Drag coefficient of a solid sphere under non-isothermal conditions.pdf Вопрос о закономерностях движения одиночной частицы дисперсной фазы (твердой частицы, капли или пузырька) относится к фундаментальным задачам классической гидродинамики и механики двухфазных потоков и представляет интерес, например, при моделировании процессов в тепло- и массообменных аппаратах химической технологии, при оценивании последствий катастрофических явлений техногенного или природного характера, в вопросах образования атмосферных осадков и т.д. Закономерности движения частицы дисперсной фазы в первую очередь определяются силой динамического сопротивления. Корректное определение коэффициента сопротивления несущей среды движению частицы играет ключевую роль при создании адекватных моделей многофазных, в том числе двухфазных, течений. Стандартная кривая сопротивления для одиночной твердой сферы, движущейся при числах Рейнольдса Re < 1, получена в изотермических условиях (при равенстве температуры несущей среды и частицы дисперсной фазы) и описывается формулой Стокса [1] (1) 2021 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 71 24 Re Однако в ряде технологических процессов температура частицы может быть ниже или выше температуры среды (например, тушение пожаров с применением авиации, плазмохимический синтез керамических порошков, процессы охлаж- Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания No. 0721-2020-0036. В.А. Архипов, С.А. Басалаев, К.Г. Перфильева, А.С. Усанина 14 дения частиц в аппаратах химической технологии и т.д.) [2-8]. В этом случае зависимость (1) не может быть использована для расчета скорости движения частицы ввиду изменения физических свойств несущей среды в пограничном слое частицы. В большинстве публикаций, посвященных исследованию характеристик движения частицы дисперсной фазы в неизотермических условиях, динамика частицы исследуется преимущественно теоретически [9-20]. В частности, в работе [13] на основе аналитического решения уравнений Навье - Стокса для задачи об обтекании равномерно нагретой сферической частицы газовым потоком при малых числах Рейнольдса показано, что коэффициент сопротивления частицы линейно возрастает с ростом разницы температуры частицы и внешней среды за счет изменения плотности и вязкости обтекающего потока. Авторами работ [11, 14] показано, что при увеличении температуры частицы кривая для коэффициента сопротивления изначально достигает максимума, а затем начинает резко уменьшаться до нуля. При этом коэффициент сопротивления не только уменьшается до нуля, но и принимает отрицательное значение. О.Г. Фридлендер [15], рассмотрев задачу по обтеканию нагретой частицы потоком газа с минимальным влиянием температурных напряжений при малых числах Кнудсена и Рейнольдса, обнаружил, что учет температурных напряжений в уравнениях Навье - Стокса приводит к незначительному изменению силы сопротивления за счет равномерного нагрева сферической частицы и выбора оптимального значения неравномерности температуры по поверхности частицы. Неустановившееся термофоретическое движение первоначально нагретой (охлажденной) относительно газа и остывающей (нагревающейся) сферической частицы теоретически рассмотрено в работе А.Ю. Бориса [16]. Определено, что при учете температурных напряжений существенно изменяется значение термофоре-тической силы, действующей на частицу в начале движения, что приводит к значительному повышению скорости движения частицы в отличие от случая стационарного термофореза. Для охлажденной частицы при учете температурных напряжений термофоретическая сила направлена противоположно направлению силы при установившемся термофорезе. Учет и влияние «пленочной» температуры рассмотрены в работах [4, 6, 7] для одномерной модели движения частицы в тепловой плазме. Выявлено, что в зависимости от конкретных значений температур и размеров частицы метод приближения «пленочной» температуры приводит к погрешности расчета коэффициента сопротивления до 50 %. Численное исследование динамики нагретых несферических частиц рассмотрено в работе [17]. Авторы обнаружили, что в отличие от случая движения сферической частицы при моделировании движения несферической частицы следует учитывать термофоретическую силу. Стоит также отметить целый цикл работ Н.В. Малая с соавторами [10, 18-20]. Авторами выполнено теоретическое описание процесса обтекания равномерно и неравномерно нагретой сферической (жидкой и твердой) частицы в вязкой неизотермической газообразной среде в приближении Стокса. В формулу для расчета силы сопротивления сферической частицы при произвольных перепадах температуры вокруг ее поверхности авторы вводят поправочные коэффициенты, учитывающие зависимость вязкости и плотности газообразной среды от температуры. Среди экспериментальных исследований можно выделить работы [9, 21-23], в которых исследуется влияние смешанной конвекции на силу сопротивления оди- Коэффициент сопротивления твердой сферы в неизотермических условиях 15 ночной сферической левитирующей частицы, нагреваемой лазерным лучом в электродинамической камере, при малых числах Рейнольдса. Авторы предлагают при определении силы сопротивления нагретой частицы учитывать «пленочную» температуру и силы, возникающие в результате свободной конвекции: Из анализа существующих литературных данных по динамике движения частицы в неизотермических условиях очевидно, что ряд вопросов остаются нерешенными. В частности, для уточнения выражения для коэффициента сопротивления одиночной сферической частицы в неизотермических условиях необходимы дополнительные экспериментальные исследования. В настоящей работе представлены результаты экспериментального исследования закономерностей гравитационного осаждения одиночной твердой сферы в неизотермических условиях (при нагреве и охлаждении частицы) в вязкой жидкости в области чисел Рейнольдса Re = 10 3- 1. Описание экспериментальной установки и методики Исследование проводилось на установке, состоящей из вертикально установленной прозрачной кюветы с жидкостью и системы визуализации процесса осаждения частицы. Кювета, выполненная в виде прямоугольной призмы размером 300 х 300 х 900 мм (объемом 81 л), изготовлена из оптического стекла толщиной 15 мм. Система визуализации включала высокоскоростную видеокамеру «Citius C100». Видеосъемка проводилась с пространственным разрешением 576x1024 пикселей с темпом 300 кадров в секунду и временем экспозиции 0.5-2.0 мс. Для контроля расстояния, пройденного частицами, использовалась масштабная линейка с ценой деления 1 мм, отградуированная с учетом оптического искажения стенками кюветы. Для получения условий неизотермичности в экспериментах варьировалась температура частицы; температура жидкости оставалась неизменной и составляла T = 298 К. В экспериментах рассматривалось осаждение нагретых (Т = 373, 473 и 573 К) и охлажденных частиц (Т = 82, 250 К). Также проводились эксперименты для эталонных частиц, температура которых равнялась температуре жидкости Т = 298 К. В качестве жидкости использовались глицерин и полиметилсилоксановые жидкости марки ПМС-10000 и ПМС-30000. В экспериментах исследовалось гравитационное осаждение стальных шариков марки 95Х18. Плотность используемых жидкостей pi измерялась ареометром с относительной погрешностью 5pi = 0.1 %. Коэффициент динамической вязкости жидкостей ці определялся по измеренной скорости стационарного осаждения up твердой сферической частицы в сто-ксовском режиме (Re < 1, CD = 24/Re) по формуле gdp,(Pp -Pi) h =-, 18Up где g - ускорение свободного падения; dp, pp - диаметр и плотность одиночной сферической частицы; up - скорость гравитационного осаждения одиночной сферической частицы. В качестве частиц для определения коэффициента динамической вязкости использовались алюминиевые (dp = 3.1 мм, рр = 2835 кг/м3) и стальные (dp = 3 мм, рр = 7905 кг/м3) шарики. Скорость up вычислялась времяпролетным методом по формуле В.А. Архипов, С.А. Басалаев, К.Г. Перфильева, А.С. Усанина 16 p u где h - расстояние, пройденное частицей за время t. Параметры используемых жидкостей приведены в табл. 1. Т аблица 1 Параметры используемых в экспериментах жидкостей № Жидкость р/, кг/м3 щ, Па-с 1 Глицерин 1265 1.4 2 ПМС-10000 970 11 3 ПМС-30000 975 31.5 Диаметр используемых в экспериментах частиц определялся с помощью микрометра с погрешностью 0.01 мм. Эксперименты проведены для трех диаметров D стальных шариков: 15.1, 8.7 и 6.7 мм. Для определения плотности стальных шариков использовались электронные весы с погрешностью 1 мг. Плотность стальных шариков составляла р = 7753 кг/м3 и определялась как р = 6M/NkD3, где M - масса N частиц. В экспериментах с нагретыми частицами исследуемый стальной шарик помещался в специальный контейнер, размер которого соответствовал диаметру исследуемого шарика. Нагрев стального шарика осуществлялся c помощью встроенного внутри контейнера нагревательного элемента, который накалял рабочую область, в которой расположен стальной шарик. При проведении экспериментов с охлажденными частицами использовалась холодильная установка, позволяющая остудить стальной шарик до температуры 250 К, и жидкий азот, имеющий температуру 82 К. Температура Т нагретой и охлажденной частицы измерялась с помощью цифрового мультиметра марки APPA-109N. Для обеспечения полного охлаждения (или нагрева) частицы стальной шарик находился в неизотермических условиях заранее определенный промежуток времени. Время, необходимое для полного охлаждения (нагрева) стального шарика до заданной температуры, рассчитывалось по формуле 1 D2 X t2 _ где X - коэффициент теплопроводности твердой сферы; Xg - коэффициент теплопроводности внешней среды; х = X/рс - коэффициент температуропроводности материала твердой сферы; c - удельная теплоемкость твердой сферы. Значения времени полного охлаждения (нагрева) исследуемых стальных шариков приведены в табл. 2. Т аблица 2 Время полного охлаждения и нагрева исследуемых стальных шариков (в минутах) D, мм Т, К 82 250 373 473 573 6.7 7 41.6 29.5 24.1 20.6 8.7 11.7 69.5 49.5 40.3 34.5 15.1 34.9 208 147.8 120.7 103.1 Коэффициент сопротивления твердой сферы в неизотермических условиях 17 Результаты экспериментального исследования и их анализ Результаты видеосъемки процесса гравитационного осаждения стального шарика в вязкой жидкости в неизотермических условиях показали, что охлаждение частицы приводит к увеличению коэффициента сопротивления CD (и, следовательно, к уменьшению стационарной скорости u, а нагрев частицы, наоборот, способствует уменьшению CD (или увеличению u). Для условий проведенных экспериментов максимальное снижение скорости частицы наблюдалось для стального шарика диаметром D = 6.7 мм, охлажденного до температуры T = 82 К и движущегося в глицерине, и составляло 31 %. Наибольшее увеличение стационарной скорости в экспериментах обнаружено для нагретого до температуры Т = 473 К шарика диаметром D = 8.7 мм, движущегося в глицерине, и составляло 50 %. Анализ экспериментальных данных показал, что нагрев (или охлаждение) частицы не влияет на динамику ее осаждения. На рис. 1 приведены экспериментальные данные для пройденного стальным шариком расстояния s от времени t для нагретой, охлажденной и эталонной твердой сферы. На рис. 1 сплошными линиями показаны аппроксимационные зависимости s(t). Из приведенных графиков следует линейность зависимости s(t) и, следовательно, квазистационарность процесса осаждения. Рис. 1. Зависимость пройденного охлажденным (Т = 82 К) и нагретым (Т = 573 К) стальным шариком (D = 8.7 мм) расстояния от времени в ПМС-10000 Fig. 1. Time dependence of the distance traveled by a cooled (T = 82 K) and a heated (T = 573 K) steel ball (D = 8.7 mm) in methyl silicone oil (PDMS-10000) На рис. 2 приведены зависимости стационарной скорости осаждения стального шарика диаметром D = 8.7 мм от температуры частицы для трех используемых в экспериментах жидкостей (сплошными линиями на рис. 2 показаны аппроксимационные кривые). Наибольшее отклонение скорости осаждения нагретой (или охлажденной) частицы от скорости эталонной частицы наблюдается для случая движения в жидкости с наименьшим коэффициентом динамической вязкости, а именно в глицерине. Таким образом, скорость и коэффициент сопротивления частицы, движущейся в неизотермических условиях, по аналогии с эталонной частицей определяется величиной числа Рейнольдса Re = PlUE, Vi где u - скорость осаждения частицы. В.А. Архипов, С.А. Басалаев, К.Г. Перфильева, А.С. Усанина 18 Рис. 2. Зависимость стационарной скорости осаждения стального шарика (D = 8.7 мм) от его температуры: 1 - глицерин; 2 - ПМС-10000; 3 - ПМС-30000 Fig. 2. Stationary settling velocity of a steel ball (D = 8.7 mm) as a function of its temperature: 1, glycerin; 2, PDMS-10000; and 3, PDMS-30000 Экспериментальное значение коэффициента сопротивления одиночной твердой сферы определялось по формуле, полученной из уравнения движения твердой сферы в стационарном режиме [1] 4 gD Cd = “-Др-р,). 3 P,u Для условий экспериментов проведена оценка изменения температуры частицы за время ее осаждения £осажд в кювете с жидкостью [24]. Расчет процента максимального изменения (нагрева для охлажденных частиц и охлаждения для нагретых частиц) температуры частицы для трех используемых размеров стальных шариков проведен по формуле 5 = (косажд /12) * 100 % (для нагретых частиц к = 0.98, для охлажденных частиц к = 1.02). Значения 5 приведены в таблице 3. Из данных табл. 3 видно, что температура частицы мало отличается от температуры внешней среды, поэтому при расчете коэффициента сопротивления предполагалось, что температура стального шарика в процессе осаждения оставалась постоянной. Таблица 3 Максимальное изменение температуры частицы в процессе ее осаждения D, мм 6.7 8.7 15.1 5 , % 3.9 1.6 0.2 Экспериментальные данные по коэффициенту сопротивления Cd в зависимости от безразмерного комплекса Re* Т (где Т = T / T - отношение температуры частицы к температуре жидкости) приведены на рис. 3. Экспериментальные данные, полученные при Т = 1, хорошо согласуются с зависимостью Стокса (1) для коэффициента сопротивления. Коэффициент сопротивления твердой сферы в неизотермических условиях 19 Рис. 3. Зависимость коэффициента сопротивления одиночной твердой сферы от безразмерного комплекса Re- Т (сплошные линии - аппроксимационные кривые) Fig. 3. Dependence of the drag coefficient of a single solid sphere on the dimensionless complex Re- Т (the solid lines are the approximation curves) Из рис. 3 видно, что вид зависимости коэффициента сопротивления от безразмерного комплекса Re- Т при нагреве и охлаждении частицы аналогичен выражению Стокса и может быть записан следующим образом: (2) С - - CD - , Re где а - коэффициент, который зависит от отношения температур Т . На рис. 4 показана зависимость эмпирически полученного коэффициента а в выражении (2) от отношения температуры частицы и жидкости Т для исследованного диапазона чисел Рейнольдса Re = 10-3-1. Рис. 4. Зависимость коэффициента а в выражении (2) от Т Fig. 4. Dependence of the coefficient a in expression (2) on Т Из рис. 4 видно, что при Т >> 1 коэффициент асимптотически стремится к значению a = 16, поэтому при Т >> Т і зависимость для коэффициента сопротивления твердой частицы в неизотермических условиях будет соответствовать выражению Адамара - Рыбчинского, полученного для сферического пузырька (или капли) CD = 16/Re. В.А. Архипов, С.А. Басалаев, К.Г. Перфильева, А.С. Усанина 20 При решении ряда практических задач необходимо знать зависимость коэффициента сопротивления от разности температуры частицы и жидкости (внешней среды) ЪТ = . В качестве примера на рис. 5 приведены экспериментальные данные для коэффициента сопротивления одиночного нагретого (рис. 5, а) и охлажденного (рис. 5, b) стального шарика диаметром D = 8.7 мм от разности температур 5Т. Сплошными линиями на рис. 5 показаны аппроксимационные кривые. Рис. 5. Коэффициент сопротивления нагретого (а) и охлажденного (b) стального шарика в зависимости от ЪТ 1 - ПМС-30000; 2 - ПМС-10000; 3 - глицерин Fig. 5. Drag coefficient of (a) a heated steel ball and (b) a cooled steel ball as a function of ЪТ: 1, PDMS-30000; 2, PDMS-10000; and 3, glycerin Для исследованного диапазона чисел Рейнольдса Re = 10-3-1 в зависимости от разности температур ЪТ получено следующее эмпирическое выражение для коэффициента сопротивления одиночной твердой сферической охлажденной частицы (с коэффициентом детерминации R2 = 0.95): CD = CD 0 + 27.6-0808 , в диапазоне ЪТ = 0-0.7, Re0. и нагретой частицы (с коэффициентом детерминации R2 = 0.98): ст» CD = CD0 -18.2 , в диапазоне ЪТ = 0-0.9, Re0. где CD 0 = 24 / Re0 - коэффициент сопротивления эталонной твердой сферы (при T = T); Re0 - число Рейнольдса для эталонной твердой сферы (при T = T). Заключение Результаты экспериментального исследования процесса гравитационного осаждения твердой сферы в неизотермических условиях позволяют сделать следующие выводы: • Получены новые экспериментальные данные по закономерностям гравитационного осаждения одиночной охлажденной (T = 82 К, 250 К) и нагретой (T = 373 К, 473 К, 573 К) сферической твердой частицы в вязкой жидкости в области чисел Рейнольдса Re = 10-3-1. Коэффициент сопротивления твердой сферы в неизотермических условиях 21 • Показано, что стационарная скорость гравитационного осаждения одиночной частицы уменьшается при ее охлаждении и возрастает при нагреве частицы. • В исследованном диапазоне чисел Рейнольдса Re = 10-3-1 обнаружено, что коэффициент сопротивления одиночной твердой сферической частицы описывается зависимостью вида CD = a / Re , где а - эмпирический коэффициент, зависящий от отношения температуры частицы и жидкости (внешней среды) T . Методом регрессионного анализа получены значения коэффициента а для условий проведенных экспериментов и обнаружено, что при T >> 1 величина коэффициента асимптотически стремится к значению а = 16. • Для исследованных жидкостей (глицерин, ПМС-10000, ПМС-30000), широко используемых в различных лабораторных исследованиях, в диапазоне чисел Рейнольдса Re = 10-3-1 получены эмпирические выражения для коэффициентов сопротивления одиночной твердой сферической охлажденной и нагретой частицы в зависимости от разности температуры частицы и жидкости (внешней среды).

Скачать электронную версию публикации