Analytical studies of the limiting flow regimes in MHD channels.pdf Как показано в работах [1, 2] и статьях [3-5], возможны различные режимы движения плазмы в каналах МГД-генераторов фарадеевского и диагонального типов. При некоторых режимах работы в канале и разгонном сопле могут возникать ударные волны, области дозвукового и сверхзвукового течений [6]. Хорошо известно, что удачный выбор численного метода решений задач в значительной мере определяется нашими знаниями о характере этого решения. Поэтому представляют интерес предварительные аналитические исследования решения. Кроме того, эти решения могут использоваться в качестве тестов при обосновании адекватности численных расчетов при решении исходной дифференциальной задачи. В данной статье приведены результаты исследований холловских МГДГ, работающих при малых токах нагрузки. Полученные результаты справедливы также для фарадеевских каналов с секционированными электродами, работающих в режиме короткого замыкания. Постановка задачи Для упрощения исследований рассматривается стационарное однофазное (либо двухфазное равновесное) квазиодномерное магнитогидродинамическое течение в тракте холловского МГДГ. На рис. 1 показана модельная схема магнитной газодинамической установки, включающая в себя разгонное сопло, электродный участок и диффузор. Предполагается, что в МГД-канале индукция B имеет только одну составляющую. До начала переходных процессов в канале генератора реализуется сверхзвуковое течение. Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии, описывающие такое течение имеют вид S P и = G = const, (1) 1 Данное научное исследование (№ 8.2.12.2018) выполнено при поддержке Программы повышения конкурентоспособности ТГУ. Аналитические исследования предельных режимов течения в МГД-каналах 79 Рис. 1. Модельная схема МГД-генератора Fig. 1. Schematic diagram of a MHD generator du dP 2 (2) SPu--+ 5- = -.Sσ uB2 +β JBz, dx dx σS (3) канала, где G - расход газовой фазы, S - площадь поперечного сечения P,u,P,T,∣,J,cp,Bz,x- плотность, скорость, давление, температура, параметр Холла, холловский ток, удельная теплоемкость газа при P = const, магнитная индукция, линейная переменная вдоль канала соответственно. Система (1) - (3) замыкается уравнением состояния P (4) - = RT ; P зависимостями для проводимости σ=σ(P,T); (5) параметра Холла ∣=∣(P,T), (6) а также уравнением для холловского тока J = -( β uBz + Ex) , где Ex - на- 1 +∣2 zx x пряженность электрического поля. Для дальнейших упрощений оценим члены, стоящие в правой части уравнения (2). С этой целью запишем обобщенный закон Ома для холловского тока в виде -β uBz + = dV , (7) z σ Sdx x где введены полный холловский ток J = jχ S(х) и потенциал V = -∫ Eχdx. Заме-0 тим, что в холловском генераторе для плотности тока существенна только переменная вдоль канала. Подставляя (7) в правую часть (3) и интегрируя результат с учетом (1) от начала электродной зоны до сечения с координатой x, получим j^^+g l uT+CpT ] = g [ uT+CpT 1 (8) 80 Т.В. Васенина, А.А. Глазунов Здесь JV - энергия, отдаваемая МГД-каналом в нагрузку, индекс «C» относится к параметрам на входе в МГД-канал. Величину η =-, 2jv---∙100% можно рассматривать как коэффициент ∙∙^ 1Л полезного действия участка МГД-канала, который для холловского МГДГ не превышает нескольких процентов. Отсюда следует, что мы не совершим большой ошибки, если в уравнении (8) пренебрежем членом JV по сравнению с GI+ cpTJ . В результате получим C u2 1 (9) I--+ cpT I = const. 12 p J Заметим, что при работе холловского МГДГ с отключенной нагрузкой, когда ток J = 0, уравнение (9) является точным интегралом (3). В разгонном сопле Лаваля в уравнениях (2) и (3) отсутствуют правые части. Поэтому в областях непрерывности решения в разгонном сопле должны выполняться обычные соотношения: Sρu=G, ρudu+dP=0, u2 (10) +cpT=cpT0 , 2 pp0 P = RT, ρ где индекс «0» относится к параметрам торможения, в то время как на разрывах должны сохраняться комплексы: ρ1u1=ρ2u2, (11) ρ1u1 +P1=ρ2u2+P2, 22 u12 u22 - + cpτ1 = - + cpτ2, где индекс «1» относится к параметрам перед скачком, а индекс «2» - после скачка. Введем безразмерную скорость λ=u/ a* , где a* - критическая скорость звука. Из (10) имеем известное соотношение между площадями сечений потока и величинами λ в этих сечениях 51 52 (12) - площадь критического сечения сопла, приникоторое при λ2 =1; S2= S*, S* мает вид Аналитические исследования предельных режимов течения в МГД-каналах 81 (13) где k - показатель адиабаты. Соотношения (2), (3) имеют место в областях непрерывности решения. На ударной волне из (11) для величин λ имеем связь λ1λ 2=1. (14) В области магнитогидродинамического течения будем предполагать, что площадь S поперечного сечения канала не зависит от координаты -. В этом случае закон сохранения массы (1) принимает вид ρu=ρCuC, откуда можно выразить ρ как функцию параметра λ ρ=ρ λ C p=p^^. Для температуры T имеем известное соотношение t _ t0 l1 - kirλ 2). (15) (16) (17) Подставляя в уравнение состояния (4) плотность ρ и температуру T из (15) и (17), найдем связь между величиной λ и давлением: P=k+iPCλco*LC1 -k∑lλ≈). 2k C λ l k +1 J Соотношения (17), (18) вместе с (5) и (6) позволяют выразить через функции (18) от λ также проводимость и параметр Холла. Вводя величины проводимости σC и параметр Холла βC на входе в МГД-канал, приведем выражения (5) и (6) для σ и β к виду σ = σC σ (λ ), β=βCβ(λ). Подставляя величины ρ u, P, σ и β из (15), (18), (19) в (2), получим дифференциальное уравнение для λ (λ2-1)dξ = -λ2^σ(λ^ )λ -Λβ (λ )], 2k σCBz2 L в котором A =----- k+1 ρCuC безразмерная координата. (19) (20) Λ = -βcj- - безразмерные параметры; ξ = - SσCBza* L Для дальнейших исследований важно знать знак правой части уравнения (20). Сначала заметим, что для всякого участка МГД-канала, работающего в генераторном режиме, из уравнений (3) следует неравенство I -β uBz +^+^ JIJ < 0. z σ s J 82 Т.В. Васенина, А.А. Глазунов Его решение для U > 0 возможно только при 0 < J

Скачать электронную версию публикации