On weak solutions of a loaded hyperbolic equation with homogeneous initial conditions.pdf В работе [1] был предложен приближенно -аналитический метод решения смешанной задачи с однородными начальными условиями для нагруженного гиперболического уравнения, аппроксимирующего дифференциальное уравнение в частных производных с натуральной степенной нелинейностью. В этом методе для линеаризации обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), ассоциированного с нагруженным, используются априорные оценки решения начально-краевой задачи для нагруженного уравнения. Решение задачи Коши для ОДУ используется для записи приближенного решения нагруженной задачи. Полученное таким образом решение принимается за нулевое приближение, используемое для запуска итерационного процесса нахождения «достаточно точного» приближенного решения нелинейной задачи. Как показано в [1], для аппроксимации нелинейного уравнения c натуральной степенью p utt - a a^uχχ + bU[p ut = 0, a > 1, b > 0, которое является одной из разновидностей уравнений, возникающих в релятивистской квантовой механике или при моделировании колебательных процессов [2, с. 44, 66], можно использовать нагруженное уравнение utt - a'^uxx + but ∫ Uf^oX = 0, Ω = [0,l]. (1) Ω В [3, 4] при p = 2 и p = 1 соответственно показано существование и единственность слабых решений двух различных задач для уравнения вида (1). В настоящей работе существование и единственность слабого решения смешанной задачи для (1) распространяются на случай всех натуральных p ≥ 3 при однородных начальных и неоднородных краевых условиях. О.Л. Бозиев Итак, в области Q = {(x,t): 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим задачу нахождения функции u = u(x,t), которая является решением уравнения (1) и при ψ1(t), ψ2(t)∈C1(0,T), ψ1(t) + ψ2(t) ≠ const, удовлетворяет условиям u(x,0)=0,ut(x,0)=0,0≤x≤l; (2) (3) u(0,t)=ψ1(t), u(l,t) =ψ2(t), 0≤t≤T. 1. Априорные оценки Априорные оценки 1, 2, 3. В [1] при условии u(x,t) ∈ C^’^(Q) были получены следующие априорные оценки задачи (1) - (3): IUtI∣2ω ≤ C1(t), IUJ12 Ω≤ C1T, C1(0) = 0, 0 ≤ t ≤ T, (4) a C1 (t) = 2C0 ∫(ψ1t(t+ ∣ψ2t(t)|)), C0 = max∣max {-(l,t), max ∣u-(0,t)∣}. Здесь и всюду ниже равенство вида IMIp,Ω = ∫ kΓd- Ω выражает норму функции v(t) в пространстве Lp (Ω), Ω = [0, l]. Кроме того, при дополнительном предположении u∈Lp-2(Ω), ψ1(t),ψ2(t)∈Lp-1[0,T] доказано выполнение неравенства (5) IUIIp,Ω≤ (t), 0 ≤ t ≤ 't, в котором K(t) =--, T 2-bP(t)t bP(T) 1 P) = 3p(p - 1)tI ∫ 1^1 (t)|2 dt I C2 {t) + pa^Cot∫∣ ∫∣ψ2 (t)-1 dt +∫∣ψj (t)-' dt I dt, 3 V 0 J 0 V 0 0 J а C2(t) удовлетворяет неравенству p-2 ∖p-2,Ω ≤C2(t). Ilu Априорная оценка 4. Умножим уравнение (1) на ∣∣^∣p ω ut и с помощью соотношений, полученных при выводе других оценок, запишем ∣u∣∣ρ,Ω dt ∫ 0ut "a Iu-+)b ∣u∣∣ PρΩ I ∣ut I ∣2,ω= =2a2 (ux(l,t)∂tψ2(t)-ux(0,t)∂tψ1(t)). О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения Введем обозначение u (t) = ∫ (| Ht P +a a 1«х P)dχ = Ikt I ∣2,ω + a a IIhX I P,ω Ω и перейдем к уравнению d 0h∣∣P,ω u (t))+2b ∣h∣ ∣Ppω Ikt I ∣2,ω=u (t) dt∣H∣∣P,Ω+2a a ^kχ(1, ')д ψ2(t) - hx (0, t)∂^ψl(t)). Интегрируя последнее уравнение по t в границах от 0 до t, получим ttd (6) Ikllp ω u (t)+2b ∫l h∣I ω Iktl 12 Ωdt = ∫ u (t) dt^^P Ωdt+Cз(t), 00dt t C3(t)=2a2∫(ux (l,t)∂tψ2(t)-ux(0,t)∂tψ1(t))dt. 0 Проинтегрируем по частям первое слагаемое правой части (6) и убедимся в справедливости соотношений 0dt 0 0 ≤ lkllp,Ω u (t) - t∈in^ JI4P,Ω u (t) ≤ II4P,Ω u (t). То есть ∫ u ) ⅛∣^∣P,Ω ≤ n^∣P,Ω u ). Вернемся к (6) и с учетом полученного запишем t ^b ∫ I HI ppΩ ll“t I ∣2,ω dt ≤ IHIp,Ω (ty+(t ∖ 0 Воспользовавшись неравенством (5), окончательно получим оценку, верную при всех значениях t ∈ [0, T]: ∫l HI ^p,Ω Iktl ∣2,ω dt ≤ ^4(t), (7) 0 C4(t) = ( K (t )U (t) + C3(t)) /2b. Априорная оценка 5. Предположим теперь, что решение задачи (1) -(з) ищется в виде галеркинских приближений Hm = ∑gj(t)wj(x), (8) j=1 где Wj(х) ∈ H)i(Ω), j = 1,2,..., - полная линейно независимая система, а функции gj(t) дважды непрерывно дифференцируемы и определяются из условий (d2km , wj ) + aa (дxHm , дxwj ) + b (|hJ∣P,Ω dtkm , Wj ) = 0, 1 ≤ J ≤ m. (9) О.Л. Бозиев При этом для всех m в силу (2) имеем um(x,0)=0,∂tum(x,0)=0,0≤x≤l. (10) Здесь и ниже для частных производных функций um используются обозначения вида ∂um2∂2um2∂2um ∂ u -_m ∂ d2u =_m ∂ u =_m ∂t∂t2 ∂t∂x Пусть задача (1) - (3) имеет два приближенных решения um и un. Разность скалярных произведений (1), содержащих эти функции, с ∂tum и ∂tun соответственно при v = Um - Un имеет вид IuJF ω ∂tun,vt ) = 0. I ^ψ,Ω t n t t (vtt,vt ) + a a (vx,,vxt ) + >b (| luJl^p,Ω dtum От этого уравнения перейдем к следующему: 2dt ∫ (v2 + av2 ) dx + 'b lu^l^,Ω ∫ vtdx+ 'b 0lumi^p,Ω - Iu^p,Ω ) ∫ ))t)mdx = 0, dt Ω Ω Ω после интегрирования которого в границах от 0 до t получаем tt ∫ (v2+a 2vX2)dχ+2b ∫ Iu j∣ρ,Ω ∫ vtdχdt+2b ∫ 0∣umιρ,Ω-1u j∣p,ω ) ∫) dtumdχdt=0. Ω0Ω0Ω Для перехода к неравенству опустим второе слагаемое в левой части, а третье перенесем в правую часть и оценим по модулю. Тогда ∫ (v2+a 2 )dχ ≤2b ^i ∣umιρ,Ω-1 ∣uJ∣ρ,Ω Ω0 (11) Рассмотрим отдельно первый сомножитель под знаком интеграла в правой части (11) и разложим его на множители: ∣ι∣umιρ,Ω-1 IuJip ,Ω ≤ ∫ ∣ ∣um i- ∣uJ∣ J ∣um ιp-1 + ∖um г- a ∣uj+...+к» г + ∖un гdχ. (12) Ω Следующее ниже утверждение легко доказать, восстанавливая функцию u2 по своей производной, применяя неравенства Коши и теорему о среднем значении. Лемма 1. Для абсолютно непрерывной на [0, l] функции u2 выполняется неравенство 2 l + 1 22 u ^^∣u∣l2,Ω+Iluxl∣2,Ω . Продолжим его с помощью неравенства Фридрихса, записанного в виде 2≤ l2 2 (13) ∣u∣l2,Ω≤ ^8∣IuJI2,Ω , и второй из оценок (4): 2 l2+l+82 l2+l+8 u ≤-----8-----llux 112 Ω (t) - C5 (t). 8 8a Очевидно, что при всех q ≥ 1 слагаемые правой части (12) удовлетворяют неравенству О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения откуда следует, что p-1 UmIp 1 + ∣um∣p 2IunI+...+U^UJp + IunIp ≤pC5 mmnmnn 5 Продолжим (12) с учетом данного неравенства, а также вложения L2(Ω) в L1(Ω) и (13): p-1 p-1 1 p-1 3 l∣lu4p,Ω-lluJIP,Ω≤ PC5^ ∫ Hdx ≤ PC5^ l IH∣2,Ω≤ pC52 l lkxl∣2,Ω . (14) Ω 8 Для второго сомножителя под знаком интеграла в правой части (11) применением первой из оценок (4) последовательно получим ∫ Htdtumdx ≤ ≤y[C1(t) IPtl∣2,Ω . Ω Вернемся к (11), чтобы с помощью найденных оценок записать lHtl∣2,Ω +a IIhxII2,Ω ≤ 12 ∫ c12 (t)lHxl ∣2,Ω lHtlІ2,Ω dt. 4 8a 0 Продолжим это неравенство, положив C6 =bpl2(l2+l+8)/32a2: Ikt I ∣2,ω+a" IIhX і ∣2,ω ≤ c6 ∫ 0Ht I (,Ω+c1 IIhX і ∣2,ω ) dt. 0 Предполагая, что C1p ≤ a2, окончательно получим llHtl∣2,Ω +a IIhxI∣2,Ω ≤ C6 ∫¢lHtl∣2,Ω + a IIhxI∣2,Ω)dt. 0 Применяя к нему лемму Гронуолла [5, с. 10], приходим к соотношению llHtl ∣2,ω+a2 IIhX I ∣2,ω≤ 0, откуда следует, что (15) ∖∖dtum - dtun I∣2,Ω = 0, Ildxum - дxun I∣2,Ω = 0. 2. Существование слабого решения Определение. Функция u∈ L∞(0, T; H' (Ω) ∩ Lp, (Ω)), такая, что Ut ∈ L∞(0,T;L2(Ω)) , называется слабым решением задачи (1) - (3), если она удовлетворяет первому из условий (2) и при всех w∈ H1 (Ω) тождеству t (ut,w)+ ∫ a^(ux, ^x ( + b∣u∣lp,Ω (ut, ^)"}dt = 0. 0 10 О.Л. Бозиев Приведем некоторые утверждения, необходимые для доказательства существования решения поставленной задачи. Лемма 2. Пусть функции u и ut принадлежат пространствам функций из приведенного определения. Тогда в пространствах L∞ (0,T; L2(Ω)) и L∞ (0,T; H'(Ω)) соответственно имеет место сильная сходимость ∂tum→ut,um→u. (16) Доказательство. Из (15) следует фундаментальность последовательностей ∂tum и um, значит (16) выполняется. Лемма 3. Пусть последовательность um сходится сильно к функции u в пространстве Lp(Q). Тогда в пространстве L2(Q) имеет место сильная сходимость ω → II^F ω . Il ^ψ,Ω Il ∣ψ,Ω Доказательство. Воспользуемся (14), (15) и (16): t 2 3 T-1 Л л 2 ∫∫I∣m4p,ω-∣∣mJI^p,Ω ≤t∫C32 l∫∣∂χм∞-мхP^^xI dt = 0 Ω 0 ∖Ω √ 31 T-1 1 = Tf2 ∫ C32 (дх«„ - MxI∣2,ω)2 )t → 0. Утверждение леммы следует отсюда при m →∞. Лемма 4 [6, с. 25]. Пусть Q - ограниченная область в Rn, φμ и φ такие ограниченные функции из Lp(Q), 1 < P < ∞, что Цф^ ω ≤ C, φμ → φ почти всюду в Q. Тогда φμ → φ слабо в LT(Q). Перейдем к доказательству существования обобщенного решения задачи (1) -(3). Теорема 1. При C1P ≤ a2 существует функция м, являющаяся обобщенным решением задачи (1) - (3). Доказательство. Применим метод Галеркина, для чего умножим (9) на ∂tgj(t) для всех j и просуммируем полученные уравнения: {д2мт , dt^m ) + a a (d X^m , dlMmt ) + >b (| ImJ∣P,Ω dtMm , dt^m ) = 0. (17) Соотношение (17), рассмотренное вместе с (10), является задачей Коши для системы линейных дифференциальных уравнений относительно функций gj(t), которая, как известно, имеет единственное абсолютно непрерывное решение. Соответствующие задаче (17), (10) оценки (4) примут вид Ildt«ml∣2Ω≤ C1(t), lldxMml∣2Ω≤ C1T^, C1(0) = 0, 0 ≤ t ≤ T. a (18) Отсюда следует, что в пространствах L∞ (0,T; L2(Ω)) и L∞ (0,T; H'(Ω)) соот ветственно имеет место слабая сходимость подпоследовательностей 9twμ и uμ: dtUμ→ , Uμ→ и. (19) В свою очередь, из свойств компактности вложения H1(Q) в L2(Q) следует, что Uμ → U сильно в L2(Q) и почти всюду. (20) О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения 11 Умножим теперь (9) на ∣∣u^∣p ω gj (t), j = 1, ^, т, и просуммируем по j. Для полученного уравнения запишем априорную оценку (7) в виде ∫0∣uJIPp,Ω IPtuJI2,Ω^dt ≤ C6(t), 0 откуда следует, что в пространстве L2(Q) имеет место слабая сходимость l∣uj∣∂tu,, → χ. (21) Вернемся к (17) и перейдем в этом равенстве к пределу при m = μ. Из (19), (20) и (21) следует выполнение в пространстве L∞(0,T) слабой сходимости (dtuμ , Wj ) → (ut, wj ), (dxuμ , dxwj ) → (ux, dxwj ), (|∖u J|dtuμ , Wj ) → (X, Wj ). Для того чтобы функция u была обобщенным решением задачи (1) - (3), требуется выполнение равенства χ = ∣U∣∣p ω ut. Его справедливость следует из леммы 4, для применения которой необходимо, чтобы Xμ= IIuJI Pp,Ωdtuμ→ ∣u∣∣PP,Ω ut =у^- Указанная сходимость устанавливается с помощью лемм 2 и 3, а также первого неравенства (18). Следовательно, функция u удовлетворяет уравнению t (ut, ^)+∫(cuχ, (+1 u∣lpp,Ω (ut, ^) ')dt =0 0 для всех j, то есть является обобщенным решением задачи (1) - (3). Убедимся в выполнении начальных условий. Обратимся к первому из них. Согласно (19), (20) и (4) следует слабая сходимость uμ(x,0) → u(x,0) в H1(Q), а из (16) имеем uμ → 0 в H1(Q), тогда u(x,0) = 0. Аналогично, (20) и (18) означают слабую сходимость ∂tuμ(x,0) → ut(x,0) в L2(Q) и ∂tuμ(x,0) → 0. Следовательно, ut(x,0) = 0. 3. Единственность слабого решения Теорема 2. Слабое решение задачи (1) - (3) единственно. Доказательство. Воспользуемся процедурой, применяемой в теории линейных и нелинейных гиперболических уравнений [6, с.28]. Предположим, что задача (1) - (3) имеет два решения - u1 и u2. Записывая для каждого из них уравнение (1), для их разности, где v = u1 - u2, получим задачу )=0; vtt - a Vxx + b (і ∣mJ∣ ^,ω u1t -1 IuJI ζ,Ω u2t (21) v(x,0) = 0, vt(x,0) = 0. (22) Будем искать решение задачи (21), (22) - функцию v ∈ L∞(0,^T;Ho(Ω)), Vt ∈ L∞ (0,^T;L2{Ω)). Для этого от (21) перейдем к уравнению ^tt - a2vxx +b lludlPP,Ω ((1t - u2t ) + bu2t (1 IuJIPp,Ω - IludlPP,Ω ) = =, 12 О.Л. Бозиев умножая которое скалярно на vt найдём 2 d ∫ (y2 +a2 v2)d-+b ∣u^∣ p,Ω ∫ v^d-+O∣udl p,Ω-1 ∣udl p,Ω) ∫ vtu2td×=°. 2 dt ΩΩ Ω После его интегрирования в границах от 0 до t получим ∫ (v2+a 2v2 +2b ∫ I IuJI p,Ω ∫ vtd-dt+2b∫ 0∣uJI (ω -1 IuJI p,Ω) ∫ dtd×dt=0. Ω0Ω0Ω Далее повторяем все рассуждения, использованные при доказательстве леммы 2. После применения леммы Гронуолла в итоге получаем, что ∫ (vt2 + a 2v-2 )d- ≤ 0, Ω то есть ∫((u1t-u2t)2+a2 (u1--u2-)2)d-= 0. Ω Покажем, что u1 = u2. Для этого при s∈ (0,T) положим s w(-,t)= , -∫ v(X, σ^)dσ, t ≤ s, ^0,t t > s. Пусть, кроме того, t v1(X,t) = ∫v(X, σ)dσ, 0 откуда следует, что w(X,t) = v1(X,t) - v1(X,s) при t ≤ s. Рассмотрим скалярное произведение обеих частей (21) с w(X,t): (ytt, w) - a(VXX, ^) = b (luJIp,Ω u2t - IIuJIp,Ω u1t, ^), от которого перейдем к равенству d Ч Z Ii ∂u^ „ Ii ∂^1 (yt, w) - (yt, wt) + a (yx, wX) = b I∣∣u2∣∣1, ^^t~-∣∣UJ∣1,Ω^t'’w J. Его интегрирование по t с учетом того, что w(X, t) = 0 при t > s, дает sss -∫ (yt, wt)dt - a^ ∫ (yx, wX )dt = b∫ θlu Jl(ω (2t - IIuJIp,Ω u1t, w) dt, 000 а так как wt = y, w(X,0) = - y1(X,s), то Оценивая правую часть по абсолютной величине, перейдем к неравенству s Ilv(-, ^⅛Ω+a" llv1(-, ^J∣2,ω ≤2b ∫∣0∣u Jl p,Ω (2t-1 IuJI p,Ω u1t, dt. 0 О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения 13 Обратимся к подынтегральному выражению в правой части, для которого имеем l ∣0∣u^l p,Ω (2t-1 ludl p,Ω u1t, w) ≤ sup θ∣ud∣ ρ,Ω, I ∣ud∣ p,Ω) ∫ v∣ kldx ≤ l0 ≤(u1pp,Ω+u2pp,Ω)∫vv1(x,t)-v1(x,s)dx≤ 0l ≤ 0∣ud∣ ρ,Ω+1 ∣ud∣ ρ,Ω) ∫ v∣ ∣v1(χ, t)+v1(χ, dχ. 0 Усилим последнее неравенство, оценивая слагаемые в первом сомножителе с помощью (5), а ко второму сомножителю применяя неравенства Гельдера и Фридрихса: l(lludlP,Ω u2t - IludlP,Ω u1t, ≤ 2c2 lvll2,Ω Ilv1 (x, td + v1 (x, ^d∣2,Ω ≤ lC1 (t) 22 2 ≤81a2 (v22,Ω+a2 v1x 22,Ω ). Отсюда следует, что Ilv(x, ^d∣2,Ω + a2 llv1(x, ^^lχ,Ω ≤ ∙^b4⅛t^∫(∣v^x, ^^∣χ,Ω + a^vi(x, ^^∣χ,Ω)dt. 4a 0 Неравенство Гронуолла, примененное к последнему, приводит к равенству Ilv( x, ^^∣Ω+a" llv1( x, ^^∣2,ω - 0, откуда следует нужный нам результат: v(x,s)-u1(x,s)-u2(x,s)-0, а именно - единственность слабого решения исследуемой задачи.

Скачать электронную версию публикации