Homogeneous berger space and deformations of the SO(3)- structure by its geodesic on 5-dimension Lie groups.pdf Известно [1], что существует неприводимое представление группы SO(3) в пространстве R5. Оно основано на том, что векторное пространство R5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом: л/3" Х = (х1,...,х5) о-ст(Х) = (1) + х4 л/3 - Неприводимое представление р на R задается формулой p(h)X = ha(X)h_1, h e SO(3). Для элемента ст(Х) рассмотрим его характеристический полином rs /о Px (X) = det(a(X) -XI) = -X3 + g (X, X) +-T (X, X, X). Этот полином инвариантен относительно SO(3)-действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются SO(3)-инвариантными. При действии SO(5) группа изотропии тензора Т совпадает [1] с SO(3). Билинейная форма g - это стандартное скалярное произведение на R5, g (X, X) = xj2 + x22 + x32 + x42 + x52 , а трилинейная часть Т задается формулой Т(Х,Х,Х) = 2х1(6х22 + 6х42 -2х12 -3х32 -3х52) + ~~х4(х52 -х32) + 3л/3х2х3х5. 3л/3 Заметим, что T (X, X, X) = 2 det(X), где Х отождествляется с матрицей по формуле (1). Тензор T = ^5 k=1ti]kdxi ® dxj ® dxk симметричен по всем аргументам, и свертка по любым его двум индексам равна нулю. Кроме того, он обладает еще одним свойством, которое удобно сформулировать при помощи эндоморфизмов TX = iXT, полученных сверткой с векторами: TX (•, •) = T(X, •, •). Тогда для всех XeR5 имеет место равенство (ТХ)2Х = g(XX)X Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве R5 дает возможность определить неприводимую 80(3)-структуру на пятимерном ориентированном римановом многообразии (M5g) как редукцию структурной группы S0(5) расслоения реперов к группе Ли S0(3). В работе [1] показано, что неприводимую S0(3)-структуру можно определить при помощи симметричного тензорного поля Т типа (0,3) на М. В соответствии с этим подходом мы даем следующее определение: Определение 1. [1] Неприводимой 80(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (M,g) [2] называется тензорное поле Т типа (0,3), для которого линейное отображение X^TX e End(TM), XeTM, удовлетворяет следующим свойствам: 1) симметричность: g(X,TYZ) = g(Z,TYX) = g(X,TZY), 2) нулевой след: tr(TX) = 0, 3) для любого векторного поля ХеТМ TX2X = g(X,X)X. В статье [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис {e1, e2, e3, e4, e5}, в котором метрика g и тензор Т будут иметь канонический вид, а именно gy = 8 y и T = 2e (6(e2)2 + 6(e4)2 - 2(e:)2 - 3(e2)2 - 3(e5)2) + +^e4((e5)2 -(e3)2) + 3V3e2e3e5 . Здесь {e1, e2, e3, e4, e5} - дуальный репер. Из этого выражения получаем ненулевые компоненты тензора Т в адаптированном репере: t111 =-1, t122 = 1 t144 = 1 t133 =-2, t155 =-"2", V3 73 S t433 = t455 = t235 = Таким образом, неприводимая S0(3)-структура на многообразии - это риманова структура g и тензорное поле Т, обладающее указанными выше свойствами 1) - 3). Теорема 1 [1]. Стабилизатор тензора Tyk - это неприводимая S0(3), вложенная в 0(5). Поскольку стабилизатор Tijk есть неприводимая S0(3), его орбита под действием 0(5) - это 7-мерное однородное пространство 0(5)/S0(3). Теорема 2 [1]. 0(5)-орбита тензора Tjk состоит из всех тензоров Yjk, для которых ассоциированное линейное отображение R5 з v ^ Yv e End(R ), (Yv)j = YijkVk, удовлетворяет следующим трем условиям: 1) оно полностью симметрично, т.е. g(u,YVw) = g(w,Yvu) = g(u,Ywv); 2) имеет нулевой след tr(YV) = 0; 3) для любого вектора veR5'' Yv2u = g(u,v)v. Замечание. 0(5)-орбита Tyk, описанная инвариантом в вышеописанной теореме, состоит из двух S0(5)-орбum: орбиты Tijk и орбиты -Tyk. Рассмотрим однородное пространство M1 = SO(5)/SO(3). Впервые оно было описано М. Берже как многообразие, допускающее нормальную однородную метрику положительной секционной кривизны. Оно топологически эквивалентно [2] S3-расслоению над S4. Относительно биинвариантного скалярного произведения (A, Б) = - tr (AB) на SO(5) получим разложение so(5) = so(3)+V алгебры Ли so(5) в прямую сумму алгебры Ли so(3) группы SO(3) и ad(SO(3)) - инвариантного подпространства V. Выберем ортонормированный базис £ь Е2, E3, такой, что Еь Е2, E3eso(3), а юь...,ю7 e V: E = 3 0 0 0 0 л/3 1 0 0 л/3 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 , E = -л/3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 -л/3 0 0 -1 0 J V 0 -1 0 0 0 J f 0 0 0 0 01 f 0 л/5 0 0 0 ^ 0 0 0 2 0 л/5 0 0 0 0 = 0 0 0 0 1 K>J = 0 0 0 0 0 , 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 -1 0 0 J V 0 0 0 0 0 J 0 0 л/15 f л/31 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 л/3 0 0 1 0 V 2 2 J л/5 2 0 0 0 л/5 0 0 0 л/5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 л/5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 л/5 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 л/15 0 0 0 0 2 л/5 0 0 л/15 0 J 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 f 0 0 0 0 01 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 V 0 0 -2 0 0 J f п >/3 0 0-- 2 0 0 0 л/3 0 0 2 1 0 0 2 V 0 -2 0 Выпишем ненулевые скобки Ли элементов юь..., ю7: л/15 1 [ю1,ю2] = 2 E2 +ю3, [ю1,ю3] = --^E1 -ю2, [ю1,ю4] = -2E3 +ю5, 1 л/15 [ю1,ю5] = -ю4, [ю1,ю6] = -2E2-ю7, [ю1,ю7] = 2 E1 +ю6, л/15 3 [ю2, ю3] = -- E3 +ю1, [ю2, ю4] = ю6, [ю2, ю5] = E2 +ю7, 3 [ю2, ю6] = -ю4, [ю2, ю7] = 2 E3-ю5, [ю3, ю4] =-2E2 +ю7, л/15 1 [ю3,ю5] = 2 E1 -ю6, [ю3,ю6] = E3 +ю5, [ю3,ю7] = -ю4, [ю4, ю5] = ю1, [ю4, ю6] = -2E1 +ю2, [ю4, ю7] = ю3, г т г т 3 Z7 +г т [ю5, ю6] = 2 E2 -ю3, [ю5, ю7] = -E +ю2, [ю6, ю7] = -- E3 -ю1. Спроектируем скобки Ли на пространство V и результаты запишем в виде таблицы: Проекции скобок Ли |ю„ю,] на векторное пространство V1 ю1 ю2 ю3 ю4 ю5 ю6 ю7 ю1 0 ю3 -ю2 -ю5 -ю4 -ю7 ю6 ю2 -ю3 0 ю1 ю6 ю7 -ю4 ю5 ю3 ю2 -ю1 0 ю7 ю6 -ю5 -ю4 ю4 ю5 -ю6 -ю7 0 -ю1 ю2 ю3 ю5 ю4 -ю7 -ю6 ю1 0 ю3 -ю2 ю6 ю7 ю4 ю5 -ю2 -ю3 0 -ю1 ю7 -ю6 -ю5 ю4 -ю3 ю2 ю1 0 Получаем, что операция V х V ^ V для любых A, B е V определяет на семи мерном пространстве V векторное произведение. Рассмотрим кососимметричную 3-форму на векторном пространстве V7: ф(Х,^ = . В базисе ю 1,.,ю 7 она имеет вид ™ ,,123 . 145 167 . 246 . 257 . 347 356 ф = ю + ю - ю + ю + ю + ю - ю , где ю^к = ю'люлю10, ю1 - базис, дуальный к базису ю,-. Форма ф определяет так на зываемую, ассоциативную калибровку [3] пространства V . Дуальной к ней относительно оператора Ходжа (*) является форма ,-.4567 4523 4163 ,.4127 , 2367 , ,.1357 , ,.1256 У = *ф = ю - ю - ю - ю + ю + ю + ю , которая задает коассоциативную калибровку [3] пространства V7. Продолжим эти две формы ф и у на все однородное пространство M1 как инвариантные формы. Если х = gH, то фх(X(х), Y(х),Z(х)) = фo(dL-1 X(х), dL-jY(х),dr'Z(х)). Это возможно вследствие биинвариантности скалярного произведения на SO(5) и А^80(3))-инвариантности пространства V1. Таким образом, мы получаем инвариантные ассоциативную и коассоциативную калибровки на однородном пространстве M7. Теорема 3. Инвариантные формы р и у на однородном пространстве M1 = S0(5)/S0(3) не являются параллельными. Их внешние дифференциалы имеют вид 1247 , 1256 , 1346 , 1357 , 2345 2367 4567 dp = -ю + ю + ю + ю + ю - ю - ю , dy = 0. Доказательство. Вычислим внешний дифференциал данных форм. Будем использовать обычную формулу [4, т. 1, с. 43]: d р( Xj, X 2, X3, X4) = ]Г(-1)г+1 X р( X„..., X,,..., X4) + i=1 X(-1)+1 p([Xt,Xj],X1,...,Xt,...,jtj,...,X4). (2) i< 1 В качестве векторных полей Xi на M7 возьмем киллинговы векторные поля, т.е. такие поля, которые получаются из правоинвариантных векторных полей на группе S0(5) при проекции S0(5) ^ M1 = S0(5)/S0(3). Вычисления будем проводить только в точке o = [S0(3)] e M1. Будем считать, что Xt - это киллингово векторное поле, соответствующее базисному элементу ю, пространства V = ToM1 . Оно соответствует правоинвариант-ному векторному полю на группе S0(5), Xt (g) = dn(dRgю,). В этом случае их скобки Ли в точке o = [S0(3)] могут быть найдены по формуле XX'] = -dn([(Bt, ю/]) = -[ю,, юj]V, что решает вопрос о вычислении второй суммы в формуле (2). Вычислим первую сумму. Пусть gt - однопараметрическая группа, порожденная полем W. Тогда, учитывая, что поля X,7,Z - это проекции правоинвариантных векторных полей на S0(5), порожденных элементамиX,7,Z из V7, получаем d р„ (X(gt), 7(gt), Z (gt)) = d_ dt d_ dt W p( X ,7, Z) = dt pe (d п о dLgX (gt), d п о dL-g] 7 (gt), d п о dL-g] Z (gt)) = t=0 pe (dп о dLg dR X, dп ° dLg dR 7, dп ° dL- dR Z) = t=0 = -pe (d п([W, X ]), 7, Z) - pe (X, d ^[W, 7 ]), Z) pe (X, 7, d ^[W, Z ])) = -pe ([W, X ]v , 7, Z) + pe ([W, 7 ]v , X, Z) - pe ([W, Z ]v , X, 7) Учитывая, чтоXt = ю, в точке o = [S0(3)], первая сумма в формуле (4) имеет вид X, р(X/, Xk, X,) - Xjр(X,, Xk, X,) + +Xk p( X,, X/, X,) - X, p( X,, X/, Xk) = = -ф([юг, ю j ]v , юк, ю,) + ф([юi, юк ]v , ю j, ю,) --ф([юг, ю, ]v , ю j , юк) + ф([ю j , ю, ]v , юк, ю,) --ф([ю j , юк ]v , ю,- , ю, ) +ф([ю ;, ffls ]v , ю, , юк ) --ф([юк,ю, ]v , ю;,ffls) + ф([юк, ю j ]v , ю, , ffls) --ф([юк, ю,]v , ю,, ю j) -+ф([ю,, ю, ]v , ю j , юк ) --ф(К , ю j ]v , ю,, юк) + ф([ю, , юк ]v , ю,, ю j ) = = -2ф([ю,, ю j ]v , юк, ю,) + 2ф([ю,, юк ]v ,ю;,X,) --2ф([ю,, ю,]v , ю j, юк) - 2ф([ю j, юк]v , ю,, ю,) + +2 ф([ю j, ю,]v , ю,, юк) - 2ф([юк,ю, ]v , ю,, ю;). Вторую сумму в формуле (2) можно представить как -ф([ X,, Xj ], Хк, X,) + ф([ X,, Хк ], Xj, X,) --ф([X,, X, ], Xj, Xk) - ф([Xj, Xk ], X,, X,) + +ф([X3,X,],X,,Xk)-ф([Xk,X,],X,,X3). Учитывая, что X, = ю,- в точке o = [SO(3)] и [XX] = - Лтс([ю,-, ю,]) = -[ю,, roj]V, получаем dф(ю,, ю j, юк, ю,) = -ф([ю,, ю j ]v, юк, ю,) + +ф([ю,, юк ]v, ю j, ю,)-ф([ю,, ю, ]v, ю j ,Xk) + +ф([ю j , юк ]v , ю,, ю,) - ф([ю j, ю, ]v , ю,, юк) + +ф([юк , ю, ]V , ю,, ю j ). Совершенно аналогично вычисляется внешний дифференциал формы у = *ф: d у(ю1, ю2, ю4, ю5) = (-1)i+1 у([ю,, ю j ], ю1,..., юо,,..., юо j ,...ю5). i< j Прямые вычисления показывают, что 1247 , 1256 , 1346 , ,.1357 , ,.2345 ,.2367 ,.4567 п «ф = -ю + ю + ю + ю + ю - ю - ю , dy = 0. Теорема 4. Однородное пространство M = SO(5)/SO(3) имеет положительную непостоянную секционную кривизну, является эйнштейновым, кривизны Рич- 27 189 чи Ric = - и имеет скалярную кривизну равную = --. Доказательство. Вычислим кривизну однородного пространства M1 = SO(5)/SO(3) по формулам [5, с. 214]: (R(X,Y)Y,X) = -4|[X,Y]v |2 + g([X,Y^),[X,Y]ао(3)), Ric(X,X) = -1 B(X,X) + 2Xg([X, ю, ]So(3), [X, ю, ]So(3)), = X Ric((°i , ю, ^ B(X,X) = -X ([X, юг ]s0(5),[X, юг ]s0(5)) - X ([X, Ej ]s0(5),[X, Ej ]s0(5))), g(•,•) - скалярное произведение на алгебре so(5) и (•,•) - скалярное произведение на V, X,Ye V. Положительность секционной кривизны очевидно следует из первой формулы. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что секционная кривизна на площадках, образованных базисными векторами принимает значения от 1 17 7 д° "Т: 4 4 K15 = K24 = K26 = K37 = K45 = K47 = ^ K13 = K16 = K36 = 2 , K25 = K27 = K57 = 2 , K12 = K17 = K23 = K25 = K56 = K67 = 4 = = = 17 K14 = K34 = K37 = . 27 Тензор Риччи пропорционален метрическому тензору, Ric = - g . Скалярная 189 Т' gx = кривизна, sc = - Рассмотрим еще одну инвариантную риманову метрику на пространстве M = SO(5)/SO(3). Тензор T определяет [1] эндоморфизм пространства so(5) по формуле T(W)'k = 4TijmTklmW]l. Это позволяет определить на so(5) еще одно инвариантное скалярное произведение по формуле [1] (W ,W') = *(T(W) a*W '), где * - оператор Ходжа. Это скалярное произведение сохраняет ортогональность разложения so(5) = so(3) + V и имеет сигнатуру (3,7). В выбранном базисе оно имеет вид: (Е, Е) = -75), (rai, ю) = 85). Получается метрика g2 на пространстве M1 = SO(5)/SO(3), пропорциональная рассмотренной выше метрике g. Теорема 5. Однородное пространство M1 = SO(5)/SO(3) с инвариантной ри-мановой структурой g2 имеет положительную непостоянную секционную кривизну и является эйнштейновым. Для примера деформации структурного тензора Т рассмотрим однопараметри-ческую подгруппу, соответствующую юь где cos^Bx - sin-v/5x 0 0 о 1 sinV5x cosV5X 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1, Легко проверить, что gx является геодезической на однородном пространстве. Подействуем геодезической gx на структурный тензор * гр\ _ гр p r , (gx )ук = pr,gi g1gk. Получим ненулевые компоненты деформированного тензора (gxt )ш =- cos-\/5x(4cos2 л/^x - 3), (gxt )112 = si^>/5x(4cos2 л/5x -1), (gxt)122 = cosл/5x(4cos2 л/^x - 3), (gxt )222 =- smл/5x(4cos2 л/^x -1), (gxt )133 =- :2co^>/5x, (gxt )135 ^y^m^x (gxt )144 = c0s^x, (gxt )155 =- x, (gxt)222 =- smл/5x(4cos2 л/^x -1), (gxt )233 = ^ЯП^ л/3 г (gxt)235 = -cosV5x, (gx^1)244 =- sin^x, (gxt )255 = x (gxt)334 = - -, (gxt)455 = ~. Рассмотрим, как влияет деформация на такие характеристики структурного тензора, как ковариантная дивергенция и свойство приближенной интегрируемости. Определение 2 [1]. Неприводимая SO(3)-структура на многообразии М называется приближенно интегрируемой, если (VXT)(XXX = 0 для любого векторного поля X на М. Теорема 6 [6]. Если SO(3)-структурa Т приблизительно интегрируемая, то ковариантная дивергенция тензора Tравна нулю, 5Т = 0. Обратно не верно. Пример 1. Алгебра Ли so(3)x „R2 задается следующими коммутационными соотношениями: [ebe2] = e3, [e2,e3] = e1, [e3,e1] = e2. Обе структуры являются приблизительно интегрируемыми. Пример 2. Алгебра £51 [7] задается следующими коммутационными соотношениями [e2,e4] = e1, [e3,e5] = e1. Ковариантная дивергенция тензора Т будет равна 0. Данная 80(3)-структура не является приблизительно интегрируемой. Выпишем ненулевые компоненты ковариантной дивергенции деформированного тензора 5&хТ )14 = 5&хТ)41 =- sin^x(4cos2 V5x -1), S(gхТ)24 =8(gхТ)42 = cosV5x - cosV5x(4cos2 л/5х - 3), 5(gхТ)33 = -8(gхТ)55 = >/з x. По теореме 3 эта структура не является приблизительно интегрируемой. Пример 3. Алгебра Ли aff(R)xpso(3) задается следующими коммутационными соотношениями: [e1,e2] = e2, [e3,e4] = e5, [e3,e5] = -e4, [e4,e5] = e3. Ковариантные дивергенции тензоров Т и gXT соответственно равны ( 3 0 0 0 01 0 -3 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 -1 0 0 V 0 0 0 1 2 ) 5( g ХТ )„ =-5( g ХТ )22 = -3cosV5x(4cos2V5x - 3), 8( g хТ )12 =5( g хТ )21 = -3 x(4cos2%/5x -1), 5( g хТ )33 = 5(gхT )55 = ■]2co^л/5X, л/3 г- 5( g хТ )35 =5( g хТ )53 = - sinV5 x, 5( g хТ )55 = |cosV5x. Аналогично, можно рассмотреть деформации другими геодезическими пространства S0(5)/S0(3).

Скачать электронную версию публикации