомые коэффициенты: cX: = 3•((у+1 -Xk)-2• Xk -Xk+1; a'k. = Xk cky = 3 •(Yy+1 - Yy)-2 • Yy - lkk С = 3•(Zy+1 -Zy)-2• Zy -Z by = ^k; dy = ^y+1 + ^y + 2-Xy+1); dky = Yy+1 + Yy + 2 •(Yy - Yy+1); dy = Zy+1 + Zy + 2 •(Zy - Zy+1). ay = Yy; a'k = Zy; k+1' k+1' (4) bky = Yy; bk = Z^ При построении полученных сплайнов полагаем, что t принимает значения из интервала [0; 1] на каждом промежутке. Системы координат Далее будем опускать индекс У, полагая, что все выражения записаны для съемки k-й точки маршрута в k-й момент времени. На рис. 4 схематично изображены используемые системы координат и связывающие их кватернионы. Рис. 4. Используемые системы координат Здесь ОСК - орбитальная система координат, которая в WGS84 определяется следующим образом: - _ _ ^^мка . хоск - iR i ' - _ ^^мка Х ^мка . (5) 2оск - R V I' ^ |rмкa Х кмка| уоск _ -оск Х хоск , где RМКA - радиус-вектор МКА в WGS84; КМКА - скорость МКА в WGS84. Кватернион ЛWGК84, определяющий положение ОСК в WGS84, можно найти, зная положение осей ОСК в WGS84 [4]: Лоск84 _ ^0 + ^ (6) 1 т*™ 1 ± Г1 + 1 s 2 l 2 . 1 ± 1 1 s 5 т (У оск _ yWGS 84 ) Х (хоск _ XWGS 84 ) где *ч> _ ±1 1 + -0 I . ^ _+-Ao0i, ------) - V 4 1 2 (yоск, XWGS84) (yWGS84,—оск ) вектор конечного поворота. СКН - система координат наведения, которую удобно ввести как трехмерный правый базис (ХСКН, УСКН, -скн), ось ХСКН которого получена кратчайшим поворотом оси ХОСК и направлена на k-ю точку маршрута. Оси СКН в ОСК можно получить с помощью известных соотношений [4, 5]: X _ Л скн - л скн скн — оск ° оск 01 оск' - д скн - д скн пл ускн _ лоск ° уоск ° лоск , (7) - _ л скн - Д скн -скн _ лоск ° -оск ° лоск , где Ло™ - кватернион наведения, т.е. поворота продольной оси целевой аппаратуры от направления вдоль оси ХОСК к направлению на k-ю точку маршрута. Рис. 5. Наведение на k-ю точку маршрута Для расположения столбцов матрицы целевой аппаратуры по направлению вектора скорости бега местности ¥БМ необходим разворот в фокальной плоскости целевой аппаратуры. Л^Н представляет собой кватернион такого разворота, записанный в параметрах Родрига - Гамильтона, и определяет положение осей ПСК в СКН. ПСК - программная система координат - та система координат, с которой должна совпадать связанная с аппаратом система координат в момент съемки У-й точки маршрута. Кватернион ЛОСК имеет физический смысл кватерниона программной (требуемой) ориентации (ПСК относительно ОСК) в осях ОСК. Кватернион Л^х^ имеет смысл кватерниона программной ориентации (ПСК относительно ОСК) в осях WGS84. Расчет кватерниона программной ориентации Кватернион программной ориентации ЛПСК будем искать как произведение двух кватернионов в параметрах Родрига - Гамильтона [4, 5]: ПСК = Л СКН Л ПСК ОСК = Л ОСК ° ЛСКН СКН ПСК где ЛОСК и ЛСКН - определенные выше кватернионы наведения и разворота. Кватернион наведения ЛСОКСНК продольной оси целевой аппаратуры на объект съемки запишем в тригонометрическом виде: ЛОКН = cos 2 + Csin 2, (9) где 0 - угол поворота оси целевой аппаратуры МКА от оси ХОСК к направлению на объект съемки; Z - единичный вектор, задающий ось поворота МКА на угол 0 (на рис. 5 направлен на наблюдателя). Единичный вектор Z найдется из очевидного из рис. 5 соотношения: £ = (-^МКА )Х Р (Ш) |(-^МКА )Х р|' где р = Ry - ^мка ; ^мка - радиус-вектор МКА. Угол 0 найдется из скалярного произведения векторов р и -Rmk^ по формуле (Р ^МКА ) (11) 0 = ±arccos \р\ • Rm Соотношения (10) и (11) определяют величины, необходимые для вычисления кватерниона наведения (9). Кватернион разворота в фокальной плоскости Л^КН будем искать для того момента, когда ось целевой аппаратуры МКА уже направлена на k-ю точку маршрута (рис. 6). ПСК СКН ПСК ЛОСК = ЛОСК ° ЛСКН , (8) Запишем его в тригонометрическом виде: ЛПКН = cos ф + £sin ф (12) 2 ' 2' V ; где ф - угол поворота МКА в фокальной плоскости (вокруг оси оптической аппаратуры); £ - единичный вектор, перпендикулярный фокальной плоскости, который в системе координат наведения совпадает с осью абсцисс: Рис. 6. Разворот в фокальной плоскости (1 ^ 0 £ = (13) Для определения ф найдем сначала Г^БгМ - проекцию вектора /БМ на фокальную плоскость. Эта проекция, как видно из рис. 6, в осях системы координат наведения (7) найдется следующим образом: (0 0 0^ vфп = кбм - (14) 1 0 0 1 v бм- Угол ф найдется из скалярного произведения векторов Ускн и V фп бм ( ускн /бм ) (15) ф = arccos фп |ускн| • \/БМ где уСКН определяется из второго уравнения системы (7). Соотношения (13) и (15) определяют величины, необходимые для вычисления кватерниона разворота в фокальной плоскости (12). Как было показано в формуле (8), кватернион программной ориентации Л^К найдется как произведение кватернионов (9) и (12). Полученный кватернион позволяет вычислить положение осей ПСК в ОСК [4, 5]: - _ л ПСК - д ПСК —ПСК _ ЛОСК ° —ОСК ° ЛОСК , (16) Кроме того, имея программный кватернион в ОСК, можно рассчитать указанный на рис. 4 кватернион программной ориентации в WGS84 [4, 5]: л ПСК _ л ОСК л ПСК (17) Л WGS84 _ WGS84 ° ЛОСК • (17) Расчет угловой скорости программного вращения Полученный кватернион Л^К - переменный. Изменение кватерниона определяется кинематическим уравнением [4, 5]: ТЛ ПСК л ПСК - Пт 2ЛОСК _ ЛОСК ° Юпр , (18) где йпр - угловая скорость программного вращения (ПСК относительно ОСК) в осях ПСК. Отсюда можем выразить программную угловую скорость: Гл ТЛ ПСК д ПСК ,-ЮЧ Юпр _ 2ЛСЗСК ° Л°сж • (19) Другой способ определения программной угловой скорости состоит в учете следующих движений: - суточное вращение Земли; - орбитальное движение МКА; - заданный бег местности. Поскольку орбитальную скорость мы имеем в связанном с Землей базисе, эта скорость ^МКА84 содержит в себе скорость суточного вращения Земли. Наличие орбитальной скорости МКА в задаче дистанционного зондирования вызывает необходимость компенсировать эту скорость угловым движением МКА со скоростью йорб: VWGS84 v р А КМКА V Р /ТПЛ ®орб _-12-. (20) Р Заданная скорость бега местности ¥БМ обуславливает угловое движение МКА со скоростью йБМ: (21) ,р V VEM _-^БМ V р X 2 ' Р Р Программная угловая скорость найдется сложением угловых скоростей (20) и (21) в одной системе координат: / f}WGS 84 т? \ s - - - ГМКА - ^БМ )V Р Юпр _ Юорб + ЮБМ _-Р2-. (22) —ПСК ПСК _ ЛОСК 1 ") — ( ОСК д ПСК зЛ ОСК ■ >"пск ПСК _ ЛОСК ( э >оск X ПСК ° ЛОСК 2пск Л ПСК _ ЛОСК с 3 ZOCK с л пск ' ЛОСК. Оба способа расчета программной угловой скорости приводят к идентичным результатам. Выбор того или иного способа определяется возможностями бортовой вычислительной машины и требованиями к быстродействию. Представленные алгоритмы верифицированы контрольными точками с использованием программных пакетов Satellite Tool Kit и MATLAB. Данный материал позволяет рассчитать кватернион рассогласования и сформировать алгоритм управления угловой стабилизацией МКА при выполнении съемки. Авторы выражают благодарность д.ф.-м.н., профессору В.Н. Бранцу за помощь при выполнении работы, а также И. А. Грудеву за ценные советы.

Скачать электронную версию публикации