A refinement of the boundary element collocation method near the boundary of domain in the case of two-dimensional probl.pdf В настоящей работе рассматриваются внутренние и внешние начальнокраевые задачи (НКЗ) для уравнения ∂tu = a2∆2u - pu с постоянными a,p> 0 в открытой двумерной пространственной области Ω с граничными условиями второго и третьего рода при нулевом начальном условии. Предлагается полностью обоснованный коллокационный метод граничных элементов (КМГЭ) [1, c. 21], позволяющий получить равномерно сходящиеся в пространственно-временной области Ω × [0, T ] приближенные решения указанных НКЗ. Решения ищутся в виде потенциала простого слоя с неизвестной функцией плотности, определяемой из граничного интегрального уравнения (ГИУ) второго рода. Ранее обоснование КМГЭ для решения таких НКЗ типа Неймана на основе ГИУ второго рода было выполнено в работах [2-5]. В работах [2, 4, 5] доказательство сходимости метода было сделано на границах класса гладкости C ∞ , а в работе [3] - на негладких поверхностях, удовлетворяющих условию типа Липшица. В работе [4] при решении ГИУ используется замена переменных, которая позволяет избавиться от сингулярности в правой части ГИУ. Д.Ю. Иванов В настоящей работе осуществляется кусочно-квадратичная интерполяция (ККИ) временной С0-полугруппы U(τ), через которую выражаются ядра интегральных операторов, с равным шагом hτ по параметру полугруппы τ . Кроме того, осуществляется ККИ функции плотности, при этом граница ∂Ω разбивается на равные по длине дуги s граничные элементы (ГЭ). Дальнейшая аппроксимация ГИУ осуществляется в соответствии с работой [6], где для вычисления интегралов по s на сингулярном ГЭ, а также на около-сингулярных ГЭ в некоторой фиксированной по длине дуги области, прилегающей к сингулярному ГЭ, используется точное интегрирование по переменной r -расстоянию от граничной точки, в которой вычисляется интеграл как функция от параметра, до текущей точки интегрирования X ∈ ∂Ω (сингулярным называется ГЭ, в котором достигается значение r = 0). Такое интегрирование практически осуществимо для любой аналитически заданной границы ∂Ω. Для дальнейшей аппроксимации потенциала в точках x ∈Ω здесь предлагается схожая методика. А именно, для вычисления интегралов по s на ГЭ, отстоящих от точки x на расстоянии, не превышающем, примерно, трети радиуса круга Ляпунова, используется точное интегрирование по некоторой компоненте ρ расстояния r от точки x до точки X ∈ ∂Ω : ρ ≡/r -d2 (d - расстояние от x до ∂Ω), также практически осуществимое для любой аналитически заданной кривой ∂Ω. При таком интегрировании в качестве весовых функций берутся функции переменной ρ, порожденные фундаментальным решением уравнения теплопроводности, а остальная часть подынтегральной функции аппроксимируется с помощью квадратичной интерполяции по ρ . Другие интегралы по s на ГЭ вычисляются с помощью простых квадратурных формул Гаусса (ПКФГ) [1, c. 79]. Интегрирование по τ проводится аналогично: множитель e-pτ аппроксимируется с помощью ККИ, и тогда интегралы вычисляются точно. Матричные коэффициенты разрешающих НКЗ и ГИУ дискретных операторов экономно вычисляются в алгебре полиномов, образованных степенями оператора U(hτ ). С помощью разрешающего НКЗ дискретного оператора и значений граничной функции в точках коллокации tn = nhτ вычисляются значения приближенного решения НКЗ в точках tn , что позволяет осуществить ККИ приближенного решения НКЗ по времени t . Доказано, что полученные таким образом приближенные решения НКЗ сходятся к точным с кубической относительно шагов по времени и длине дуги скоростью равномерно в области Ω× [0,Г]. Доказана равномерная в Ω× [0,Г] устойчивость приближенных решений НКЗ к возмущениям граничных функций. Полученные результаты справедливы для границы ∂Ω с гладкостью C5. В работе [5] также доказана равномерная сходимость приближенных решений, но в предположении, что интегралы на ГЭ вычислены точно. Вопрос аппроксимации интегралов на ГЭ в литературе считается чисто вычислительным и выносится за рамки доказательства сходимости. Обычно интегралы по s в потенциале рекомендуется вычислять с помощью ПКФГ, так как подынтегральная функция при x ∈Ω, стро- Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области го говоря, гладкая. Но при r →+0 подынтегральная функция, полученная после предварительного интегрирования по τ , обладает логарифмической особенностью, поэтому применение ПКФГ при r ≈ 0 нарушает равномерную сходимость, что проявляется в снижении точности вблизи границы ∂Ω. Приведены результаты вычислительных экспериментов по решению НКЗ в круговой пространственной области, которые показывают, что применение точного интегрирования по ρ позволяет в значительной мере сократить уменьшение точности численных решений при приближении к границе ∂Ω по сравнению с применением исключительно ПКФГ для аппроксимации интегралов по длине дуги на ГЭ при вычислении потенциала. Предварительные замечания Пусть Ω+ - двумерная открытая ограниченная односвязная область, и Ω- ≡ R2 \ Ω+ (R ≡(-∞,+∞) ). Кроме того, пусть ∂Ω, граница области Ω+ , является кривой класса гладкости C 2 , если не оговорено особо. Рассмотрим внутренние и внешние краевые задачи: a2∆2u2±-pu2±=Bu2± ( x ≡(x1,x2)∈Ω± ), ∂n(x)u2±-ηu2±=w2± ( x ∈∂Ω ), (1) где и± (x) и w± (x) - векторные функции со значениями в гильбертовом пространстве L2≡ L2(IT) (IT ≡[0,T]), заданные на множествах Ω± и ∂Ω соответственно (все пространства функций здесь комплексные); n( x) - нормаль к кривой ∂Ω , проходящая через точку x и направленная внутрь области Ω+ ; ∆2 ≡ ∂2x1x1 +∂2x2x2 (непрерывность и дифференцируемость векторных функций предполагается здесь в норме пространства их значений, в данном случае - L2 ); p > 0 , a > 0 (коэффициент температуропроводности), η≥0 (коэффициент теплообмена) - постоянные; B - замкнутый оператор в L2: (B.f) (t) = f '(t), заданный на множестве D(B) классов функций f∈L2 , эквивалентных абсолютно непрерывным на промежутке IT функциям f(t), таким, что f(0) = 0. Пусть C(Ω') и C'k (Ω') - пространства непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых на некотором множестве Ω' ⊂ R2 векторных функций со значениями в пространстве L2 . В работах [7, 8] доказана однозначная разрешимость задач (1) в классе C(Ω±)∩C2(Ω±) при любых w2± ∈C(∂Ω) . Решения имеют вид векторных потенциалов - криволинейных интегралов первого рода: u2±(x)= G0(x)v2± (x∈Ω± ), где функции v2± ∈C(∂Ω) находятся из соответствующих ГИУ: (2a) (g2± г±) (x) = w± (x) (x ∈∂Ω ), g2 ≡ +2-1 + G2-η G0, Gi (X) f = {Gi f) (x) ≡ ∫ Ki (X, x') f (x') dS (f ∈ C(∂Ω), і = 0,2), (2b) ∂Ω Д.Ю. Иванов Ki (х, х') (х ≠ х') - ограниченные операторы в пространстве ∑2, определяемые равенствами: Ki (х, х') f ≡ ∫ gi (х, х, т) ^kpU(τ)f dτ (f ∈ L2, і = 0,2), IT g0(х,х',т) ≡ a0(r,т), g2(х,х’,т) ≡ a2(r,т)b2(х,х'), a0(r, т) ≡ a(r, т), a2(r, т) ≡-r ∂ra(r, т), Ь2(х, х') ≡∂n(x)ln r^'. Здесь a(r, т) ≡(4πτ)-1exp |^-r(4 a2т)^ , r ≡ |х - х^ ; дифференцирование ∂n(х) осуществляется по точке х. Операторы U(т) образуют C0 -полугруппу правых сдвигов, порождаемую оператором B: (U(т) f )(t) = f (t -т) при τ≤ t, (U (т) f )(t) = 0 при τ>t, Bf = Iim т-1( f - U (т) f) (f ∈ D( B)). Заметим, что τ→+0 U (т)| = 1 при т0, если дуга откладывается по часовой стрелке, и sψ± и ∂^s>ψ± (j = 0,"). Так как ψ± > 0 на множестве Y, то существует положительная постоянная c± ≡ inf ψ± . (d, s, s')∈Y Пусть σ∈Ξs, s ∈ I's . Справедлива оценка: ∂sρ ≥ 2-1. Действительно, допустим обратное: ∂s ρ 0). ∆s →0 s 1 1 Так как Es ⊂ Ο(s)[11, с. 285], то угол хс(s)х0х:(s ') - угол между нормалями n (хс(s)) и n (хс(s ')) - равен ∏3 -ε2, где ε2 ≥ 0 (см. оценку (7) [11, с. 283]). Следовательно, угол х(s')х(s)х0 равен п/2 + ε1 +ε2. Тогда существует точка х:(s ") пересечения отрезка х:(s)х:(s') с дугой Es (иначе существует прямая, параллельная n (х(s)), пересекающая Es более чем в одной точке), такая, что угол между нормалями n (х(s' )) и n (х(s ")) не меньше ∏3 + ε1. Это невозможно, так как |х(s' )х(s ") ≤ |х(s)х(s') ≤ 3D , следовательно, точка х(s') находится внутри круга Ο(s ). Получили противоречие, вследствие которого справедлива оценка ∂s ρ≥2-1 при любых σ∈Ξs , s∈ IS . В силу равенства φ3 = ρ∂s ,ρ и неравенства ρ∣σ≥ c^получаем на основании доказанного оценку: ψ3 ≥ 2-1 с^^ (σ∈Ξs.s ∈ I's ). Кроме того, ∣ψj ≤ Ck при (s, s') ∈Θ , и d ≤ c1^/(3cK) , поэтому на множестве Y выполняется неравенство ψ± ≥ 6-1 C1 . Следовательно, функция δ± положительна и δ± ≤ 6 sup (s,s )∈Θ на множестве Y . Учитывая также, что ψ0± ≥cr±> 0, получаем остальные утверждения теоремы на основе представлений: ∂∙j"δ± = Fj∕∣^(ψ±)j+1 (ψ0)J , где функции Fj суть многочлены, образованные степенями производных ∂sk ψ0± , и ∂ls"ψ± (k, l = 0, j ). Теорема доказана. Следствие 2. Пусть ∂Ω∈C"+2 ("∈Z+ ). Тогда функция ρd±,s(σ)≡ρ±(d,s,s+σ) при любых фиксированных s ∈ IS , d∈ ID диффеоморфно с гладкостью C"+1 отображает множество Ξs на множество ρd±,s(Ξs). Функция δ± (d, s, р) ≡ δ± (d, s, s + σ± s (ρ)) (σ± (ρ) - функция, обратная к функции ρ± s (σ)) имеет непрерывные на множестве " ≡ {(d, s, ρ): ρ∈ρjs (Ξs), s ∈ I's , d ∈ ID} производные ∂∣ρ± (j = 0, n). Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области 15 Операторы G0 (x) [ C(∂Ω) → L2] (x ∈Ω±) представим в следующем виде: G0(x)f =∫ A(x,т)е^р'т U(т)f dτ (f ∈ C(∂Ω)). Здесь A(x,т) [C(∂Ω) →L2] IT (т> 0) - ограниченные операторы: A(х, т) f ≡ ∫ a(r, т) f (x’) ds’. J∂Ω Замкнутую область, образованную всеми кривыми ∂Ω± (d ∈ ID ), обозначим через ΩD. Пусть s ∈ I’S , d ∈ ID и х = Хе± (s). Используя местные координаты (ξs,ηs), равенство dξs = cosЗds' (З - угол между векторами n(х) и n(х')), оценку (7) [11, с. 283]: cos 3≥ 2-1 (х' ∈Εs), и оценку r ≥ ∣ξs∣, получаем следующую оценку: ∫ exp ∣^-rу(4 a2τjj ds' ≤ 2 ∫ exp^[_-ξs^∣(4 a2τ)J dξs ≤ 4^FΠτ1^ Εs -D (X ∈ Ω±d , τ> 0). (8) Представим операторы ∠4(x, τ) (x ∈ Ω±, τ> 0) в виде суммы: A( X, т) = A'( X, т) + A"( X, т), где A '(X, т) f ≡ ∫ a(r, т) f (X') ds' (x = Xc± (s) ∈ ΩD ), Εs A' (X, т) f ≡ 0 (X ∈Ω± \ ωD ), A"(x,т) f ≡ ∫ a(r,т) f (x') ds' (X = Xc± (s) ∈ Ω±D ), ∂Ω ∖Εs A "(X,т) f ≡ ∫ a(r, т) f (X') ds' (X ∈Ω± \ ΩD ). ∂Ω Так как нормаль X(s)X± (s) к кривой ∂Ω при любом s ∈ I's является и нормалью к кривой ∂Ω± (d ∈ ID ) [11, с. 312], то r ≥ D, если (x,x') ∈ Ω± \ωD × ∂Ω . Действительно, допустим, что при некоторых s1, s2 ∈ I's существуют точки X:(s1) и XcD (s2), такие, что ∣X(s1).XD (s2) < D . Тогда существует s3 ∈ I’S , такое, что либо X(s1) ≠ XeD (s3), прямая Xe(s1)XeD (s3) является нормалью к кривой ∂ΩD и ∣X(s1)XeD (s3) < D, либо X(s1) = XcD (s3). В обоих случаях прямая X(s1)Xe(s3) является нормалью к кривой ∂Ω в точке X(s3), причем длина отрезка X(s1) Xe(s3) меньше 2D , т.е. точка X:(s1) лежит внутри круга Ο(s3). Следовательно, существует прямая, параллельная нормали n (X(s3)) и пересекающая дугу X(s1) X(s3) кривой ∂Ω внутри круга Ο(s3) более чем в одной точке. Это невозможно, поэтому r ≥ D, если (x, X') ∈ Ω± \ ΩD × ∂Ω . Так как любая прямая, параллельная прямой X(s)X± (s) (s ∈ I’S , d ∈ ID ), пересекает границу ∂Ω внутри круга Ο(s) не более чем в одной точке, то r ≥ D, если 16 Д.Ю. Иванов х = Xc± (s) ∈ Ω±), х' ∈ ∂Ω \ Es. С учетом оценки (8) получаем следующие оценки норм операторов А'(х,τ), A(х, τ) [ C(∂Ω) → L2 ] при х ∈Ω±, τ> 0: ∣∣A'(х, τ)∣ ≤ C^ τ^^1^ , CA ≡ п^^1^a ; ∣∣A"(х, τ)∣ ≤ cA ≡(2π)-1 sup τ-1 exp Г-I(4a2τ)"∣. (9) τ∈(0,∞) В силу оценок (9) имеем равномерную на множестве Ω± ограниченность операторов G0 (х) [ C(∂Ω) → L2 ]: |^0(х)| ≤ 2уТс’а + TcA (х ∈Ω±). (10) Пусть N∣2 ∈ N , NJ/2 ∈ N . Зададим ограниченные операторы (50(х) [ C(∂Ω) → L2] (х ∈Ω±): ^50(х)f ≡ J х4(х,τ)Uj(τ)f dτ (f ∈ C(∂Ω)), хА(х,τ) ≡ А(х,τ)e(τ), IT IJ (т) ≡ ∑ u (Т2„+1 + qmhτ}Λm (т) ( τ∈[τ2„, τ2n+ 2 ] , П = 0, Nl2 - 1). m=0 Так как ∣∣U(τ)∣≤ 1, ∣e^^^≤ 1 (τ≥0), то ∣∣U7(τ)∣ ≤сл , ∣e(τ) ≤ ёл (см. оценки (5)). В силу оценок (4) имеем оценки |е(τ) f - u(τ)f I∣C(∂Ω) ≤ C. IIC(∂Ω, hτ (f ∈ C,(d^)), ∣e(τ) - e-^^≤(p7τV3) Cω hτ3 (t ∈ It ). (11) На основании оценок (9) и (11) при любых f ∈ C3 (∂Ω), х ∈ Ω± получаем оценки ||(70( х) f - g0( х) f| L2 ≤(2 cA^τ + cA t )[cω∣ ∣β3f∣ C (д^) + Сл Cω (p^ / JJ3 )f∣ C (g^) ] h^ , из которых вытекает следующее утверждение: Теорема 6. Пусть ∂Ω ∈ C2. Тогда операторы Gi0 (х) [ C3 (∂Ω) → L2 ] (N/2 ∈ N ) сходятся при N →∞ по операторной норме к соответствующим операторам G0 (х) [ C3 (∂Ω) → L2 ] равномерно по х ∈Ω± с порядком аппроксимации O (h3). Пусть L2 ∈ N . Введем в рассмотрение операторы Pl [ Hl → C(∂Ω) ]: {Pl f )(S) ≡Σ f^i-1+m лm(s) (f ∈ Hl , s ∈ [S2,-1,S3,+1 ], l = -L2,L2). m=0 На основании оценки (5) имеем оценку I∣Pl∣I ≤ Сл . В силу оценки (4) справедливы оценки (12) Их. pL f - Z∣e 0 имеем оценку: Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области 19 l=L2 20 ∑ ∑∑(J m ,2l+l -Jm ,2l+l )f2l -1+m l=-L2m=0l =-1 .,, ≡ 2s (γ!)4 [c2γ cΛ +2γ c2γ-ι cΛ +γ(2γ- 1)c2γ-2 cΛ] ≤ c’’ hs^^lf ІC2(SΩ), L2 (14b) [(2γ)!]3 (2γ +1) [10, с. 259]. Операторы G0(х), G0n (х) (n = 0, N -1), в которых интегралы Jml (х, τ) заменены выражениями ,J'ml (d, s, τ) и ,Jml (х, τ), обозначим через (70(х), (^00n(х) и (^00(x), (^00n(х) соответственно. В силу оценок (5), (14), ∣∣Pl II ≤ 1 имеем при условии ∂Ω ∈ C∩ C2γ оценки: ||(70(х)Pl f -«50(х)Pl f ||^ ≤ c^ ~c^ (2c'4τhS + Th2γ^∣f ∣C2(∂ω) (f ∈ C2(∂Ω)) (G^o( х) ≡ Gi'0( х)+Gi'0( х)), из которых вытекает следующее утверждение: Теорема 8. Пусть ∂Ω∈C5∩C2γ и γ≥2. Тогда операторы (^0(х)Pl [ C(∂Ω) → L2] (L∣2 ∈ N , N/2 ∈ N ) сходятся при L →∞ по операторной норме к соответствующим операторам G0 (х)Pl [ C(∂Ω) → L2 ] равномерно по N и х ∈Ω± с порядком аппроксимации O(hs3 ) . С учетом оценок (5) получаем следующие неравенства: l= L2 20 _ ∑∑ jm,2l+l' (d, s, т) f2l -1+m ≤ L2 l=-L2m=0l =-1 l=L2 Pd,s(αs,2l+1) ≤ л fIHl ∑ ∫ а(уІP^+ d, т) dρ≤ a π^^'^cΛd0 τ-^^∣m∣hl L l=-L2 P± (α ) L Pd,s(αs,2l-1) T Σ Σ J"m2i .1' (х, τ) f2ι-1+m ≤ 2 Sc^l fl Ihl l=-L2m=0l =-1 L2 L (d ∈ ID , S ∈ I's , х ∈ Ω± , f ∈ Hl , τ> 0), следствием которых являются неравенства ∣∣(G0(x)f∣L ≤ Cλ^cj^^a∏-1^ёлc0 + 2TSc0,^MHl (f ∈ Hl ). Последние неравенства позволяют сделать утверждение: Следствие 3. Пусть ∂Ω ∈ C2. Тогда операторы (^0 (х) [ Hl → L2 ] (L∣2 ∈ N, N/2 ∈ N ) ограничены в совокупности на множестве Ω± . При вычислении операторов G0(х) интегрирование по τ осуществляется точно, и интегралы выражаются через интегральные показательные функции 20 Д.Ю. Иванов Ei(-zn ) ( zn ≡(p2 + dV(4«2τn ) , n =", NlN). Затем вычисляются интегралы по p, но не все они вычисляются точно. В таких случаях для аналитического интегрирования функции Ei(-zn) заменяются многочленами, образованными первыми членами разложения этих функций в знакопеременные и быстро сходящиеся ряды Тейлора, а именно: K членами со степенями (zn ) (к =",K) и, кроме того, логарифмическим и постоянным членами. Значения σ±s (p±s∕ + cimh±si) (l=-L-",L, m = 0,2) могут быть получены как численные решения уравнений P0, sl X ∈Ω+) вычисляются с помощью ПКФГ с γ узлами. Вычисления проводим при T = 1, a = 1, N = 2, M = 2 (Σ = 2π∕3), K = 10, η = 0, p = 0, w+ (φ,t) = 16t2 (1 -1)2 sinφ (φ - полярный угол). «Точные» решения нахо дим с помощью функций Грина, при этом интегрирование по временной переменной на промежутке [0; 9 ∙10-7] осуществляем численно с помощью ПКФГ с 12 узлами, а все остальные интегралы вычисляем аналитически. Все решения получаем на окружностях ∂Ω ' с радиусами R’ < 1, концентрических с окружностью ∂Ω, в узлах (х" , tj) и (х”, t^) (l = -L -1, L , tj ≡ jh.^, j = 0, N), где х" и x'l - точки, получающиеся из граничных точек xl ≡ X:(s") и X[+1∣2 ≡ X:(s^ + hj2) соответственно, в результате сжимающего отображения окружности ∂Ω на окружность ∂Ω '. Вычисления проводим с обычной точностью. Пусть 5й ≡∣й+-й2^111«+Il, δu ≡∣й+-й+^ 11«+Il (|- среднеквадратичная норма). Через δu' и δu'' обозначим значения δUι или δu, вычисленные в узлах (Xl ,tj) и (Xl ,tj) соответственно. В таблице в каждой основной ячейке представлены три значения δu' или δu'' : значение δUι, значение δu при γ = 4 и значение δu при γ=12 в соответствующем порядке сверху вниз. Практически той же точностью, что и решения «+ , обладают решения й+ , отличающиеся от решений й+ только тем, что все интегралы J^l^ (х, т) вычисляются с помощью ПКФГ с γ узлами. Проведенные эксперименты позволяют утверждать, что применение исключительно ПКФГ для вычисления интегралов Jm I (X, т) влечет нарушение равномерной сходимости численных решений в области Ω+ : при приближении к границе ∂Ω точность решений й+ и Z^+ существенно уменьшается (в меньшей степени - при приближении к точкам, лежащим на границе между двумя граничными элементами). В то же время применение точного интегрирования по компоненте р+ межточечного расстояния r для вычисления интегралов J'm l (d, s, т) обеспечивает почти равномерную сходимость в области Ω+ : при приближении к любой точке границы ∂Ω точность решений й+ уменьшается менее чем в 10 раз. Близкие результаты были получены при значениях η=1 и p =π2 . Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области 23 Относительные среднеквадратичные отклонения δu R 1 - ^(3π) 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 C;- Il 9.19 ∙10-4 9.68 ∙10-4 9.77 ∙10-4 9.72 ∙10-4 9.79 ∙10-4 9.39 ∙10-4 9.31 ∙10-4 δu 9.26 ∙10-4 1.05∙10-3 3.67∙10-3 1.36 ∙ 10-2 1.50 ∙ 10-2 1.51∙10-2 1.51∙10-2 40 9.26 ∙10-4 9.69 ∙10-4 9.65 ∙10-4 1.50 ∙10-3 2.56 ∙10-3 2.65 ∙10-3 2.65 ∙10-3 9.74 ∙10-4 1.20 ∙10-3 1.60 ∙10-3 1.65 ∙10-3 1.66 ∙10-3 1.63 ∙10-3 1.63 ∙10-3 Il δu 1.01 ∙ 10-3 2.69∙10-3 4.27∙10-2 5.51∙10-2 5.65∙10-2 5.66∙10-2 5.66∙10-2 -5: 1.01∙10-3 1.21 ∙10-3 9.17 ∙10-3 1.93 ∙10-2 2.06 ∙10-2 2.07 ∙10-2 2.07 ∙10-2 •Г) Il 5.76 ∙10-5 6.72 ∙10-5 7.64 ∙10-5 7.70 ∙10-5 8.33 ∙10-5 6.54 ∙10-5 6.60 ∙10-5 δu 5.73 ∙ 10-5 7.07∙10-5 8.97∙10-4 5.25∙10-3 6.59∙10-3 6.68∙10-3 6.69∙10-3 (N 6.10 ∙10-5 6.98 ∙10-5 8.06 ∙10-5 6.55 ∙10-5 7.68 ∙10-4 8.54 ∙10-4 8.58 ∙10-4 5.76 ∙10-5 6.88 ∙10-5 9.42 ∙10-5 9.91 ∙10-5 1.05 ∙10-4 9.02 ∙10-5 9.04 ∙10-5 Il δu 5.75∙10-5 8.27∙10-5 1.35∙10-2 2.45∙10-2 2.59∙10-2 2.60∙10-2 2.60∙10-2 6.10 ∙10-5 7.13 ∙10-5 1.24 ∙10-3 7.84 ∙10-3 9.18 ∙10-3 9.28 ∙10-3 9.28 ∙10-3 m '6 Il 6.76 ∙10-6 8.36 ∙10-6 1.02 ∙10-5 1.08 ∙10-5 1.79 ∙10-5 3.62 ∙10-5 4.66 ∙10-5 δu 5.87∙10-6 7.02∙10-6 4.28∙10-4 1.85∙10-3 3.10∙10-3 3.19∙10-3 3.19∙10-3 7.26 ∙10-6 7.02 ∙10-6 1.10 ∙10-5 7.98 ∙10-5 2.82 ∙10-4 3.60 ∙10-4 3.64 ∙10-4 6.75 ∙10-6 8.37 ∙10-6 1.05 ∙10-5 1.13 ∙10-5 1.82 ∙10-5 3.63 ∙10-5 4.66 ∙10-5 Il δu 5.87∙10-6 7.02∙10-6 2.97∙10-3 1.11∙10-2 1.24∙10-2 1.25∙10-2 1.25∙10-2 7.27∙10-6 7.02∙10-6 4.63∙10-5 3.09∙10-3 4.34∙10-3 4.44∙10-3 4.44 ∙10-3 Также были проведены вычислительные эксперименты по решению аналогичных задач Дирихле с помощью потенциала простого слоя [12]. При этом в случае использования аппроксимации J'mι (d, s, т) тоже наблюдалась более высокая точность полученных вблизи границы ∂Ω численных решений, чем в случае аппроксимации интегралов J^l^ (х, т) только с помощью ПКФГ (для того, чтобы сравнение было корректным, в обоих случаях для решения соответствующих ГИУ первого рода использовалась аппроксимация Jq і(τ)). В заключение отметим, что точное интегрирование по ρ± может быть аналогичным образом использовано для аппроксимации потенциалов простого слоя стационарных уравнений ∆2u-pu=0 ( p ≥ 0) в двумерной области Ω± .

Скачать электронную версию публикации