Determination of accessory parameters for mapping onto a numerable polygon.pdf Область Д называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании L(w) = w + 2п область остается неизменной ЦД) = Д. Область Д называют область типа полуплоскости, если при преобразовании L(w) = w + 2п среди всех простых концов границы области Д в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец. Определение 1. Счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п называют [1] односвязную область Д типа полуплоскости, c симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, такую, что часть границы области Д от точки w0 до точки w0 + 2п состоит из конечного числа прямолинейных отрезков и лучей. Двигаясь по границе счетноугольника Д от точки w0 до точки w0 + 2п в положительном направлении, обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через A^,A°,...,A°,A/, A1 = + 2п , n е N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через а!П, а2п ,..., апп, а!П. Для вершин A(° в конечной части плоскости ak е(0,1) U (1,2], если вершина находится в бесконечно удаленной точке, то ак = 0. Из геометрических соображений видим, что а! + а2 +...+ ап = n. Остальные вершины Am определяются сдвигом вершин A° вдоль вещественной оси Am = A° + 2nm , m е Z , k = 1,.,n. Согласно теореме Римана, существует отображение f однолистно и конформно переводящее верхнюю полуплоскость П+ ={z е C : Imz > 0} на счетноуголь-ник Д. Интерес к конформным отображениям верхней полуплоскости на счетно-угольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п появился в последние десятилетия [2, 3] благодаря приложению к некоторым задачам гидродинамики, задачам теплопроводности, СВЧ-теории и др.. Интегральная формула Кристоффеля - Шварца записана для отображения f верхней полуплоскости на счетноугольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п И.А. Александровым [4] с использованием принципа симметрии Римана - Шварца, С.А. Копаневым и Л.С. Копаневой [1] с помощью формулы типа формулы Шварца в следующей теореме. Теорема 1. Для отображения f переводящего верхнюю полуплоскость на счетноугольник и удовлетворяющего условию lim (f(z) - z) = 0, имеет место Im z^+ад формула (типа формулы Кристоффеля - Шварца) d Z + c2, (1) z n ! „0 0 f (z) = c |П1 sin 0 k=1 v 2 где c1, c2, - комплексные постоянные, a0k e [0,2п) - прообразы вершин счетно-угольника с углами ап. На отображение f наложено дополнительно условие lim (f (z) - z ) = 0, Im z^+вд предел здесь равномерный относительно Re z. Заметим, что это условие влечет за собой свойство f(z + 2nm) = f(z) + 2nm, m e Z . В задачах на нахождение конформного отображения задаются вершины области, а прообразы вершин ak и константы c1, c2, называемые акцессорными параметрами, как и в классической формуле Кристоффеля - Шварца остаются неизвестными. К настоящему времени разработаны различные эффективные методы численного определения этих параметров в классической формуле Кристоффеля -Шварца. Один из таких методов определения акцессорных параметров восходит к работе П.П. Куфарева [6] (см., более подробно, [7]). Используя параметрический метод Левнера, П.П. Куфарев показал, что для отображения с внутренней нормировкой определение акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца может быть сведено к задаче интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями Коши. Первые доведенные до конца расчеты выполнены Ю.В. Чистяковым [8]. Метод П.П. Куфарева получил развитие в работе [9], в работе [10] - применительно к случаю конформного отображения верхней полуплоскости на многоугольник при наличии граничной нормировки. В работе [11] с использованием идеи П.П. Куфарева и аппарата краевых задач Гильберта с кусочно-гладкими коэффициентами и вариации решений таких задач получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца. В настоящей статье метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров распространяется на случай конформного отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п. Пусть D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости, представляющая собой плоскость C с разрезами по попарно непересекающимся простым кривым ym, уходящим на бесконечность, Ym = Y0 + 2nm, m e Z, где y0 имеет некоторую параметризацию у0 : [0, +то) ^ C, у0 = у0©. Часть кривой у0, когда § e [s, +») с [0, +t»), обозначим через y0s) , то есть y0s): [ s, C, y 0s) =Y a©. Согласно теореме Римана, для каждого s e[0, существует однолистное и голоморфное отображение Тs : П+ ^ C, Т = Тs (z) = Т (z, s), такое, что Т, (П+ ) = C \ u Y« = C \ ( u уи (I), s < +4. meZ ImeZ J Ясно, что Т0 (п+) = D . Выберем параметризацию кривой у0 =Y0 (s(t) ) = Y0(t) так, чтобы 0 < t < и выполнялось lim (Т(z,t)-z) = 0. Im Обозначим Tt (п+ ) = D(t). При фиксированном t D(t) является частным случаем счетноугольника с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п. Семейство отображений z, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению типа уравнения Левнера [12]: ^ t) = 5^) ctg X(t) - z (3) dt dz 2 ' Заметим, что X(t) при каждом фиксированном t - точка вещественной оси, являющаяся прообразом конца кривой y0(t). Построим континуальное семейство областей D(t), 0 < t < да, сходящееся к счетноугольнику Д как к ядру относительно точки w0 при t, стремящемся к нулю, где w0 принадлежит области Д. Соединим какую-нибудь вершину , k e {1,...,n}, и вершины Am = A° + 2nm , m e Z , счетноугольника Д с бесконечно удаленной точкой параллельными лучами 10", целиком лежащими вне Д. Проведем переменные разрезы y™ (t), m e Z , удлиняющиеся из бесконечно удаленной точки по лучам 10" до начала этих лучей, получим семейство областей D (t0) = C \ j Ym (t), 0 < t0 < t < да . Каждому разрезу может принадлежать неmeZ сколько вершин счетноугольника Д, выделим какие-нибудь из них с одинаковой мнимой координатой. Выпустим из выбранных вершин прямолинейные разрезы Ym (t) вдоль некоторых сторон lm счетноугольника Д, примыкающих к лучам l0m в этих вершинах так, чтобы подвижные концы разрезов при изменении t от t0 до некоторого t1, 0 < tj < t0, проходили путь, равный длине стороны lf счетноугольника Д. Можем считать, что на этом и последующих этапах построения, для отображения T(z, t): П+^ D(t) выполняется условие (2). Если D (t1) = I C \ j ym (t) I \ u Yi" (t) ^ ^ , то t1 > 0 и в этом случае продолжаем по- V meZ / meZ строение, принимая область D (t1) за исходную и проводя в ней разрезы у™ (t) вдоль некоторых сторон lm счетноугольника, примыкающих к lm J lm . Получим 2 область D (t2 ) = C \ j j уm (t), 0 < t2 < t1. После n аналогичных шагов будет meZ k=0 n-1 построена полигональная область C \ ^ ^ у™ (t) без внешних точек, содержаmeZk=0 щая счетноугольник Д и не включающая в свою границу стороны lm, m e Z, этого счетноугольника. Проведя надлежащие разрезы yJ, m e Z, вдоль этих сторон счетноугольника Д, получим семейство областей, сходящееся к счетно-угольнику Д как к ядру относительно точки w0 при t, стремящемся к нулю. Семейство отображений Т : П+ ^ D(t) можем выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие (2) и Т(0,t) = Aj0 для всех t e [0, да). Равномерная сходимость внутри верхней полуплоскости семейства отображений z,t) к отображению f следует из приведенной далее теоремы. Теорема 2. Пусть {Dn }neN - последовательность односвязных областей, Dn с C. Все области Dn, n e N, содержат точку w0 вместе с некоторой е-окрестностью, границе каждой области Dn, n e N, принадлежат точки w1, w2, w3. При n, стремящемся к бесконечности, последовательность областей Dn сходится к ядру D относительно точки w0, причем границе области D принадлежат точки w1, w2, w3. Тогда последовательность отображений fn : П+ ^ C, fn (П+) = Dn , нормированных условиями fn (0) = w1, fn (1) = w2, fn (да) = w3, сходится к отображению f: П+ ^ C, f (П+) = D, при n стремящемся к бесконечности равномерно внутри П+ , причем f (0) = w1, f (1) = w2, f (да) = w3. Доказательство. Пусть последовательность отображений gn : П+ ^ C, gn = gn (Z) , gn (П+) = Dn удовлетворяет условиям gn (С0 ) = w^ g'n (Z0 )> 0, n e N, где Z0 e^ . Согласно теореме Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру, последовательность отображений gn равномерно сходится к голоморфному однолистному отображению g, g (п+ ) = D внутри верхней полуплоскости. Обозначим прообразы точек w1, w2, w3 при отображении g через a, b, c соответственно, пусть, для определенности, a < b < c. Обозначим прообразы точек w1, w2, w3 при отображении gn через an = a + an, bn = b + pn, cn = c + yn соответственно. Построим последовательность дробно-линейных отображений Zn =Zn (z), удовлетворяющую условиям Zn (0) = an, Zn (1) = bn, Zn (да) = cn. Предположим сначала, что точки a, b, c - конечные, тогда отображение Zn будет иметь вид z (b - a + Pn-a n)(c + y n)-(b - c + Pn ~y n)(a + a n) Zn (z) = - :(b - a + Pn-an)-(b -c + Pn-yn) При n, стремящемся к бесконечности, последовательность отображений Zn сходится к отображению z(b -c)c-(b -c)a Z(z ) = z (b - c )-(b - c) Покажем, что последовательность отображений Zn сходится равномерно внутри верхней полуплоскости к отображению Z, т. е. что для всякого е > 0 существует такой номер N, что |Zn (z) - Z (z)| < 8 при любом n > N и для всякого z e K , где K - компакт, содержащийся в верхней полуплоскости. Поскольку z принадлежит замкнутому, ограниченному множеству K, то существуют max| z | и minimz, zeK zeK обозначим их соответственно Ми т. Последовательности an, bn, cn сходятся к числам a, b, c, следовательно, можно указать такой номер N, что при n > N выполняется |an| < 5, |pn| < 5, |yn| < 5, для любого 5 > 0, пусть 8 N, имеем \С (z)-Z(z_|z|2 An +|z|Bn + Cn_ |z (ь - a + Pn-an) + c - b +ln-p„||z(b - c) + c - b\' ^ где последовательности An, Bn, Cn выражаются через a, b, c, an, pn, yn. Оценим сверху последовательность An, имеем An = |yn ((b - a)2 + (b - a) (Pn - an ))| < 8 ((b - a)2 +1 b - a | 28). В силу (4) заключаем, что An 3| b - a | Imz, |z(b - a) + c - b| >| b - a | Imz. а для второго Таким образом, |Zn(z)-Z(z) 0 возьмем 5 > 0, удовлетворяющее условию (4) и 8< -, R получим |Zn (z) -Z(z) 0. Возьмем такое N, чтобы |an| < 5, zeK |pn| < 5, при всех n > N, где с 5 = - 2M +1 Оценим модуль разности отображений Z и Zn для n > N, имеем IZn (z) - Z(z) = |z (Pn - an) + an I

Скачать электронную версию публикации