Kenmotsu manifolds with a zero curvature distribution.pdf Начало изучению геометрии распределений субримановых многообразий положено в работах [1-4]. Оснащая субримановы многообразия дополнительными структурами, получаем почти контактные метрические многообразия, почти контактные би-метрические многообразия т.д. При этом на распределении D полученного многообразия естественным образом могут быть определены продолженные структуры [1-5]. Продолженные структуры наиболее полно сохраняют свойства исходных структур в случае распределения нулевой кривизны [5]. В настоящее время активно исследуется геометрия почти контактных метрических многообразий, наделенных связностями с кручением [6-10]. К таким многообразиям, прежде всего, относятся четвертьсимметрические пространства, находящие применение в теоретической физике [7, 8]. Совсем недавно стали появляться работы, посвященные изучению почти контактных метрических многообразий с N-связностью [6, 9, 10]. N-связность Vn определяется на почти контактном метрическом многообразии, наделенном внутренней связностью V и эндоморфизмом N: D→ D гладкого распределения D как единственная связность на многообразии M, удовлетворяющая следующим условиям [9]: 1) V^^y ∈Γ(D); 2) V^ ξ = 0; 3) V^Ny = [ξ, у] + NP; 4) Vn Z =V-Z, X ∈Γ(TM ), У, Z ∈Γ(D). Если V - метрическая связность, то связность Vn характеризуется следующими условиями [9]: 1) (;?,У) = 2ω(;?,y)ξ + η(X)Ny-п(У)Nx, X,у,z ∈Γ(TM); А.В. Букушева 2) VNg(y,z) = 0, x,y,∈Γ(n); 3) Vj ξ = 0, x ∈Γ(TM); 4) vNη = 0, X ∈Γ(TM). В работах [11-13] особое внимание уделяется внутренним инвариантам почти контактных метрических многообразий. Многообразия Кенмоцу [14, 15], составляющие интересный для исследования класс почти контактных метрических многообразий, характеризуются особым строением внутренних инвариантов. В частности, в работе [6] доказывается, что тензор Схоутена - Вагнера [16] для многообразия Кенмоцу обращается в нуль. N-связность в ряде случаев оказывается предпочтительнее связности Леви-Чивиты. Преимущество N-связности заключатся в выполнении следующего условия: V Jf у ∈Γ(D), где x ∈Γ(TM), у ∈Γ( D). Несомненно, что сравнение эффективности использования разных классов N-связностей для описания геометрии многообразий Кенмоцу представляет интерес как с точки зрения приложения полученных результатов в теоретической физике [4, 8], так и с точки зрения внутренней логики развития геометрии контактных метрических многообразий. 1. Основные сведения из геометрии многообразий Кенмоцу Почти контактным метрическим многообразием называется гладкое многообразие M нечетной размерности n = 2m+1, m ≥ 1, с заданной на нем почти контактной метрической структурой (M,ξ,η,φ,g) [1, 9]. Здесь, в частности, η - 1-форма, порождающая распределение D: D =ker η, ξ - векторное поле, порождающее оснащение D⊥ распределения D: D⊥ =span(ξ). Гладкое распределение D будем называть распределением почти контактного метрического многообразия. Имеет место разложение TM = D © D⊥. Почти контактное метрическое многообразие называется нормальным, если выполняется условие Nφ + 2d η0ξ = 0, где Nφ (х, уу) = [φx, φy] + φ2 [x, у] - φ[φx,у] - φ[х,φy] - тензор Нейенхейса эндоморфизма φ. Нормальное почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Кенмоцу, если d η = 0, d Ω = 2η∧Ω [14, 15]. Здесь Ω(х, у) = g (х, φУ) - фундаментальная форма почти контактной метрической структуры. Имеет место следующая теорема [14, 15]. Теорема 1. Почти контактное метрическое многообразие M является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда x φ) у = -η( у )φx - g (х, φУ )ξ. Для многообразий Кенмоцу также выполняются следующие условия [15]: Xη)у = g(х, у) - η(x)η(у), Lξg = 2(g - п® η). Определяемые далее адаптированные координаты очень часто применяются для исследования геометрии многообразий, оснащенных гладким распределением. По-видимому, впервые, адаптированные координаты использовались в работе [16]. Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны Карту K(xα) (α, β, γ = 1,..., n; a, b, c = 1,..., n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если ∂n = ξ [1-5, 16]. Пусть P: TM→ D - проектор, определяемый разложением TM = D © D^, и K (xα) - адаптированная карта. Векторные поля P(∂=∂-ГП∂порождают распределение D: D = span(ea ). Мы будем активно использовать неголономное поле базисов (eα)=(ea,∂n). Непосредственно проверяется, что [ea,eb]=2ωba∂n. Условие ξ∈ker ω влечет справедливость равенства ∂Γa = 0. Пусть K(xα) и K'(xα ) -адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат: xa = xa (xa ), xn = xn + xn (xa ). Преобразование компонент допустимого тензорного поля t в адаптированных ' ' ' ∂xa' координатах подчиняется следующему закону [1-5]: tba = Abtba', где Aa =---. ∂xa Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные ∂ntba являются компонентами допустимого тензорного поля. Заметим, что обращение в нуль производных ∂ntba не зависит от выбора адаптированных координат. Пусть ψ: D→D - эндоморфизм, определяемый равенством ω (х,) = g (ψX, ). Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивиты тензора g: , :Гαγ. Имеет место следующее предложение [11]. Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: r^bc = 2g ^ebgcd + ecgbd edgba ), Cab = ωba Cab Г^"b = Г^b = Cb + ψb n = :гa = 0 an na a a na nn 1 ada cbc r∂e Cab = 2 dngab , Cb = g Cdb , Ψa = g ω ab . Для многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах получаем: Cab = gab, Cab = δba, ωba =0, ψca =0. Таким образом, в качестве следствия предложения 1 получаем предложение 2. Предложение 2 [6]. Коэффициенты связности Леви-Чивиты многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах имеют вид: γ^'bc = ~2(bgcd + ecgbd edgba ), γ^ab = ^gab τpb τpb δb ip n τp a 0 an na a na nn Непосредственным следствием предложения 2 является следующее предложение. А.В. Букушева Предложение 3. Ненулевые компоненты тензора кривизны R(X, у) ^Z связности Леви-Чивиты многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах принимают следующий вид: Dd _ T?d , _?\\d τSn _ jSc _ qc Rabc Rabc b gac a gbc, Ranc gac , Rnan a . Здесь RbCad - компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [9, 16]: RObc = 2Є[а Γbd]c + 2Γ[dae∣Γb]c. Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем, определяемым равенством R(X,)Z ='7→V→^z-V→'7→^z-Vpjxj^]]Z-P[g[Z], где х,_у,Z∈Γ(), Q = I - P, V - внутренняя связность, определяемая ниже. Тензор R(X,У))Z был назван тензором кривизны Схоутена В.В. Вагнером в работе [16]. В той же работе В.В. Вагнером был введен тензор, определяемый в адаптированных координатах следующим образом: Pacd =∂nΓcad. В нашей работе этот тензор мы называем тензором Схоутена - Вагнера. Заметим, что иногда тензором Схоутена называют также тензор одномерной кривизны, не имеющий непосредственное отношение к настоящей работе. Распределение D назовем распределением нулевой кривизны, если тензор Схоутена равен нулю. Теорема 2. Многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Схоутена является многообразием Эйнштейна. Доказательство теоремы сводится к вычислению тензора Риччи г многообразия M в адаптированных координатах. Из равенств Rabc =δb gac -δa gbc, Ranc = gac , Rnan =δa следует, что racc = 2mgacc, rr^n = 2m. Почти контактное метрическое многообразие называется η-Эйнштейновым многообразием, если выполняется условие r = ag + bη ® η, где a и b - гладкие функции. Хорошо известно, что если b = const, то η-Эйнштейново многообразие является многообразием Эйнштейна. В нашем случае a = 2m, b = 0, что и доказывает теорему. Определим на многообразии M N-связность V'n , полагая [9] v≡ у = vXy - П(X)'VУ- П(y)'VX+ (ω+ c)(x,Λξ + n(х)nV. Предложение 4. Ненулевые коэффициенты Gβαγ связности VN, заданной на почти контактном метрическом многообразии M, имеют вид G‘ab = Ob, Gnb = NbC. Внутренней линейной связностью V на многообразии с почти контактной метрической структурой [1, 2] называется отображение V: Γ( D )× Γ( D )→Γ( D), удовлетворяющее следующим условиям: 1) vfn^yf,y =fiv, + f2vy 2) Vχ Гу = ( Xf) У + fVd, У; 3) vX (у + z) = VXy + vXz , где Γ ( D ) - модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны связности определяются из соотношения Vg eb =Γabe^. Из равенства e^ = ea^^, a' ∂Xa' где Aa =---, следует формула преобразования для коэффициентов связности: ∂Xa ГС = Aa' Ab' Ac Γa' + ACe- Ac' Кручение S внутренней линейной связности по определению полагается равным (X, У ) = VjУ -Vy X - P[X, У]. Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем Sacb =Γcab -Γcba. Заметим, что из формулы преобразования для коэффициентов связности Γcab следует корректность определения тензора Схоутена - Вагнера. На почти контактном метрическом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением, такая, что V→ g (X, У) = 0. Назовем связность V внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам ГЬс = 2g ^ebgcd + ecgbd edgbc ). Заметим [4], что для нормального почти контактного метрического многообразия выполняется условие Vφ = 0. Под внутренней геометрией [10-12] почти контактного метрического многообразия M будем понимать геометрические свойства M, которые зависят только от параллельного перенесения, определяемого внутренней связностью, и от оснащения D⊥ . К основным инвариантам внутренней геометрии мы относим тензор кривизны Схоутена R, тензор Схоутена - Вагнера, дифференциальную форму ω = dη, производную Ли C = -2 Lξg метрического тензора g вдоль векторного поля ξ. Теорема 3 [6]. Тензор Схоутена - Вагнера внутренней связности многообразия Кенмоцу равен нулю. 2. Многообразие Кенмоцу с N-связностью Используя предложение 2 и формулу Lξg = 2(g - η ® η), получаем Предложение 5. N-связность '7n выражается через связность Леви-Чивиты с помощью следующего равенства: V ≡ .У = '^ ≡ .У + η( X) Ny + (g + п® η)( X, У )ξ - η( У) - η( X) у. Последнее равенство можно переписать в виде V vχ у = V X у + η( X) Ny + (2 (X, У )ξ - п( У) - п( X) У, где CCab = gab, CCan = 0, Cnn = 2. Предложение 6. Пусть M - многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Схо-утена, тогда тензор кривизны K(X, У)Z связности Vn равен нулю тогда и только тогда, когда эндоморфизм N ковариантно постоянен относительно внутренней связности. 10 А.В. Букушева Доказательство предложения основано на том, что ненулевые компоненты тензора кривизны K(X, у)Z связности в адаптированных координатах принимают следующий вид: κabc = Rabc , КЬпс = =vbNC . Из обращения в нуль тензора Схоутена - Вагнера и условия Vφ = 0 следует, что тензор Схоутена многообразия Кенмоцу наделен теми же свойствами, что и тензор кривизны кэлерова многообразия. В частности, имеет место Предложение 7. Тензор Схоутена многообразия Кенмоцу обладает следующими свойствами: R( X, у) ° φ = φ° R( , у), R(φX, φy) = R( ^, у). Найдем условия, при которых связность VN является метрической связностью. В адаптированных координатах равенство VN g =0 переписывается в виде Vc gab =ec gab -Γcagdb -Γcb gad =0, VnNgab =∂ngab - Nac gcb - Nbc gac =0. Учитывая, что для многообразия Кенмоцу ∂ngab=2gab, из последнего равенства получаем 2gab = Nacgcb + Nbcgac . Тем самым, убеждаемся в справедливости следующего предложения. Предложение 8. N-связность Vn является метрической тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство: 2gab = Nacgcb + Nbcgac . Найдем ограничение на эндоморфизм N, при котором связность VN сохраняет структурный эндоморфизм многообразия Кенмоцу. Рассмотрим равенство VnNφba=∂nφba+Ncbφca-Nacφcb=0. Учитывая, что многообразие Кенмоцу является нормальным почти контактным метрическим многообразием, убеждаемся в справедливости следующего предложения. Предложение 9. N-связность сохраняет Vn структурный эндоморфизм φ многообразия Кенмоцу тогда и только тогда, когда эндоморфизмы N и φ коммутируют: Ncbφca-Nacφcb=0. Последнее равенство выполняется, в частности, если N = φ. В дальнейшем нам понадобится следующее предложение. Предложение 10. Внутренняя связность V и связность Леви-Чивиты почти контактного метрического многообразия удовлетворяют следующему соотношению: V X у = V PX Ру + (ω( у, X) - c( у, X))ξ + η( x)(Cy + ψy) + η( y)(CX + ψX). С учетом предложения 2 последнее равенство в случае многообразия Кенмоцу принимает более простой вид: V→у = Vp→Ру - g(X, У)ξ + η(X)у + п(у)X. Приведем пример многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны. Определим на пространстве R3 структуру многообразия Кенмоцу, полагая, что в канонических координатах (X, у, z) выполняются равенства: g11 = g22 = е'^, Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны 11 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ - ∂ ,7ττ g33 =1, , = ^-, ^ = 0, ζ=ττ, η = dz. Негрудно nP0βepuτb, ∂x∂x ∂y ∂x ∂z ∂z чго гензор кривизны Схоугена заданной сгрукгуры равен нулю. Другие примеры почги конгакгных мегрических многообразий с нулевым ген-зором Схоугена можно получигь, используя предложение 2. Для эгого нужно по-ложигь :Гrcab равными нулю и позаботиться о том, чтобы компоненты мегрическо-го гензора были консгангами. 3. Продолженные структуры на распределениях многообразий Кенмоцу Введем на распределении D многообразия Кенмоцу M структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте K() многообразия M сверхкарту K (х) = (, xn+“) на распределении D, где x"^a - координаты допустимого вектора Х в базисе ea = ∂a -Γa∂n : Х = Xnn^aea. Задание внутренней связности V влечет разложение распределения D) = π-1 (D), где π : D → M - естественная проекция, в прямую сумму вида D = HD © VD, где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D, HD - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями εa =да -Г a dn - Gbdn+b , где Gb (x^ , хП^а ) =ГЬс (χα ) , rac - коэффиЦиенты внутренней связности. Для каждого допустимого вектора x= xaea определяются горизонтальный лифт xh=xaεa и вертикальный xv=xa∂n+a. Пусть φ: D → D - поле структурного эндоморфизма; φ - продолженная связность [4] - является связностью в векторном расслоении (D,π,M) и определяется разложением TD = HD © VD, где HD = HD © Span(U), u→ = ε - (φX)^, ε = ∂n, X ∈ D, (φX)^ - вертикальный лифт. Относительно базиса (εα, ∂n, ∂a+α) поле U получает следующее координатное представление: u=∂n-φbaxn+b∂n+a. Векторные поля (εα = да -ГП dn -rb"χn+ a dn+b , U = д п-φb,χn^'bd „+ а , dn+, ) задают на распределении D адаптированное поле базисов, а формы (dxa,Θn = dxa +Γndxα,Θn+ = dxn^a +Γbcxn^cdXb +φaxn^+bdxn) - сопряженное поле кобазисов. Имеют место следующие структурные уравнения: [⅛ , εb ] = 2ωbaU + Xn+d (2ωbaφd + Rζa^, )∂n+c , [Sa, U] = Xn+ d (∂nΓcad -Vaφd )∂n+c , [ea , дп+b ] = rab дn+c, [U, дп+ а ] = φadn+c. Учитывая, что M - многообразие Кенмоцу, перепишем структурные уравнения в следующем виде: [ea, εb ] = Xn^dRLddn+c , [ea, dn+b ] = rabdn+c, [U, dn+a ] = φadn+c. Мы использовали здесь: интегрируемость распределения D: ωba =0; обращение в нуль тензора Схоутена - Вагнера внутренней связности многообразия Кен-моцу - ∂ n Γad = 0; свойство нормальности многообразия Кенмоцу - Va φd = 0. 12 А.В. Букушева Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру (D, J, и, λ = η о π*, g;, ID), полагая g(. Xh, .у h) = g (X \\ .у ) = g (X, Я gξ (X 'h, .у ) = g (X , У 'h) = g (X 'h, и) = g (X , и) = 0, g (и, и) = 1, JXh = (φ;v)h, Jxv = (φ;v)v, DJ(U) = 0, X,у∈Γ(D). Предложение 11. Пусть M - многообразие Кенмоцу с распределением нулевой кривизны. Тогда для ненулевых коэффициентов Vjk связности Леви-Чивиты метрики gξ выполняются равенства: ^Γc гс ^Γn g ^Γn+c гс ^Γn _ g ab ab ab ab a,n+b ab n+a,n+b ab ^Γ c _^Γ c _δb ^Γ n+b _^Γ n+b _δb an na a n+a,n n,n+a a Доказательство предложения основано на применение равенства 2Г" = gkm (A^gj, + Ajgk - A,gjj +Ωkjgi+Ωk,gjj) + Ω", n n+c c n+d n+c c n+c c n+b где Ωab _ 2ωba, ωab _ RbadX , Ωa,n+b _Гab , ωan =дnrabX . Теорема 4. Пусть D - распределение нулевой кривизны многообразия Кенмо-цу. Тогда продолженная почти контактная метрическая структура (D, J, и, λ = η о ∏*, gID) является структурой Кенмоцу. Доказательство. Пусть - связность Леви-Чивиты, ассоциированная с продолженной структурой (D, J,и, 7^ = η ° ∏*, gj, Dd). с учетом предложения 11 получаем: V^hyh = (Vxy)h - (g(X,y)ξ)h, ^Xhyv = (Vxy)v, ^Xvyh = 0, ^^xvy" = -(g (X, y)ξ)h, ^7xhU = (^S X )h = (Vξ X )h, ^vU = Xv = (Vξ X)v. Используя полученные равенства, характеристический признак многообразия Кенмоцу, убеждаемся в справедливости теоремы.

Скачать электронную версию публикации