Reducing the bias of the wavelet estimate of spectral density.pdf В последнее время актуальным является применение методов вейвлет-анализа при исследовании временных рядов, так как результаты, полученные с его помощью, часто обладают большей информативностью и способны непосредственно обрабатывать такие особенности данных, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно. Данная работа посвящена исследованию оценки спектральной плотности, построенной с помощью вейвлетов, и является развитием идей, предложенных M.H. Newmann в [1]. Спектральная плотность, представляющая собой преобразование Фурье ковариационной последовательности стационарного случайного процесса, определяет свойства процесса и позволяет анализировать его структуру. При построении оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов с дискретным временем обычно применяются периодограммные методы, в основе которых лежит квадрат модуля преобразования Фурье конечной реализации исследуемого процесса. Для получения состоятельных оценок спектральных плотностей, как правило, используется метод сглаживания периодограмм спектральными окнами. При этом, на сегодняшний день, имеется лишь небольшое количество работ, в которых проведены исследования по оцениванию спектральных плотностей с помощью вейвлетов. Рассмотрим вейвлетную оценку неизвестной спектральной плотности f (X), ХеП = [-п;п] по T последовательным наблюдениям X(0),X(1),...,X(T-1) за стационарным случайным процессом X (t) с MX(t) = 0, t е Z , полученным через равные промежутки времени: 2J(T) f (Х) = Е aJ(T ),к(T ),к (X) , (1) к=1 где aJ(T ),к = I6T (а)ф/(T ),к(a)da (2) П - оценки вейвлет-коэффициентов в разложении (1), Ф J (т ),k (X) =Х (2п)-1/Ч(т),k ((2п)-1 lX + n ), (3) It (X) = neZ фJ(T),k (x) = 2^ ф(2J(T) x -k) Xen, ф(x) - масштабирующая функция [2], xe R ; IT(a) - расширенная пе риодограмма: 1 dT (X)dT (-X). 2nH(T) (0) dT (X) = X hT (t)x(t)e-Xt t=0 H2T) (0) = X ( (t))2, T -1 ■TL> t=0 (4) k e N = {1,2,...}, T e N , а функция hT (t) = h ^tJ , h : [0,1] ^ R - окно просмотра данных [3] . При практическом использовании оценок (1) часто полагают J (T ) = [log2 T] или [log2 T] -1, где [•] - обозначает целую часть числа. В работе [4] доказано, что вейвлетная оценка спектральной плотности f (X) является асимптотически несмещённой. При этом для смещения данной оценки имеет место результат, сформулированный в теореме 1. Теорема 1 [4]. Если спектральная плотность f (X) е Lipa (L), Xe П, носитель масштабирующей функции ф(x) содержится в [-H1,H2] и |ф(x)| < А, окно просмотра данных - функция с ограниченной постоянной V > 0 вариацией, то для любого Xen имеет место \Mf (X)-f (X)|< LC12V2DR(a,T) + LC(a, J(T)) , 0 < C1 (z )| dz + Saj|p(z )| dz ,9732 (2n)a C (a, J (T )) = - Пример 1. Если мы строим вейвлетную оценку спектральной плотности (1), используя масштабирующую функцию Добеши порядка 4 и треугольное окно просмотра данных, полученное из функции h(x) = 1 -|x| , x е [-1,1] путем сжатия в два раза и сдвига на единицу вправо вдоль оси абсцисс, то V = 1, A = 1,12165, [-H1, H2 ] = [0,7] H2T)(0)« hT , 0 < h < 1, J (T) = log2 T и T a 4 R (a,T ) = a-1 2n если 0 < a < 1, 2nhT a(1 -a 2 ) 2nhT (1 -a) 1 [2ln(7iT) +1], если a = 1. 2nhT 1-a a-1 4T если 0 < a < 1, R (a, T ) = f 2J X ^ {|ф( У ) dy (5) 2n Пример 2. Если мы строим вейвлетную оценку спектральной плотности, используя масштабирующую функцию симмлета порядка 6 и окно просмотра данных Рисса, Бохнера - Парзена, полученное из функций h(x) = 1 -x2, x e [-1,1] путем сжатия в два раза и сдвига на единицу вправо вдоль оси абсцисс, то V = 1, A = 1,15188, [-H1, H2 ] = [0,11] H 2T )(0)« hT , h

Скачать электронную версию публикации