On algebraic integers.pdf Исследование целых алгебраических чисел - традиционный раздел теории алгебраических чисел [1, 2]. п. 1. Пусть f(z) есть многочлен степени n с целыми коэффициентами, неприводимый над полем рациональных чисел Q, f (0) = 1. Обозначим корни этого многочлена через 6д,-.-, £,n. Так как fz) неприводим над Q,to все эти корни - простые. По условию, f(z) = a0zn + a1zn-1 +...+ an-1 z + 1, где a0 Ф 0. Обозначим g(z) = -( a0zn + a1zn-1 +...+ an-1 z). Имеем fz) = 1- g(z). f'(z) п. 2. Выражение - двумя способами представим в виде бесконечной сумf (z) мы. f'(z) — g'(z) Во-первых, -=-. Выберем e > 0 так, что |z| < e влечёт f ( z ) 1 — g ( z) |a0zn| + |a1zn-11 + ...+ |an-1 z| < 1. (1) Теперь при |z| < e имеем TTT = f^VT = - g'(z)(1+g(z)+..+ gk(z)+.) = b0+b1Z+...+bmzm+... f ( z) 1 — g ( z ) Здесь все коэффициенты bm - целые числа. В самом деле, каждый из этих коэффициентов равен сумме конечного числа целых чисел. Итак, f'(z) = ba + b1Z + ...+ bm^ + ..., bm е^ (2) f (z) f'(z) п. 3. Получим второе разложение функции -- в ряд по степеням z. Так как f (z) корни знаменателя 6д,-••, - простые, то имеем разложение [3] ^ = C1(z-^1)-1+.+ Cn(z-^n)-1, (3) f (z) где ck - рациональные числа. Умножая это равенство почленно на (z - £д) и переходя к пределу при z^-бд , получим c1 = 1. Аналогично имеем с, = 1 (1 < i). Итак, (3) принимает вид ^ = (z - Ы-1+...+ (z - Q-1. (4) f (z) f'(z) П.4. Согласно (2) , - представимо в виде степенного ряда. Из теории анаf (z) литических функций [4] известно выражение для коэффициентов степенного ряда b = 1 dL f Ш1 k k! dzk f f (z) Jz=0 * Используя равенство (4), получим bm = -((^i)-(m+1)+.+ (^n)-(m+1)). Так как bm e Z, то ((^i)-(m+1) + ...+ (Q4m+1)) e Z. Обозначим (S^)-1 через nm. Теперь nu.--, П есть корни уравнения с целыми коэффициентами: a0 + a1z +.+ an-1 zn-i + zn = 0. Итак, справедлива Теорема 1. Пусть Пь --, П» есть n отличных от нуля сопряжённых целых алгебраических чисел степени n. Тогда для каждого натурального k сумма (n1)k+.+ (nn)k есть число целое. П. 5. Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 выполнены неравенства lni| < i,., Ы < 1, где 1 < m< n. Тогда разность между величиной (nm+1)k+...+ (ц„) и ближайшим целым стремится к нулю при k^a>.

Скачать электронную версию публикации