On a hypersurface in the space of applied covectors.pdf 1. Операции над векторами и ковекторами * Пусть V - линейное 3-пространство над Ли V - сопряженное ему пространство ковекторов. Множество реперов пространства V обозначим Е. Символ обозначает свёртку вектора и ковектора. Пусть e = ( ej, e2, e3) - базис пространства V , e* =((, e 2, e3) - базис сопряженного пространства V . Сопряжённость базисов означает, что < e, ej > = < ej, e > = 8/ (i, j = 1,2,3). Примем интерпретацию ковекторов, описанную в [5]. Тогда ковектор Ь = bet + b2e2 + b3e3 интерпретируется упорядоченной парой параллельных плоскостей. Если первая из них П(1) проходит через начало координат О, то она и вторая (П(2)) задаются соответственно уравнениями П(1): b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0, П(2) : b1 x1 + b2x2 + b3x3 = 1. Пусть из точки O отложен и вектор OA = а . Если B - точка пересечения прямой (OA) и плоскости П(2), то OA =< ab > OB, что и придает наглядный смысл инварианту (ab}. Ковектор (как и вектор) может быть отложен из любой точки, это не повлияет на истолкование геометрического смысла инварианта < ab > . Таким образом, если базисы e = ( eJ, e2, e3), e '=((, £2, £3 ) сопряжены (мы откладываем векторы первого базиса и первые плоскости пары параллельных плоскостей, изображающих ковектор второго базиса, из начала координат О), то ковектор £ изобразится упорядоченной парой параллельных плоскостей (n(j),П(2)), каждая из которых параллельна векторам £2 и ££3, причём первая проходит через O(0,0,0), а вторая - через точку (1,0,0). Проделав то же для остальных ковекторов, получим изображение репера (O, £J, £2, £) и корепера (O, e1, £2, £3), где обозначены только вторые плоскости (п(2), И22), п32)), изображающие базисные ковекторы (рис. 1). f *: V * х V * х V * х Е ^ ] Определим отображения f: V х V х V хЕ^] следующим образом. Если b = bj£, i, j = 1,2,3, ai = a/ ej, b1 2 2 b23 2 «1 3 3 a3 3 3 b32 b3 f *(bJ, b 2, b3, e) = bj2 b f Ц, a2, «3, e) = то Для введённых нами функций f и f * примем (на наш взгляд, более удобные) обозначения [«"j, a2, a3 ]e и [bJ, b2, b3 ] . Таким образом, [«J, a2, «3 ]e = det | |aj ||. [ bJ, b2, b3 ] = det | |b/1|. Определение. Величина [а:, а2, а3 ]e называется косым произведением векторов aj, а2, а3 в базисе e , а величина [b1, b2, b3 ] - косым произведением ковек торов b1, b2, b3 в том же базисе. Запишем закон преобразования базисов, а также координат вектора (x1) и ковектора (yi) с невырожденной матрицей A = ||| и обратной к ней матрицей A- =| К||. * * e ' = eA , e ' = A- e , или, в подробной записи, Щ' = Щ4 , e1' = A1 V , x1 ' = A1' x1, y, = yA . (*) Эти объекты преобразуются по правилу [a1, a2, а3 ]e' = A1'A2jA3k [ai, aj , ak ]e = det (A) [a1, a2, a3 ]e'; [b1, b2, b3 ] = A j'[b\ b2, bj ]e = det (A-1 ){b\ b2, b3 ]e. Определим операцию векторного умножения над ковекторами x = xie_1 У = УгЩ в базисе e следующим образом: V. (1.1) Ч 2 "=-3 x2 *x*3 У1 У 2 У3 [x У ]e = Из (*) следует, что при преобразовании базиса ei ' = e^ [ x, У ]e =[ x, У ]e detA | = [ x, У ]e det (A). (1.2) e Таким образом, результат векторного умножения ковекторов есть вектор, свертка которого с каждым из ковекторов-сомножителей равна нулю. В интерпретации ковекторов, предложенной в [5], вектор [ x, у] параллелен плоскостям, изображающим первый ковектор, и плоскостям, изображающим второй ковектор. Операция векторного умножения ковекторов относительно инвариантна, если в V действует полная линейная группа, и инвариантна относительно специальной линейной группы. Для характеризации нормировки вектора [ x, y ] в этом последнем случае рассмотрим отображение ф(x, У, e, t) = t [ x, y]e , t e К . Для тройки векторов a1, a2, a3 тогда получаем равенство [ф(а2,a3,e,t),ф(я3,a1,e,t),ф(я1,a2,e,t)]e -[[,a2,a3]] = (t3 - 1)[a1,a2,a3] . Нуль в правой части равенства мы и получаем только при t = 1. Определим операцию ковекторного умножения над векторами х = X ei у = y1ei в базисе e : [х, У ]e = e1 e 1 e2 A x1 x2 x3 y1 у2 y3 При тех же условиях, что справедливы для (3), мы констатируем, что [X, У] = [X, У ]e det|KII = [X, у ]e det (A-). Пусть имеем аффинное пространство A3 с репером I0, e"l, e2 , e3 } . Для ковектора b = b1 e1 + b2 ee_2 + b3 e3 в A3 примем геометрическую интерпретацию [5] посредством класса аффинной эквивалентности пар параллельных плоскостей с представителем в виде пары П1 : b x1 + b2 X2 + b3 X3 = 0, П 2 : b1x1 + b2 х2 + b3 х3 = 1. В этом случае скажем, что ковектор b отложен из точки О или что мы рассматриваем приложенный ковектор (O, b). Пусть из точки O отложен и вектор OA = a . Если B - точка пересечения прямой (OA) и плоскости П2, то OA =< ab > OB, что и придает наглядный смысл инварианту (ab} . Ковектор может быть отложен из любой точки. 2. Пространство D6 Составим шестимерное линейное пространство (V x V*, М, +, •) следующим образом: вектор в Vx V* есть упорядоченная пара а = (a,b), сложение и умножение на скаляр - покомпонентные. С каждым вектором а = (a,b) связывается число а2 =< ab >, V . которое мы называем (псевдо) скалярным квадратом вектора а. Пространство V x V* с указанным скалярным квадратом имеет структуру пространства R6 . Ес то ли в некотором базисе (ei) и взаимном базисе (e) имеем a = a'ei, b = biei а2 = a'bi. Для квадратичной формы (1) полярной билинейной формой является Если базис-строка e = (ei) подвергается линейному преобразованию e ' = eA , то вектор а = (a, J ) переходит в вектор а ' = (A~la, bA) . Таким образом, в линейном пространстве V х V* действует 9-членная группа преобразований, изоморфная группе матриц fc о ^ .о (c-1 )T} Рассмотрим теперь структуру (U х V3*,V3 х V3*,ф), где U - точечное множество аффинного пространства A3, V3 - его векторное пространство. Элементы множества U х V3* называем точками и обозначаем x, y , z ,.... Отображение ф упорядоченной паре (x, y), где x = (A, a), y = (B, J), сопоставляет вектор _ * xy e V3 х V3 по правилу xy = ( AB, b - a) . Нетрудно проверить, что для построенной структуры выполнены аксиомы точечно-векторного пространства [1]. Построенное здесь шестимерное пространство будем обозначать D6 . Как отмечено выше, приложенный ковектор аффинного пространства A3 интерпретируется парой (M, a), состоящей из точки M и не проходящей через нее плоскости П - второй плоскости, изображающей ковектор a [5] (первая плоскость, изображающая ковектор, проходит через M). Пусть из точки O отложены вектор OA = a и ковектор (O, J). Прямая линия пространства D6 интерпретируется как прямолинейный ряд точек в пространстве A3 и пучок плоскостей этого же пространства, находящихся в аффинном соответствии. 2-плоскость пространства D6 задается параметрическим уравнением (M,Y) = (M,Y0 ) + u (a, p) + v(J, q). (2.1) Необходимое и достаточное ограничение на направляющие векторы: Rang {(a, p), (b, q= 2 . Будем говорить, что плоскость (2.1) есть плоскость L(n,m), если Rang {a, b } = n, Rang {p, q} = m . Ясно, что (n,m)e{(2,2),(2,1),(2,0),(1,2),(1,1),(0,2)}. Ясно также, что плоскость L(2,2) интерпретируется как плоскость в A3, натянутая на a и b и 2-семейство ковекторов y = Y0 + up + vq , находящихся в аффинном соответствии. Остальные плоскости L(n,ж) отличаются лишь понижением размерности либо одного из семейств (точек либо ковекторов), либо обоих сразу (для L(1,1)). Однако больший интерес представляет другая интерпретация. Именно, пусть точка M совмещена с вершиной O репера. Пусть к этой же точке приложен и ковектор у. Тогда (2.1) есть параметрическое уравнение 2семейства, образующий элемент которого состоит из точки M = M о + ua + vb (2.2) и плоскости Y0 + up + vq, x) = 1. (2.3) Плоскости (2.3) образуют связку с центром, который определяется системой уравнений (Y0 х) -1 = ( рх) = (qx) = 0, и с неоднородными координатами u , v в связке. В то же время u , v есть не что иное, как неоднородные координаты несобственной прямой, по которой плоскость (2.3) пересекает несобственную плоскость. Таким образом, (2.2) и (2.3) задают аффинное отображение точек плоскости (M - M0, a, b ) = 0 в тангенциальную несобственную плоскость пространства A3. Не составляет особого труда построить интерпретацию остальных плоскостей L(n, ж). 3. Подвижной репер в пространстве D6 В пространстве A3 подвижной репер {M, e1, e2, e3} имеет деривационные формулы dM = ra'e,, de, = raje] (i, j = 1,2,3), (3.1) где raj - формы Пфаффа [4] , подчиненные уравнениям структуры dai =rai Aroj, draj = raf лю^, i, j,k = 1,2,3. (3.2) В пространстве D6 рассматриваем репер {x, 81,б2,ез,б1,б2,б3}, (3.3) где x = (M,e3) , ег = (e,0), ег = (0,£г), i = 1,2,3 . (3.4) Поскольку для векторов пространства D6 операции определены покомпонентно, то деривационные формулы подвижного репера (3.3) имеют (в силу (3.1) и (3.4)) вид dx = оге,- -ra^, г г / . . (3.5) dё, = rajе , dе' =-rajе1. 1 1 J J Формулам (3.5) соответствуют следующие матрицы коэффициентов: ( 1 2 3 3 3 3 \ ra ra ra -ra1 -ra2 -ra3), (3.6) (3.7) 1 3 2 3 3 3 Поскольку пространство D6 - точечно-векторное, то базовая форма 9 и слоевая форма Q. определяют на нашем пространстве локально-плоскую аффинную связность, что, впрочем, подтверждается и непосредственным вычислением с использованием (3.2), (3.6) и (3.7): dS--&A© = 0, d ©-©л© = 0. Инфинитезимальная (псевдоевклидова) метрика определена квадратичной дифференциальной формой ю1 ®3 0 0 0 ю2 ю2 0 0 0 ®3 3 ю3 0 0 0 0 0 0 -ю2 -ю 0 0 0 -ю2 -ю 0 0 0 -®3 -ю2 -ю © = ар = —(< ap > + < cb >) , 3 2 3 3 3 ю1 + ю ю2 + ю ю3 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 ds2 =-(ю1 Матрица указанной квадратичной формы имеет вид (3.8) (3.9) Без труда проверяется, что обнаруженная нами связность V пространства D6 является связностью Леви-Чивита для инфинитезимальной метрики (3.8). В самом деле, из (3.7) и (3.9) видно, что Vg = dg-Qg-(Qg )T = 0. 4. Гиперповерхность в пространстве D6 Рассмотрим в пространстве D6 гиперповерхность Е, для которой вершина репера - текущая точка. Тогда 6 пфаффовых форм ю', ю3 окажутся связанными одним линейным уравнением вида Х1ю1 +Х2ю2 +Х3ю3 +Х1ю13 +Х2ю^ +Х3ю^ = 0, постоянного ранга равного единице. Мы предполагаем, что элемент, состоящий из точки и направляющего ковектора e_3 (то есть ковектора, определённого с точностью до произвольного ненулевого множителя), зависит от 5 параметров, то есть Ю1 Affl2 Affl3 A®3 a ^ 0. (4.1) Тогда последнее уравнение перепишется в виде ®3 = aю' + a1®3 + aV2, i = 1,2,3. (4.2) Требуем полной интегрируемости уравнения (4.2), для чего присоединяем к нему результат внешнего дифференцирования: (da' - aj raj ) л ra' + (daa + aeraja - aara3 - ra^ ) л ra^ = 0, (4 3) i = 1,2,3; a = 1,2. Разрешая последнее уравнение по лемме Картана и полагая ra1 = ra2 = ra3 = = raj3 =ra2 = 0 , получим в обозначениях [4] соотношения Sa, = aa%a, 5aa=na-a^, i = 1,2,3; a,p = 1,2. (4.4) Эти соотношения позволяют провести частичную специализацию репера a1 = a2 = 0, П3 =п2 = 0. (4.5) Смысл проведённой частичной специализации, как видно из (4.2) и (3.1), в том, что вследствие её имеем (dM = 0)^( = 0) . Уравнение (4.3) теперь принимает вид (da, - ajraj ) Ara' — raOf a ra^^ = 0, i, j = 1,2,3; a = 1,2. Вследствие выбора базисных форм и частичной специализации репера можно записать, что dx = (dM,de_3) = ra' (e,,-ate3)-raa(0,£a), i = 1,2,3; a = 1,2. (4.6) Нетрудно заметить, что базис касательной плоскости составляют векторы ei = (e,,-ate3), i = 1,2,3, e4 = e1 = (0, e1), e5 = e2 = (0, e2) . Теперь в исходном аффинном пространстве A3 деривационные формулы репера имеют вид dM=ra'j', dea=raaei, de3 =raaaea+a-^ dea = -raae', de3 = ^ea - a,ra'e3, i = 1,2,3; a = 1,2. Построим геометрическую интерпретацию касательной гиперплоскости, основываясь на (4.8). Зафиксировав параметры - как базовые так и слоевые - получим неподвижный репер в пространстве D6. Именно, X0 = (M0,e3), е' =(ё,0,0), е' =(0,e0), i = 1,2,3. Параметрические уравнения касательной гиперплоскости (при помещении нового начала координат О в точку M0) имеют вид (R, у ) = ( O, е 0 )+ u' (e0, -a,0 e 0 ) + va ( 0, e a), i = 1,2,3; a = 1,2. Здесь a0 - значения коэффициентов a, при фиксации всех параметров. Соответственно в пространстве A3 получим параметрические уравнения R = u'e'0, у = -v1 e 0- v2e 2 +(i - a°u') e 0, i = 1,2,3. Эти уравнения задают отображение: каждой точке R = u'e0 сопоставляется 2-семейство ковекторов (параметры - v1, v2), чьи вторые плоскости имеют урав- C нения v1 х1 + v2 х2 +(a°iu1 -1) х3 +1 = 0. Данные плоскости образуют связку с центром 1 0,0, , 0 i 1 - atu у При этом точкам R = х'ё"г- , принадлежащим плоскости п(Х), заданной уравнением aj0 х1 + a0 х2 + a° х3 = X = const, отвечает одна и та же точка C (X) = ^0,0,1—X '. Указанное соответствие и даёт описание касательной гиперплоскости. Рис. 2. Вторая плоскость из интерпретации касательной гиперплоскости Соотношения (4.4) после частичной специализации репера принимают вид 5ap = aanja, Sa3 = 0, a, p = 1,2 . Величина a3 есть инвариант. Для его характеризации рассмотрим распределение ю1 =ю2 = 0, в общем случае неинтегрируемое. Вдоль этого подмногообразия имеем соотношения {de3,ee3> = a3{dM, e3> . Матрица Грама для базиса касательной плоскости имеет вид 1 0 0 0 -a1 0 -a2 0 1 0 -a1 -a. 1 0 0 1 Г= 1 2 (4.7) -2a3 0 0 0 0 0 0 Заметим, что ранг матрицы Г равен 5 при a3 Ф 0 и 4 при a3 = 0, других же значений он не принимает. Квадратичная метрика пространства D6 индуцирует нормаль гиперповерхности, натянутую на вектор n = (e3,a,e ) . (4.8) Мы, однако, нормализуем нашу поверхность вектором e6 - e3 =(0, e3) . В репере (3.4) имеем соответственно e1 =(1 0 0 0 0 -a1), e2 =(0 1 0 0 0 -a2), e3 =(0 0 1 0 0 -a3), e4 =(0 0 0 1 0 0 ), e5 =(0 0 0 0 1 0 ), e6 =(0 0 0 0 0 1 ). Теперь (4.8) вместе с результатом дифференцирования векторов e1,..., e6 приводят к деривационным формулам (4.9) 1 2 3 3 1 3 2 dx = ra e1 +ra e2 +ra e3 -ra1 e -ra2e , de, =raj ej +a, ra0cea-Aa,e3, de' =-ra,e', i, j = 1,2,3; a = 1,2, Aa,. = da, - aj raj - a, ra3. (4.10) где Для дальнейшего полезна формула d (Aa,) = -daj a raj - ak raj Ara j - da, Ara3 - a, ra3 a ra3 = = raj a Aaj + ra^ a Aa, +a,raa^ a raOa, i, j = 1,2,3; a = 1,2. Введём в рассмотрение вектор-строку из пфаффовых форм ( 1 2 3 3 3 \ ra ra ra -ra1 -ra2). Матрица коэффициентов деривационных формул (4.9) имеет вид (4.11) (4.12) -Да! -Да2 -Да3 -ю3 -®3 Как видно из (4.12) и (4.13), вторая квадратичная форма гиперповерхности есть форма II = -ю1Да1 -ю2Да2 -ю3Да3 +ю3ю3 +юзю2 . (4.14) Форму-строку (4.12) рассматриваем как базовую. Тогда слоевая форма есть мат-ричнозначная форма Ф = ю| K>J2 Ю3 а1Ю13 а1Ю2 ю2 ю2 ю2 а2Ю3 а2Ю2 ю3 Ю2 3 Ю3 а3Ю3 3 а3Ю2 0 0 0 -ю| -Ю2 0 0 0 -к>2 -Ю2 0 0 0 -Ю3 -Ю2 (4.13) ю| Ю2 Ю3 а1Ю3 а1Ю2 ю2 ю2 ю2 а2Ю3 а2Ю2 ю3 Ю2 ю3 а3Ю3 а3ю2 0 0 0 -ю| -Ю2 0 0 0 -ю2 -ю2 Q = (4.15) Предложение. Матричнозначные формы (4.12) и (4.15) определяют на нашей гиперповерхности аффинную связность. Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что d6-6AQ = (0 0 0 0 0), 0 0 0 (dax -аЛю\ -агю^)ai 0 0 0 (da2 - агюг2 - а2ю3 )a 0 0 0 (dа3 - агю3 - а3ю3 )аю3 0 0 0 0 0 0 ( da1 (da2 - аг Ю1 - а1ю3 - аг Ю2 3 - а2 Ю3 - аг Ю3 - а3ю3 ю3 А Ю2 2 3 ю3 аю2 ю АЮ dq-qaq= (4.16) 1 3 Ю АЮ, Ю? АЮ Если форма кривизны связности (4.16) нулевая, то dai - а} юi - агю3 = 0, i, j = 1,2,3, Ю3 = ю2 = 0. Внешнее дифференцирование этих соотношений приводит к тождествам. Мат-ричнозначная форма (4.13) при выполнении условий (4.17) принимает вид (4.17) Ф = ю| Ю2 3 Ю1 а1ю3 а1ю2 0 ю2 ю2 3 Ю2 а2ю3 а2Ю2 0 ю3 Ю2 ю3 а3ю3 а3ю2 0 0 0 0 -ю| -Ю2 0 0 0 0 -ю2 -ю2 0 0 0 0 -ю3 -Ю2 -Ю Наша гиперповерхность в этом случае есть гиперплоскость. Определение. Связность V, определяемая формами е и О, называем естественной связностью. Решим вопрос о геодезических линиях естественной связности, следуя [8]. Линия x = x(t) называется геодезической, если параллельно переносится вектор ei„ fei \ , I = 1,..,5 . dt dt dx dt = ф—, или, иначе, Ae = < dt Условие параллельного переноса имеет вид V — Idt J Окончательно уравнения геодезических запишем в виде de1 +eJoJ = фе1, i,j = 1,...,5, (4.18) где ф - некоторая форма Пфаффа. Дифференцирование в (4.18) обыкновенное. Учитывая (4.12) и (4.15), приводим уравнения геодезических к виду d ra' +raj ra'j = фо', -d raa+raara3 =-фraa, (4.19) i, j = 1,2,3;a = 1,2. Для прояснения геометрического смысла полученных уравнений заметим, что d 2 M = ( d ra' +ra1 raj ) e, d2e3 = (-dra3 + ra3raj )e', (4.20) i, j = 1,2,3. Если выполнено (4.19), и только в этом случае, (4.20) принимает вид d2 M = фdM, d 2 e3 =-фd£3 +(-d ra3 +ra3ra3 +фra3 )), (4.21) i = 1,2,3; a = 1,2. Предложение 1. Линия на гиперповерхности пространства D6 является V геодезической тогда и только тогда, когда вдоль неё выполнены следующие условия: 1) точка М пробегает прямую; 2) вектор [de3,e3J сохраняет постоянное направление; 3) d < dM, de3 >- 0 (mod < dM, e3 >). Доказательство. Перепишем (4.21) следующим образом: d2M = фdM, d2e3 = -^de3 + Le3, (4 22) ф = Х. Здесь L = -dra3 +ra3ra3 +фо3. Пункт 1) сомнений не вызывает, как и пункт 2). Для доказательства пункта 3) заметим, что согласно (4.22) d < dM,dee3 >= (ф-Х) < dM,de >+L < dM, e3 > , откуда и следует справедливость утверждения. Vg = dg-Qg-(Qg )T = 1 ! B = 2а3 Соответственно искомая слоевая форма имеет вид 3 Да, ю3 +—1 2а3 3 Да2 Ю2 +- 2а3 3 Да3 ю3 +—3 2а3 3 а2 Да, а1и2 + 2а3 а ю3 + а2Да2 а2Ю2 +-- 2а3 а2 Да3 а,®! + 2а3 а ю3 + а1Да2 а2®1 +-и. ю. 2а3 а,Да3 2а3 а3ю1 + а3ю2 + ю3 Q = 2а3 5. Связность Леви-Чивита для гиперповерхности общего вида (а3 Ф 0) Ковариантное дифференцирование метрического тензора приводит к равенству 0 0 Да, 0 0 0 0 Да2 0 0 Да, Да2 2Да3 -ю3 -ю 0 0 -к>3 0 0 0 0 -ю2 0 0 Обозначим Q - слоевую форму, которая определит для метрического тензора g связность Леви-Чивита. Тогда разность форм Q и Q , как показывает непосредственный подсчёт, есть форма аффинной деформации 0 0 Да, а,Да, а2 Да 0 0 Да2 а,Да2 а2 Да2 0 0 Да3 а,Да3 а2 Да3 0 0 ю3 а,ю3 а2 ю3 0 0 ю2 аю а2 ю2 3 а, Да, (5.i) t-f^uU3 2а3 а2 ю2 2а3 0 0 2а3 2а3 2а3 2а3 0 0 - — ю, - — ю-, Обозначим V - оператор ковариантного дифференцирования для связности Леви-Чивита. Тогда, используя (5Л) и (4Л4) и действуя так же, как и для естественной связности, можем записать уравнение геодезических в виде d иЮ + иИ к^ =

Скачать электронную версию публикации