Abelian SACR-groups.pdf Одним из направлений теории аддитивных групп колец является изучение абелевых групп, на которых любое кольцо принадлежит определённому классу. Для определения кольцевой структуры на абелевой группе G необходимо указать гомоморфизм μ: G ® G → G, который называется умножением на группе G. Умножение задает структуру кольца на группе G. Изучению аддитивных групп колец посвящен целый раздел в знаковой монографии Л. Фукса [1], наиболее полный обзор содержится в двухтомной монографии С. Фейгельстока [2]. Проблема изучения взаимосвязи между строением абелевой группы и свойствами колец на ней весьма многогранна. В [3] изучаются абелевы группы, на которых любое кольцо коммутативно, такие группы называются CR-группами. В связи с этим в [3] введено понятие SACR-группы (от «Strongly Associative and Commutative Ring^>), SACR-группа - это абелева группа, на которой любое кольцо является ассоциативным и коммутативным. В той же работе, показано, что в классе всех периодических абелевых групп понятия CR-группы и SACR-группы эквивалентны. До настоящего времени CR-группы и SACR-группы были описаны в классах абелевых групп: периодических групп [3], вполне разложимых групп без кручения [4], алгебраически компактных групп [5]. Далее, в настоящей работе мы рассматриваем аддитивные группы филиальных колец. Ассоциативное кольцо называется филиальным, если любой его метаидеал конечного индекса является идеалом. Согласно [6], подкольцо A ассоциативного кольца R называется метаидеалом индекса n, если существует такой ряд A =A0⊂A1⊂... ⊂An =R, что Ai является идеалом Ai+1 для всех i=0,...,n-1. Нетрудно видеть, что ассоциативное кольцо является филиальным тогда и только тогда, когда в нем отношение «быть идеалами» транзитивно [7]. Филиальные кольца систематически изучались многими авторами, наиболее значительные результаты содержатся в [7-9]. В [10] Р. Андрушкевич и М. Воронович ввели понятие TI-группы, т.е. такой абелевой группы G, что любое ассоциативное кольцо с аддитивной группой G филиально. Проблема изучения TI-групп сформулирована в [10], там же получено 28 Нгуен Тхи Куинь Чанг описание периодических TI-групп. Кроме того, что TI-группы были описаны в классах абелевых групп: алгебраически компактных групп [5], почти вполне разложимых групп [11]. Настоящая работа посвящена изучению аддитивных групп ассоциативных и коммутативных колец. В разделе 1, получено описание однородных вполне разложимых факторно делимых SACR-групп (теорема 7). Доказательство этой теоремы опирается на теорему о том, что любая факторно делимая группа ранга 1 является SACR-группой. Далее, в разделе 2 показано, что любая неразложимая группа без кручения ранга 2 является SACR-группой. Кроме того, доказано, что понятие TI-группы и nil-групп^і в классе неразложимых групп без кручения ранга 2 эквивалентны. До настоящего времени все найденные TI- группы без кручения являются SACR-группами. Однако обратное утверждение неверно, пример приведен в разделе 2. Все группы, рассматриваемые в работе, абелевы, и слово «группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа». Будем использовать следующие обозначения и определения. Умножение μ: G ® G → G на группе G часто обозначается также знаком × и т.п., т. е. μ(g1 ® g2) = g1 × g2 для всех g1, g2 ∈ G. Группа G с заданным на ней умножением × определяет кольцо на группе G, которое обозначается (G,×). Кольцо (G,×) называется нуль-кольцом, если g1×g2=0 для любых g1, g2 ∈ G. Группа G называется nil-группой, если любое кольцо на Gявляется нуль-кольцом. Как обычно, N,N0,P - множества натуральных, це-л^іх неотрицательных, всех простых чисел соответственно, Z - группа (кольцо) всех целых чисел, Q - группа (поле) всех рациональных чисел, Z(n) - циклическая группа порядка п, Zкольцо Z/nZ. Через p, Q)*p обозначим аддитивную группу и кольцо целых p -одических чисел соответственно. Пусть G - группа, g ∈ G и (G, ×^ кольцо на G, через (g)× обозначим идеал кольца (G, ×), порожденный элементом g, - сервантная подгруппа, пороиеденная элементом g, χ(g) - характеристика элемента g , o(gпорядок элемента g. Под T (G) понимается частично упорядоченное множество типов t(g) для g∈ G\\{0}, r (G) - ранг группы G. Элемент прямого произведения G = ∏ Gi групп Gi i∈I (i ∈ I) будем записывать в виде (gi )∈, где gi ∈ Gi для всех i ∈ I. За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к [1]. 1. Однородные факторно делимые SACR-группы В этом разделе описаны однородные вполне разложимые факторно делимые SACR-группы. Понятие факторно делимой группы было введено Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом в [12] для описания групп, допускающих кольцевую структуру, которая вкладывается в полупростую сепарабельную алгебру. В совместной работе А.А. Фомина и У. Уиклесса [13], это понятие распространено на случай смешанных групп, в той же работе показано, что смешанные факторно делимые группы двойственны группам без кручения конечного ранга. Абелевы SACR-группы 29 Определение 1 [1з]. Группа G называется факторно делимой, если она не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга, такую, что G / F - делимая периодическая группа. Базисом и рангом факторно делимой группы G будем называть всякий базис и ранг свободной группы F. Несмотря на то, что факторно делимые группы широко изучаются в алгебраической литературе (см. [1з-17]), многие свойства колец на таких группах до сих пор не исследованы. В настоящее время класс факторно делимых групп - один из самых исследуемых в теории абелевых групп. В [16] получено описание факторно делимых групп ранга 1 с помощью кохарактеристик. Известно, что умножение на произвольной группе продолжается однозначно до умножения на её сервантно-инъективной и копериодических оболочках, в связи с этим при изучении колец на факторно делимых группах возникает необходимость исследования кольцевых структур на алгебраически компактных группах. Описание всех умножений на редуцированной алгебраически компактной группе получено в [18]. Предложение 2 [5]. Редуцированная алгебраически компактная группа A является SACR-группой тогда и только тогда, когда A = ∏ AP , где P0 ⊆ P, P∈P0 Ap = 2ζp или Ap = Z(pk) (k ∈ N ) при любом p ∈ P0. Лемма 3. Пусть G - реДуцированная факторно Делимая группа ранга 1, являющаяся поДгруппой группы A = ∏ Ap, гДе P0 ⊆ P , Ap = p или Ap = Z(pk) p∈P0 (k ∈ N ) при любом P ∈ P0. ТогДа любое умножение на G может быть проДолжено До умножения на группе A. Доказательство. Покажем, что фактор-группа A / G - делима, то есть она является p -делимой группой для любого простого числа p. Фиксируем простое число P . Тогда A = Ap © A', где A' =∏ Aq, q - простое число. Группа A q≠p может быть представлена в виде A = ∏

Скачать электронную версию публикации