On the existence of strong solutions to regularized equations of viscous compressible fluid mixtures.pdf Пространственное движение бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей описывается системой уравнений [1] ∂t(ρiu(1)) + div(piz7(1) ® й(’^) + Vpi = divσ(1) + J(1); ∂t (Pι) + div(PιU(1)) = 0. (1) (2) Здесь ρi,pi,u(i),i=1,2, соответственно плотность, давление, скорость компонент смеси - искомые функции времени t и точек X=(X1,X2,X3) евклидова пространства R3. Тензоры вязких напряжений σ(i), i =1,2, задаются равенствами ^2 σ(1)(г^(1),z7(2)) = ∑∣^2μι^.D(z7(∙j)) + λij- divu(∙j) ∙IJ, j=1 D(z7) = 1 (Vu + (Vu)τ j, I - единичный тензор, (3) в которых (постоянные) коэффициенты вязкости μij, λij, i,j=1,2, таковы, что матрицы {μij}2 = и {λij + 2μij}2 = положительно определены. i,j=1 i,j =1 (4) 32 Н.А. Кучер, А.А. Жалнина, О.В. Малышенко Предполагается, что давление p^ и плотность ρi в i-й компоненте связаны соотношением pi=ρiYi , где Yi >1 - показатель адиабаты. Слагаемые J (i), характеризующие интенсивность обмена импульсом между компонентами смеси, определены по формуле [2, 3] J(≈) = (-1)≈+1.a(u(2) -u(^)), a = const > 0, i = 1,2. (5) Рассмотрим задачу о движении смеси в ограниченной области Ω⊂ R3, граница ∂Ω которой является неподвижной непроницаемой стенкой. Тогда краевые условия на границе ∂Ω выражаются соотношениями z?(,) =0 на (0,T) ×∂Ω, i = 1,2. (6) В начальный момент t = 0 распределение плотностей и импульсов предполагается известным: ρ≈lt=0= ρ0, Piu^)∣t=0 = ?(,)∣t=0= ?0,) в ω, i = 1,2. u(^ = q(, = q0,) (7) t=0 t=0 0 Глобальные теоремы существования и результаты о стабилизации решений для нестационарных уравнений многоскоростных континумов вида (1) - (5) в настоящее время получены только в случае одномерного движения с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной переменной [3-5]. Первые результаты для модели смеси в приближении Стокса в случае более одной пространственной переменной получены авторами [6, 7]. В [8] проведено исследование так называемой квазистационарной модели смеси сжимаемых жидкостей в ограниченной области со специальными граничными условиями. В работе [9, 10] приведено стационарное решение первой краевой задачи для полных уравнений (1) - (5) в случае трех пространственных переменных, а в [11] - доказательство существование слабых стационарных решений системы уравнений смесей вязких жидкостей с учетом теплопроводности. Вспомогательные предложения В этом разделе приводятся сведения из анализа и теории дифференциальных уравнений, которые используются в данной статье. Пространства непрерывных функций и пространства Соболева. Пусть Ω⊂Rn - открытое ограниченное множество. Символ D (Ω) обозначает пространство основных функций, а D'(Ω) - пространство распределений (обобщенных функций) на Ω . Через Сm,β (ω) , m ≥ 0 - целое, β ∈ (0;1] обозначим линейное пространство функций, определенных на замыкании Ω и обладающих всеми частными производными до порядка m включительно, непрерывными в Ω по Гельдеру с показателем p . Функция u→ llullcm,β(Ω), m = 0,1,...; β∈( 0;1], Dau(х)-Dau(у) lμllcm,β(Ω) = Σ supld ^u (х)+ Σ sup I ,β ∣α≤mX∈Ω α=mx, .V∈ω , x^у Iх у| ∂∣α∣ u любую производную u(X) по X вида----------, ∣α = α∣ +_ + ;n является норсх;1 ^∂xαn , где D α обозначает О существовании сильных решений регуляризованных уравнений 33 мой в линейном пространстве Сm,β(Ω), называемым пространством Гельдера; Lp(Ω) - банахово пространство, состоящее из всех измеримых на Ω функций, суммируемых по Ω со степенью 1 ≤ р < ∞. Норма в нем определяется равенством IUI∣lp(ω) = I ∫ U (х)p dx I . Измеримость и суммируемость понимается всюду в смысле Лебега. W',p (Ω) (l ≥ 0 - целое, p ≥ 1) - банахово пространство, состоящее из всех элементов Lp (Ω), имеющих обобщенные производные всех видов до порядка l включительно, суммируемых со степенью p. Норма в Wl,p (Ω) ( ^^р если 1 ≤p ^^^,i = 1,2. Пусть параметры ε, δ, βi выбраны так, что ε > 0, δ > 0, βi ≥ 15, i = 1,2. Пусть Ω - ограниченная область класса C2,θ, О существовании сильных решений регуляризованных уравнений 35 θ∈ (0,1] и 0 Ox определяется наk=1Ω чальными Данными; L - положительная постоянная, независящая от ε. Более того, если параметр δ не указан в аргументе L, то L не зависит также от δ . Объем статьи не позволяет изложить доказательство теоремы 1 в деталях. Поэтому мы ограничиваемся описанием общей схемы доказательства и более подробно приводим его ключевые моменты. Аппроксимация Фаэдо - Галеркина вспомогательной задачи (8) - (12) В этом разделе мы построим схему аппроксимации регуляризованной задачи (8) - (12) посредством конечномерных задач. Изучим локальную, а затем глобальную по времени разрешимость этих задач. Далее, используя априорные оценки решений уравнений Галеркина, докажем возможность предельного перехода, в результате чего получим сильное обобщенное решение задачи (8) - (12) . Пр едварительные предложения Выберем систему достаточно гладких функций {ψi }i∞=1 , образующую орто-нормированный базис в (L2 (Ω))3, а также ортонормированный базис в (W01,2 (Ω))3 (с подходящим образом выбранным скалярным произведением). Рассмотрим последовательность конечномерных евклидовых пространств Xn со скалярным произведением (,)=(,)Xn , определенных как X n = span {ψi }in= 1 , (и,) = ∫u ■ Vdχ, и,V? ∈ Xn, и заметим, что все нормы на Xn и, в частности, Ω Wo ’p (Ω) -нормы, к = 0,1,^ , 1 ≤ p ≤∞ эквивалентны. О существовании сильных решений регуляризованных уравнений 37 Обозначим через Pn ортогональный проектор из (L}(Ω)) в Xn [12]. Пусть дана функция g ∈ C‘^’(I,L'(Ω)), ∂^g ∈ L)(Qt ), essinf g(t,x) ≥ a >0. Так как ото- (t,x)∈QT бражение Vp → l(ιw) = ∫g (t)V ∙ ιWdx является ограниченным линейным функциона-Ω лом на Xn и 11(ιW) ∣≤∣∣ v? || ∞(ω)∣∣ U || ∞(ω) ∫g(t)dx, то по теореме Рисса его можно представить в виде скалярного произведения (Mgv,w), Mg(t)∈L(Xn,Xn) . Тем самым для всех t ∈ I определено линейное отображение Mg): Xn → Xn, (MgV, w) = ∫g (t)v? ∙ IWdx, v?, w ∈ Xn , обладающее свойствами Ω 11 Mg(t) 11l^x ,x ) ≤ c(n)∫g(t)dx, t ∈ i . n n Ω Обратный оператор существует для всех t ∈ I , и при этом справедлива оценка 11 m-(t )IIl( Xn, Xn) ≤ a ■ Лемма 2. Пусть g ∈ W1,1 (QT ), essinf g(t,x)≥ a>0. ТогДа справеДливы соот- (t,x)∈QT ношения ∂t(M-^v,IW) = -(Mg^MgtgMg^v,Vp), в D'(I), V?,ιw ∈ Xn, ∂t(M-1v,VW) = -(Mg1MgtgM-1V,vw) + (Mg-1∂tv?, 1W), в D(I), v? ∈ C^(I,Xn), w∈Xn. (18) (19) Уравнение неразрывности с диссипацией Рассмотрим уравнение ∂tp+ d.v(pU) = ε∆p в QT, дополненное начальным условием p(0) = P0 в Ω и граничным условием ∂nρ = 0 на I × ∂Ω. (20) Здесь ρ(t, x), t ∈ I, X ∈ Ω - искомая функция, Ω - ограниченная область, ε >0 -заданная постоянная, ρ0 - заданная функция и U(t,x) - заданное векторное поле, обращающееся в нуль на границе области Ω . Лемма 3. Пусть 0

Скачать электронную версию публикации