Application of Kufarev method to problem of subsoil waters movement under hydraulic engineering constructions.pdf Метод П. П. Куфарева Отображение верхней полуплоскости на односвязный прямолинейный N-угольник с заданным расположением вершин на границе области Z представляется формулой Щварца - Кристоффеля W N -ад к=1 (1) В ней вещественные постоянные ak - прообразы вершин многоугольника, а показатели степени ак связаны с углами при вершинах фк зависимостью фк = n(ak+1). Трудность практического применения формулы (1) состоит в том, что прообразы ak заранее неизвестны и их нужно находить по заданным вершинам Zk многоугольника. Поэтому формула (1) обычно используется только в тех редких случаях, когда интеграл вида (1) получается в явном виде. Но и в этих случаях вычисление прообразов ak, чаще всего, оказывается достаточно сложной задачей. В методе П. П. Куфарева проблема прообразов решается совершенно необычным способом, и при этом сводится к гораздо более легкой задаче - к численному решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод впервые был предложен в статье П. П. Куфарева [1]. Он позволяет легко, быстро и с высокой точностью вычислять прообразы вершин по заданным вершинам отображаемого многоугольника. Развитие метода [1] получило в работах [2, 3]. В то же время, уже более пятидесяти лет назад нашли применение численные методы конформных отображений [4, 5]. С развитием вычислительной техники эти методы получили новый импульс [6-10]. В предыдущей статье авторов [10] приводится теория метода П. П. Куфарева и вопросы его численной реализации с современных позиций. Можно сказать, что этот метод с успехом выдержал различные испытания и находится вне конкуренции по сравнению с другими возможными способами численных конформных отображений [11]. Метод П. П. Куфарева предназначен для вычисления прообразов вершин, и для этого в вычислительной программе достаточно задавать только последовательность отрезков сторон отображаемого многоугольника. В настоящей статье, с целью еще одной проверки эффективности метода П.П. Куфарева, приводится пример численного решения задачи о течении грунтовых вод. Математическая постановка задачи и метод ее решения Опыт показывает, что движение грунтовой воды в однородном грунте достаточно точно следует законам движения идеальной жидкости. Поэтому для решения двумерных задач целесообразно применять метод конформных отображений. Математическая теория фильтрационных течений жидкости в пористой среде описана, например, в книге [11] и более подробно в книгах [12, 13]. В них считается, что выполняется условие несжимаемости жидкости и имеет место закон движения (Дарси) - скорость частиц жидкости пропорциональна градиенту давления P: V = -х • gradP, divV=0 . (2) Коэффициент пропорциональности х зависит только от характера грунта и называется коэффициентом фильтрации. Из уравнений (2) следует, что давление в грунте удовлетворяет уравнению Лапласа: д2 P д2 P = 0. (3) дХ ду2 Граничными условиями для определения давления P служат: 1) на участке, где грунт соприкасается с водой, давление должно быть равно гидростатическому давлению слоя воды над ним; 2) на участке контакта грунта водонепроницаемой границей нормальная производная давления равна нулю. Таким образом, должна решаться задача со смешанными граничными условиями для нахождения поля давления P (x, y) в грунте. В интересующей нас задаче можно найти простое решение для давления P (u, v) внутри области t, которая представляет собой вертикальную полосу и показана на правой стороне рис. 1: П П t = u + iv,--< u

Скачать электронную версию публикации