Influence of nonlinear rigidity of elastic elements on the L-L type two-mass micromechanical gyroscope dynamics in a for.pdf На сегодняшний день ни одну современную систему управления, навигации и ориентации нельзя представить без датчиков, созданных на основе технологии МЭМС (микроэлектромеханических систем). Микромеханические гироскопы имеют ряд неоспоримых преимуществ: в первую очередь - миниатюрность, порой габариты гироскопа могут быть десятки микрометров, а также незначительное энергопотребление и низкую себестоимость [1, 2]. Из-за малых размеров ММГ не всегда удается выстроить качественную защиту прибора от внешнего воздействия. Повышение надежности конструкции и точности, получаемой от прибора информации, - на сегодняшний день одно из приоритетных направлений научной деятельности многих крупных компаний (таких, как Bosch и Analog Devices), занимающихся системами навигации и ориентации [3]. При проектирование конкурентоспособных гироскопических систем необходимо тщательно рассматривать возникающие в разрабатываемой модели динамические эффекты, обусловленные нелинейностью в системе, особенностью изготовления, сборки и т.д. С целью повышения точности технических характеристик для анализа была выбрана двухмассовая модель ММГ, так она более стабильна, чем модель с одной активной массой [4]. Нелинейность упругих элементов в системе представляет большой интерес, что доказывает наличие множества работ, посвященных изучению нелинейных факторов в гироскопах [4 - 8]. В итоге для анализа динамики была выбрана двухмассовая концепция ММГ L-L-типа в режиме вынужденных колебаний с присутствием в системе нелинейности упругих элементов и произвольной скорости основания, на которое устанавливается рассматриваемый гироскоп. Постановка задачи Рассмотрим выбранную нами модель (кинематическую) микромеханического гироскопа L-L-типа: Рис. 1. Кинематическая модель ММГ L-L-типа Fig. 1. A kinematic model of an LL-type micromechanical gyroscope Чувствительный элемент (далее ЧЭ) изображен на рис. 1. Конструкция его состоит из инерционной массы 1, которая крепится к рамке 2 при помощи четырех одинаковых внутренних торсионов 3. Рамка 2 четырьмя одинаковыми внешними торсионами 4 прикреплена к основанию 5. Торсионы имеют особую форму, что обеспечивает их работу только на изгиб, исключая их растяжение. На рамке 2 и подложке основания 5 размещена гребенчатая структура 6, являющаяся, по сути, системой плоских конденсаторов. Данная модель ЧЭ обеспечивает степени свободы вдоль осей X и Y. Цель данной работы в том, чтобы проанализировать динамический эффект, который возникает из-за наличия в системе нелинейной жесткости торсионов и произвольной угловой скорости основания в двухмассовой модели микромехани-ческого гироскопа L-L-типа в режиме вынужденных колебаний. Необходимо создать математическую модель такой системы и построить аналитическое решение. Проанализировать полученные дифференциальные уравнения ММГ. Построение уравнений движения Чувствительный элемент рассматривается как система «инерционная масса -рамка», которая закреплена на вращающемся с произвольной угловой скоростью Ω основании. В таком случае кинетическая энергия будет записываться следующим образом: t=2 mT (ι+(x •Ω)2)+2 mHK ((x'- (•Ω)2+(у+χ •Ω)2), где введены следующие обозначения: 1, y - координаты ЧЭ в системе координат, Влияние нелинейной жесткости упругих элементов на динамику 55 связанной с основанием; m^,^ - масса инерционной массы; mр - масса рамки; Ω - угловая скорость основания. Потенциальная энергия системы включает в себя энергию, обусловленную нелинейной жесткостью упругих торсионов: П = cx^^ + Cy + d (x4 + у4 ), x2y2 здесь Ci - жесткость упругого элемента (торсиона), а d - параметр, характеризующий нелинейность упругих свойств торсионов. Таким образом, лагранжиан системы записывается в виде l=2 „р (x2+(x ∙ω)2 )+2 „ин ((x - у ∙ω)2+cy+x ∙ω)2 )- -cx^xn: - СуУг - d (x 4 + у ^. (1) Пусть Ω - постоянная произвольная угловая скорость основания, а F∙sinωt -вынуждающая внешняя сила. В таком случае, воспользовавшись формализмом Лагранжа, получим xM + cxx - 2mинΩ)^ - M Ωn x + 4dx^ = F sin ωt; (2) '„н + СуУ + 2mин ωx - у + 4dy^ = 0, где F - амплитуда вынуждающей силы, ω - частота вынуждающей силы, М -сумма mин и mр. Пусть коэффициенты cx, и су удовлетворяют соотношению „р + „ин cx =----------Су. (3) „ин Соотношение (3) вводится для улучшения резонансных свойств ММГ, т.е. характеристики торсионов подбираются таким образом, чтобы резонансные частоты по обобщенным координатам совпадали. Запишем систему (2) в безразмерном виде: α + 2γα- 21+1δνβ + (1 - ν2)α + 4ε6∕ 1-1δα3 = εf0 sinμτ; (4) β + 2γβ + 2να + (1 - ν ^n )β + 4ε6∕β3 = 0, где т - безразмерное время, α и β - малые безразмерные амплитуды колебаний. Нормирующим параметром в данном случае служила величина h - зазор между гребенками контактов, образующих систему плоских конденсаторов. В таком случае x = 4εhα; у ^∕εhβ; τ = ω0t; ω0 = В нормализованной системе дифференциальных уравнений (4) точкой обозначается дифференцирование по времени; ν - безразмерная угловая скорость основания; δ - параметр, характеризующий наличие второй массы в гироскопе (отношение массы рамки к массе чувствительного элемента); d - безразмерный параметр, характеризующий нелинейные свойства упругих элементов (торсионов); f0 - безразмерная амплитуда вынуждающей силы; μ - безразмерная частота внешнего воздействия. 56 Е.А. Антонов, И.В. Меркурьев, В.В. Подалков Отметим, что амплитуда вынуждающей силы f0 мала по отношению к жесткости торсионов с, т. е. будем рассматривать мягкое возбуждение, при котором значение f0 порядка ε3'2. В работе принимается безразмерный коэффициент вязкого трения γ порядка малого параметра ε, то есть γ = εγ1. Так как масса рамки существенно меньше инерционной массы, поэтому δ - порядка ε, т.е. δ = εδ1. Перепишем систему (4) с учетом принятых допущений: α - 2νβ + (1 - ν2) α = -ε (2γ(i + 2νδβ + 46∕α3 - f0 sin μτ); β + 2να + (1 - ν2 )β = -ε (2γβ + 4t7β3). (5) Для дальнейшего упрощения записи уравнений в (5) индекс «1» у коэффициентов δ и γ опущен, а в правой части уравнений введены замены: F1 = 2γi + 2νδβ + 4(7α3 - f0 sin μτ; F2 = 2γβ + 46∕β3. Анализ динамики чувствительного элемента Для решения системы (5) была применена методика Крылова - Боголюбова [5]. Решение в переменных амплитуда - фаза имеет вид α= Asin(μτ+φ1)+Bsin(μτ+φ2); β=Acos(μτ+φ1)-Bcos(μτ+φ2). Перейдем от переменных A, B, φ1, φ2 к переменным Ван-дер-Поляp1, p2, q1, q2: α = p1 sinμτ + q1 cosμτ + p2 sinμτ + q2 cosμτ; β =p1cosμτ -q1sinμτ - p2 cosμτ +q2sinμτ. (6) Из решения однородного уравнения системы (5) следует, что собственные частоты системы будут равны ω1 =1 +ν; (7) (8) ω2 =1 -ν, а решение однородной системы уравнений будет иметь вид α=p1sinω1τ+q1cosω1τ+p2sinω2τ+q2cosω2τ; β=p1cosω1τ-q1sinω1τ-p2cosω2τ+q2sinω2τ. Для построения частного решения системы (5) запишем производные медленных амплитуд α и β (1 = p1μ cos μτ - q1μ sin μτ + p2μ cos μτ - q2μ sin μτ; (9) β3 = - p1μ sin μτ - q1μ cos μτ + p2μ sin μτ + q2μ cos μτ. Преобразуем (9) с учетом (8) 1 = p1ω1 cos μτ - q1ω1 sin μτ + p1 (μ - ω1 )cos μτ - q1 (μ - ω1 )sin μτ + +p2ω2cosμτ-q2ω2sinμτ+p2(μ-ω2)cosμτ-q2(μ-ω2)sinμτ; (10) β = -p1ω1 sin μτ - q1ω1 cos μτ - p1 (μ - ω1 )sin μτ - q1 (μ - ω1 )cos μτ + +p2ω2sinμτ+q2ω2cosμτ+p2(μ-ω2)sinμτ+q2(μ-ω2)cosμτ. Влияние нелинейной жесткости упругих элементов на динамику 57 Условие совместности записывается в виде P" sin μτ + q^ cos μτ + p2 sin μτ + q2 cos μτ = 0; P" cos μτ - q^ sin μτ - p2 cos μτ + q2 sin μτ = 0. ("") Продифференцировав (9), получим вторые производные для амплитуд α и β. Подставив найденные производные в исходную систему уравнений (5), получим p"μ cos μτ - q^μ sin μτ + p2μ cos μτ - q2μ sin μτ = -εG" - H"; ("2) -p"μsinμτ-q^μcosμτ + p2μsinμτ + q2μcosμτ = -εG2 -H2, Здесь введены следующие обозначения: G" = 2γα + 2νδβ3 + 46∕α3 - f0 sin μτ; G2 = 2γβ + 4(7β3; H"=-p"∆" sinμτ-q"∆"cosμτ- p2∆2sinμτ-q2∆2cosμτ; H2=-p"∆" cosμτ+q"∆"sinμτ+ p2∆2cosμτ-q2∆2sinμτ, где ∆" =μ2-ω"2-2ν(μ-ω"); ∆2 =μ2-ω22+2ν(μ-ω2). Разрешив ("2) и ("") относительно переменных pι, p2, qι, q2, получим систему уравнений вида p" =-^" (g" - g2 )cos μτ -" (h" - h2 )cos μτ; 2μ 2μ Ci" = ε (G" + G2 )sin μτ + 2. (H" + H2 )sin μτ; ("3) p2 =-^" (g" + g2 )cos μτ--" (h" + h2 )cos μτ; 2μ 2μ Ci2 = ε2-(G" -G2)sinμτ + 2-(H" -H2)sinμτ. Согласно ("3), переменные p1, p2, q1, q2 являются медленными функциями времени, поэтому корректно будет воспользоваться методом усреднения. Результат усреднения правых частей системы уравнений ("3) дает следующую систему дифференциальных уравнений в переменных Ван-дер-Поля: p" = -^"{γμ(p" + p2 + C" - q2">+νδμ(-q" + q2"> + 2μ - 3 " +^^^ (D" - D2)} {(p" - С")Д" + (С2 - p2')δ2}; 22μ q" = ^;^{γμ(-q"- C2- p"+ p2)+νδμ(-p"+ p2)+ "2 μ "2"2" 2 ~ 3 " " +d ~2.(D3 - D4^ - 2 f0} - 2μ {(p"∆" - p2 δ2 - q"∆3 + q2 δ4}; p2 = -^"{y-(p"+ p2-C"+ q2">+νδμ(-q"+ С2) + ("4) 2 2μ " 2"2 "2 ~ 3 " +d 2 (D" + D2)} + 2μ {(p"δ" - p2δ2 + q"∆3 + q2δ4}; q2 = ^" {γμ (-q"- C2+ p"- p2)+νδμ(-p"+ p2)+ 2 2μ " 2 " 2 " 2 +d2(D3+D4)-2-2μ{(p". q^)∆" -(C2 -p2)∆2}, 58 Е.А. Антонов, И.В. Меркурьев, В.В. Подалков где были введены следующие замены: ∆1 = μ2 - ω12 - 2ν(μ - ω1); ∆2 =μ2-ω22+2ν(μ-ω2); ∆3 =μ2-ω12+2ν(μ-ω1); ∆4 =μ2-ω22-2ν(μ-ω2); D1 =(q1+q2)[[(p1+p2)2+(q1+q2)2]_; D2 =(p1-p2)[[(p1-p2)2+(q1-q2)2_]; D3=(p1+p2)[[(q1+q2)2+(p1+p2)2_]; D4 = (q1 - q2 )[[(p1 - p2 )2 + (q1 - q2 )2 _]. Числовой пример Проведем численную оценку, полученных выражений. Рассмотрим двухмассовый микромеханический гироскоп со следующими характеристиками: масса чувствительного элемента m, = 10 6 кг; величина зазора между контактами гребенки (контакты при этом образуют систему плоских конденсаторов) h = 100 мкм; угловая скорость основания Ω = 500 рад/с; малый параметр ε = 10 3. Для такого случая построим амплитудно-частотные характеристики. Вначале запишем АЧХ для системы, где отсутствуют нелинейные слагаемые: Рис. 2. АЧХ для линейной системы Fig. 2. Amplitude-frequency response of a linear system Проанализировав графики, представленные на рис. 2 (а и b) можно сделать вывод, что при частоте внешней вынуждающей силы μ близкой к первой собственной частоте колебаний ω1 амплитуда колебаний «А» возрастает, в то время как амплитуда «В» имеет порядок ε, т.е. происходят колебания с очень малой амплитудой. Когда же частота μ близка ко второй собственной частоте колебаний ω2, картина меняется, т.е. теперь амплитуда «В» бесконечно возрастает, а амплитуда «А» стремится к нулю. Теперь построим АЧХ для нелинейной системы уравнений (14). Влияние нелинейной жесткости упругих элементов на динамику 59 B а 3 2 1 A 4 3 Рис. 3. АЧХ для нелинейной системы Fig. 3. Amplitude-frequency response of a nonlinear system Введение в систему нелинейных слагаемых изменило вид АЧХ (рис. 3) по сравнению с линейной системой (рис. 2), но интересующие нас закономерности в поведении амплитуд можно наблюдать и на этих АЧХ. При нахождении частоты внешнего воздействия около ω1 амплитуда «А» возрастает, а «В» становится достаточно малой, такой же результат мы наблюдали и в линейной системе. Аналогично с линейной системой ведет себя и нелинейная система при μ близком к ω2. Заключение В данной работе построена математическая модель двухмассового микромеха-нического гироскопа L-L-типа в режиме вынужденных колебаний. В полученной модели учтены: вязкое трение в системе, произвольная угловая скорость основания, нелинейные упругие свойства торсионов (упругих элементов). Особый интерес представляет тот факт, что в данной задаче угловая скорость основания не ~ ε, а является произвольной величиной. Также полученные уравнения позволяют учесть вторую массу рассматриваемого ММГ. Построены АЧХ как для линейно системы, так и для системы с нелинейными слагаемыми. Сделаны соответствующие выводы о поведении системы. Особо интересным результатом данной работы стал вывод о том, что в рассматриваемой системе при приближении частоты внешнего воздействия к одной из собственных частот системы происходит резкое возрастание амплитуды колебаний по одной моде, а по другой моде, напротив, амплитуда становится достаточно малой.

Скачать электронную версию публикации