Convergence of locally self-similar solutions to exact numerical solutions of boundary layer equations for a plate.pdf При решении задач устойчивости пограничных слоев необходимо знание профилей гидродинамических параметров базового стационарного течения. В сложных случаях требуется одновременно учесть многие процессы реального газа, такие, как релаксация внутренних степеней свободы молекул, диссоциация - рекомбинация, химические реакции, излучение и другие. Для расчетов подобных течений универсальным подходом является использование конечно-разностных методов для соответствующих уравнений погранслойного типа или полных уравнений, включающих все необходимые эффекты реального газа [1-3]. На практике чаще используются различные упрощенные подходы, позволяющие избежать сложных расчетов. В первую очередь, можно использовать известные автомодельные решения типа Блазиуса или Дородницына - Хоуарта [4], а дополнительные факторы - возбуждение колебательных степеней свободы, диссоциацию - рекомбинацию и т.п., учитывать только в уравнениях линейной теории устойчивости [5]. Лучшим приближением являются локально автомодельные решения [6-8], зависящие от координаты вдоль потока как от параметра. Однако в зависимости от постановки конкретной задачи - вида граничных условий, наличия химических реакций с тепловыделением и т.п., здесь имеются две альтернативы. Предпочтительным является случай, когда локально автомодельные решения с возрастанием координаты-параметра сходятся к некоторому предельному решению, которое и следует использовать в расчетах устойчивости. В другом случае такой предел отсутствует. При этом продольную координату, на которой рассчитывается локально автомодельное решение, определяют по числу Рей- 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 20-01-00168). Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 50 нольдса, задаваемого в задаче устойчивости, что приводит к некоторой неопределенной ошибке. В любом случае при использовании локально автомодельных решений необходимо предварительно определить характер их зависимости от продольной координаты, а также по возможности оценить их отклонение от численных решений, полученных в полной постановке, учитывающей все необходимые эффекты. В данной работе эта задача рассматривается применительно к пограничному слою колебательно возбужденного газа на пластине для ряда распространенных граничных условий. Основные уравнения и локально автомодельные решения Исходная система уравнений плоского пограничного слоя колебательно возбужденного газа в приближении Прандтля была получена из полных уравнений двухтемпературной релаксационной аэродинамики колебательно возбужденного газа [9] на основе стандартной процедуры [4]. В качестве характерных величин для обезразмеривания выбраны текущее расстояние x = L вдоль пластины, параметры невозмущенного потока вне пограничного слоя - скорость UM, плотность рм и температура TM, коэффициент сдвиговой вязкости ц*,, коэффициент теплопроводности, обусловленный переносом энергии в поступательных и вращательных степенях свободы = (5cV/2+6cVr/5)^(T), коэффициент теплопроводности, описывающий диффузионный перенос энергии колебательных квантов = 6cVv^(T)/5. Здесь коэффициенты теплопроводности выражены через коэффициент сдвиговой вязкости ^(T) с помощью полуэмпирических соотношений Эйкена [5], а коэффициенты теплоемкостей cVb cVr и cVv предполагаются постоянными. Зависимость вязкости от температуры описывается формулой Сазерленда. Для обезразмеривания давления и времени используются комбинированные величины p„UM2 и L/Um соответственно. В обезразмеренных таким образом переменных система имеет вид (1) д р u д р v д x д у д u д u д ( д u 1 Pu-+Pv - = - I p д-1; дx ду дуV ду) (2) (3) дT дT , . (дu Рu - + Р= (Y -1) РМ I - д x д у Vд у +y AS ,, дТ 1+Yv р (Tv - т) Pr д у V д у J т Здесь p(T) = д Tv д тѵ YvI Рu - + Рv- д x д у 1,5 T 3/2 T + 0,5 Pi =■ YPi д РдТ Pr д у _ д у _ YM2 p = р T. 20 Yv 33 Yv =- YvP(Tv - Т) (4) (5) 3 R -Vr = CVv = R ; R - газовая постоянная. Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 51 В (1) - (5) использованы стандартные обозначения гидродинамических переменных [4, 9]. Коэффициент у = cplcV = (cVt + cVr + R)/(cVt + cVr) - показатель адиабаты; т - характерное время релаксации возбужденной колебательной моды. Критерии M = UJ(jRTx)1'2 и Pr = cp^Jkx - соответственно числа Маха и Прандтля невозмущенного потока. Локально автомодельные уравнения выводятся из системы (1) - (5) аналогично автомодельным уравнениям для совершенного газа [4]. Они имеют вид (6) (7) (8) [ T-Ф" (Z) J + ФФ" = 0; YI TT''j + -(Y4T^ргм2 (ф")2 + PrФT'+ 4Pr-^bi(Tv - T) = 0; ^+ PrфT"+ ^(Tv -T) = 0, где штрихи означают дифференцирование по поперечной автомодельной координате Z = n/(2Vz) , величины 7 Z = х, n = j P dy 0 представляют собой переменные Дородницына - Хоуарта [4], а вспомогательная функция Z Ф(0 = 2 j u (Z) dZ. 0 Видно, что уравнение импульсов (6) имеет автомодельную форму, как в совершенном газе, а уравнения для температур (7), (8) из-за наличия в них релаксационных слагаемых приводятся к локально автомодельной форме, где координата Z = х входит как параметр. Из уравнений (6) - (8) следует, что на передней кромке пластины при Z = х = 0, а также в термодинамическом равновесии при Tv = T система переходит в автомодельные уравнения для совершенного газа [4]. Для расчета локально автомодельных решений вводились вспомогательные функции fi = Ф, / = Ф", / = Ф", / = t , f5 = t , / = Tv, / = TV и система уравнений (6) - (8) приводилась к нормальной форме, для которой методом «стрельбы» с помощью процедуры Рунге - Кутты четвертого порядка на интервале [0, 5] решалась двухточечная краевая задача. Точкой «прицеливания» служила середина интервала Zc = 5 /2, где требовалось совпадение значений вычисляемых величин с точностью до 10-8. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: y = 1.4, Yv = 0.4, т = 1; Pr = 0.75, M = 2.2 и 4.5; 5 = 8, Z = 030; AZ = 0.01. Для продольной скорости на границах использовались условия: Ф ' (0) = 2u(0) = 0, ф ' (5) = 2u (5) = 2. Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 52 Для температур рассматривался ряд характерных условий в набегающем потоке и на поверхности пластины, соответствующих различным аэродинамическим ситуациям. Ниже приводятся данные для следующих режимов. Режим течения 1 - «полет в невозмущенной атмосфере», теплоизолированная (адиабатическая) стенка, колебательная температура на стенке принимается равной температуре «пластинчатого термометра» [4], на условной верхней границе пограничного слоя статическая и колебательная температура T '(0) = 0, Tv (0) = 1 + ■(Y-)PrM2, T (5) = Tv (5) = 1. Режим течения 2 - «полет в невозмущенной атмосфере», охлажденная до температуры внешнего потока (изотермическая) стенка, колебательная температура на стенке принимается равной статической температуре, на условной верхней границе пограничного слоя статическая и колебательная температура T (0) = Tv (0) = Tw = 1, T (5) = Tv (5) = 1. Режим течения 3 - «эксперимент в сверхзвуковой аэродинамической трубе», охлажденная до температуры внешнего потока (изотермическая) стенка, колебательная температура на стенке принимается равной статической температуре, на условной верхней границе пограничного слоя колебательная температура равна температуре торможения (статической температуре в форкамере трубы): T(0) = Tv(0) = Tw = 1, T(5) = 1, Tv(5) = 1 + ^M2. Для режима 3 также рассматривалась адиабатическая стенка. В качестве одного из вариантов граничного условия на колебательную температуру использовалось условие теплообмена при полной аккомодации колебательных квантов: = a^(Tv (0) - T). (9) Здесь 5 2Кеш T 1,5 T3/2 а =-J-, Д =- 3МцѴ п у T + 0,5 T = 1 + (Y -1) 2 PrM2, Re„ = р„иД/ц„ - число Рейнольдса. На рис. 1, 2 и 3 представлены профили гидродинамических величин соответственно для режимов течения 1, 2 и 3. На рис. 4 показаны примеры профилей гидродинамических параметров для режима течения 1 с условием (9) на поверхности пластины. Как видно из рис. 1 - 4 во всех случаях имеет место сходимость локально автомодельных профилей продольной скорости и температур к их предельным значениям при ^ = x = 8 - 12. При этом профили скорости, неавтомодельность которых связана только со слабой температурной зависимостью, сходились даже на меньших значениях продольной координаты. Для оценки сходимости локально автомодельных решений к пределу в зависимости от продольной координаты рассчитывались относительные отклонения профилей ем(9 и температур e^Q, eTv(Q в равномерной норме. В качестве пре- Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 53 дельных профилей выбирались профили, полученные в сечении £ = 15. Зависимости eu,T,Tv(£) вычислялись по формуле £ 8u ,T,Tv (Z) _ 1 _ [u , T, Tv ](£, £) [u , T, Tv ](£, £ = 15) 2 0 0.5 u •100% £ = 8,10,12. b 1 1.4 T 1 1.4 Tv Рис. 1. Локально автомодельные профили продольной скорости и, статической T и колебательной Tv температур. Режим течения 1, M = 2.2. Сплошные линии - £ = 0, сплошные линии с круглыми маркерами - £ = 5, с квадратными маркерами - £ = 10, с треугольными - £ = 15 Fig. 1. Locally self-similar profiles of longitudinal velocity, u, and static and vibrational temperatures, T and Tv, respectively. Flow regime 1 is provided at M = 2.2. The solid lines indicate £ = 0, the solid lines with circles - £ = 5, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with triangles - £ = 15 0 0.5 u 1 1.08 T 1 1.06 Tv Рис. 2. Локально автомодельные профили продольной скорости и, статической T и колебательной Tv температур. Режим течения 2, M = 2.2. Сплошные линии - £ = 0, сплошные линии с круглыми маркерами - £ = 5, с квадратными маркерами - £ = 10, с треугольными -£ = 15 Fig. 2. Locally self-similar profiles of longitudinal velocity, u, and static and vibrational temperatures, T and Tv, respectively. Flow regime 2 is provided at M = 2.2. The solid lines indicate £ = 0, the solid lines with circles - £ = 5, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with triangles - £ = 15 Типичные характеристики сходимости профилей для различных режимов течения приведены на рис. 5 - 7. Из зависимостей, представленных на рис. 5, видно, что для режима течения 1 наибольшие относительные отклонения получаются на профилях скорости и статической температуры вблизи стенки и имеют соответст- Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 54 венно порядки (0.4-1.3)*10-3 и (2-5)* 10-3. При этом наибольшие относительные отклонения на профилях колебательной температуры наблюдаются на высоте Z -0.7 от поверхности пластины и имеют порядок (1.8-4.8)*10-3. Из графиков на рис. 6, следует, что для режима течения 2 на профилях скорости наибольшие относительные отклонения наблюдаются на высоте Z - 1 от поверхности пластины и имеют порядок (1.7-5.8)*10-5. Наибольшие относительные отклонения на профилях статической и колебательной температур получаются на высоте Z - 0.8 от поверхности пластины и имеют соответственно порядки (2.5-9)10-4 и (0.9-3.5)10-3. 1 1.6 T 1 3.1 Tv Рис. 3. Локально автомодельные профили продольной скорости u, статической T и колебательной Tv температур. Режим течения 3, M = 4.5. Сплошные линии - £ = 0, сплошные линии с круглыми маркерами - £ = 5, с квадратными маркерами - £ = 10, с треугольными - £ = 15 Fig. 3. Locally self-similar profiles of longitudinal velocity, u, and static and vibrational temperatures, T and Tv, respectively. Flow regime 3 is provided at M = 4.5. The solid lines indicate £ = 0, the solid lines with circles - £ = 5, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with triangles - £ = 15 2 0.5 u 1 2.5 T 1 2.6 Tv $ 0 Рис. 4. Локально автомодельные профили продольной скорости u, статической T и колебательной Tv температур. Режим течения 1 с условием (9), M = 4.5, ReOT = 104. Сплошные линии - £ = 0, сплошные линии с круглыми маркерами - £ = 5, с квадратными маркерами -£ = 10, с треугольными - £ = 15 Fig. 4. Locally self-similar profiles of longitudinal velocity, u, and static and vibrational temperatures, T and Tv, respectively. Flow regime 1 with condition (9) is provided at M = 4.5, ReOT = 104. The solid lines indicate £ = 0, the solid lines with circles - £ = 5, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with triangles - £ = 15 Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 55 Рис. 5. Относительные отклонения локально автомодельных профилей скорости и температур. Режим течения 1, M = 2.2. Сплошные линии с треугольными маркерами - £ = 8, с квадратными маркерами - £ = 10, с круглыми - £ = 12 Fig. 5. Relative deviations of the locally self-similar profiles of velocity and temperatures. Flow regime 1 is provided at M = 2.2. The solid lines with triangles indicate £ = 8, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with circles - £ = 12 Рис. 6. Относительные отклонения локально автомодельных профилей скорости и температур. Режим течения 2, M = 2.2. Сплошные линии с треугольными маркерами - £ = 8, с квадратными маркерами - £ = 10, с круглыми - £ = 12 Fig. 6. Relative deviations of the locally self-similar profiles of velocity and temperatures. Flow regime 2 is provided at M = 2.2. The solid lines with triangles indicate £ = 8, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with circles - £ = 12 1 5.5 eT, % 1 11 sTv, % Рис. 7. Относительные отклонения локально автомодельных профилей скорости и температур. Режим течения 3, M = 4.5. Сплошные линии с треугольными маркерами - £ = 8, с квадратными маркерами - £ = 10, с круглыми - £ = 12 Fig. 7. Relative deviations of the locally self-similar profiles of velocity and temperatures. Flow regime 3 is provided at M = 4.5. The solid lines with triangles indicate £ = 8, the solid lines with squares - £ = 10, and the solid lines with circles - £ = 12 Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 56 Зависимости, приведенные на рис. 7, показывают, что для режима течения 3 наибольшие относительные отклонения на профилях скорости наблюдаются вблизи поверхности пластины и имеют порядок (4-9.3)10-4. При этом наибольшие относительные отклонения на профилях статической и колебательной температур получаются вблизи условной границы пограничного слоя Z = 5 ~ 8 и имеют соответственно порядки 0.03-0.10 и 0.09-0.21. Численные расчеты пограничного слоя в полной постановке Для перехода к конечно-разностной схеме система уравнений (1) - (5) плоского пограничного слоя колебательно возбужденного газа может быть представлена в следующем обобщенном виде: д р u д р v п -г- + ^- = 0, д x д у a,f + b, М = ^( с, f | + d, + e,f,. дх ду ду V ду i = 1,2, , k. (11) Здесь индекс i относится к соответствующей искомой величине, например компоненте продольной скорости u, температуре газа T и т.д. Коэффициенты a,, b,, с,, di и ei, входящие в уравнения (11), могут зависеть как от величинf, так и от их производных. Для численного решения уравнений (11) был реализован конечно-разностный метод, изложенный в работах [10, 11]. Расчетная область покрывалась прямоугольной сеткой по пространственным координатам: xn = x0+nhx, yj = jhy (n, j = 0, 1, 2, ...), где hx, hy - шаги сетки в направлениях осей x и у. Дополнительно вводилась вспомогательная сетка с полуцелыми индексами: xn+i/2 = x0+(n+1/2)hx, уі = jh)> и xn = x0+nhx, у+1/2 = (j+1/2)hi,. Для аппроксимации уравнений (11) использовалась явно - неявная конечно-разностная схема Кранка - Николсон: fn _ fn-1 fn-1/2 _ fn-1/2 an-1/2 j f j + bn_1/2 Jij+1 -1 = ( cn-1/2 cij+1/2 V д у n-1/2 I - Cn-1/2 cij-1/2 ij+1/2 д у n-1/2 Л I + d”-1/2 + e”-1/2 fn-1/2 tj tj Jtj ij-i/2 ) (12) где fn-1'2 = Srf" + (1 - S ) j В расчетах весовые параметры были выбраны si = 0.5. Значения коэффициентов ai, b, сi, di и ei вычисляются в узлах вспомогательной сетки в полуцелых узлах (n -1/2,j), n,j = 1, 2, 3, ... . Схема (12) приводится к виду (13) ^jf-n-1 + jnj + Yijfi+1 = 5j. Здесь atJ = st j + c^2 + bj1,2 hv), Pij- (cj112 + 2c” 1/2 + c -1/2 4 -1 bn-1/2 Jlj 1у> - 2ei 2-1/2 7 2 h2) - 2a; h2 7-1/2 ' У x Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 57 Y _ s (cn-1/2 + cn-1/2 _ bn-1/2 h ) lit - si (ci j+1 + ci j-1 bi j hv> 4j i2 ij+lr 4j _1 "ij 5(Л w n-1/2 . n_1/2 . i ij _ (1 _ si )(cij +1 + cij + b ' hv ) ] _ (1 - st)(]2 + 2cj1 2 + ]2 - 2ej1 2 h2) - 2a, n-1/2 n-1/2 cij-1 n-1/2 h2) ~ij V n-1/2 hV_ i] hx . хл \\ x n-1/2 . n- 1/ 2 in- 1/ 2 7 \\ rn- 1 . /■> i +(1 - S )(ci] +1 + ci j-1 - bi ] hv ) fi] +1 + 2 di ] + Jl! n-1/2 n-1/2 /-n-1 m-1/2,2 V ' Система разностных уравнений (13) с учетом конечно-разностных аппроксимаций граничных условий имеет трехдиагональную матрицу, обладающую свойством диагонального преобладания, и эффективно решается методом скалярной прогонки. На очередном шаге по маршевой переменной x вычислялись все значения fn по толщине пограничного слоя. Поперечная скорость находилась из разностного уравнения (р u)nj - (р uj (р и)]+1 - (р u)]-1 (Р v)nj-1/2 - (Р v)n-m 2hx 2hx hv _ 0, (14) аппроксимирующего уравнение неразрывности (1). Входящая в уравнение (14) плотность р зависит только от температуры T и полагается известной величиной. На основе уравнения (14) строилось рекуррентное соотношение для нахождения n-1/2 n-1/2 n-1/2 v‘j+{'~ через V] ‘ ". Таким образом, определив значение v] ‘ “ из граничного условия на пластине, определялась поперечная скорость в полуцелых узлах (n - 1/2, j), где j = 1, 2, 3, ... . Для вычисления коэффициентов ai, bi, ci, di и ei, зависимых от v и f", в узлах вспомогательной сетки использовались формулы линейной интерполяции для этих величин, определяемых по значениям в узлах основной сетки f -1/2 f] + fi n-1 ij fi -f] . r] Jij+1 + Ji] ij+1/2 Для вычисления значений f" на n-м слое необходимо знать коэффициенты aj1/2, Ь]1/2, cj1/2, dj1/2 и ej1/2, которые, согласно приведенным выше формулам, сами зависят от неизвестных величин finj на n-м слое. Поэтому использовался алгоритм внутренних итераций, заключающийся в следующем. Для вычисления значений a]1/2, b]]1/2, cj1/2, d]1/2 и e]]1/2 в первом приближении в качестве значений функций на n-ом слое брались их значения на (п-1)-м слое, например ft _ J.] , а последующие приближения учитывались в итерационном процессе jn-1/2, к fj jn, к + jn-1 J'ij + Jij 2 где к - индекс внутренних итераций. На каждом шаге по маршевой переменной итерации выполнялись до сходимости. Сходимость к установившемуся решению Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 58 определялась по разности относительных значений сеточной функции в равномерной норме fn, k _ fn, к-1 < 8, max j Jij _ Jij fn,k где 8 - заданная точность, которая в численных расчетах была выбрана равной 10-8. Система уравнений (1), (11) имеет параболо-гиперболический тип и требует задания начальных условий на входной границе пограничного слоя: u(x0, y) = u0(y), T(x0, y) = T0(y) и т.д. При этом распределение поперечной скорости v(x0, у) находилось из численного решения уравнений (13), (14) с применением внутренних итераций. В качестве начальных данных брались решения уравнений пограничного слоя в локально автомодельных переменных при £ = 1. Полученное решение v(x0+hx/2, у) при достаточно малом hx полагалось равным v(x0, у). Порядок аппроксимации численной схемы исследовался на основе сравнения численных решений на последовательности сеток с изменяемым в два раза шагом. Расчеты показали, что отношение отклонений численных решений в совпадающих узлах сеток составляет величину, близкую к четырем, а схема имеет близкий ко второму порядок аппроксимации. Исследование точности численного алгоритма проводилось на основе сравнения с известными автомодельными решениями. Относительные отклонения профилей продольной скорости 8М(0, плотности 8P(Z) и температур 87©, 8Tv(Z) от автомодельных профилей Блазиуса и Дородницына - Хоуарта [4] в различных сечениях £ = x в равномерной норме рассчитывались по формуле 8q (Z) 1 _ q(Z, £) q(Z, £ = 0) •100%, £ = 5,10,40, где вектор q = (и, р, T, Tv). Для полностью развитого пограничного слоя полученные отклонения не превышали 1%. Достигнутое качество численной схемы дало возможность корректного сравнения локально автомодельных профилей гидродинамических параметров с профилями, рассчитанными в полной постановке, для одинаковых граничных и начальных условий. На рис. 8 представлены профили, полученные в обеих постановках, для режима течения 1 при M = 4.5. На рис. 9 для двух значений чисел Маха M даны относительные отклонения предельных локально автомодельных профилей при £ = 30 от численных расчетов на продольной координате x = 40, где пограничный слой можно считать полностью развитым. Относительные отклонения профилей продольной скорости 8u(Z), плотности 8P(Z) и температур 8T(Z), 8Tv(Z) вычислялись по формуле 8q (Z) 1 _ q(Z, x = 40) q(Z, £ = 30) •100%, q = (u, p, T, Tv). Видно, что в данных условиях максимальное отклонение при М = 4.5, которое не превышает 3 %, проявляют профили температур. В тех же условиях при M = 2.2 максимальное отклонение имеет место для продольной скорости и составляет примерно 2 %, в то время как отклонения температур лежат в пределах 1 %. Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 59 0 0.5 u 1 2.5 T c \\ 1 2.6 Tv Рис. 8. Сравнение профилей гидродинамических параметров. Режим течения 1, M = 4.5. Сплошные кривые - приближение локальной автомодельности, штриховые кривые - численной решение полной задачи Fig. 8. Comparison of the profiles of hydrodynamic parameters. Flow regime 1 is provided at M = 4.5. The solid lines indicate a local self-similarity approximation, the dashed lines - a numerical solution to a complete problem Sq, % 0 1.1 2.8 Sq, % Рис. 9. Относительные отклонения гидродинамических параметров. Режим течения 1, M = 2.2 (a) и 4.5 (b). Сплошные кривые - su, штриховые кривые - sT, штрихпунктирные кривые - sTv, точки - sp Fig. 9. Relative deviations of hydrodynamic parameters. Flow regime 1 is provided at M = (a) 2.2 and (b) 4.5. The solid lines denote su, the dashed lines - sT, the dash-dot lines - sTv, and the dotted lines - sp На рис. 10 и 11 приведены аналогичные сравнения при M = 4.5, но для случая охлаждаемой изотермической стенки. Все отклонения в этом случае возрастают приблизительно в полтора раза, но не превышают 4.5 %. Отметим, что для аналогичных условий при M = 2.2 все отклонения остаются в пределах примерно 1.5 %. Полученные результаты позволяют заключить, что для рассмотренных граничных и начальных условий локально автомодельные решения настолько близки к численным решениям полной задачи, что могут обоснованно использоваться в расчетах линейной устойчивости соответствующих пограничных слоев. Ю.Н. Григорьев, А.Г. Горобчук, И.В. Ершов 60 u 1 , b V V У J 1.27 T 1 1 c // у .... у у 1 1.27 Tv Рис. 10. Сравнение профилей гидродинамических параметров. Режим течения 2, M = 4.5. Сплошные кривые- приближение локальной автомодельности, штриховые линии - численной решение полной задачи Fig. 10. Comparison of the profiles of hydrodynamic parameters. Flow regime 2 is provided at M = 4.5. The solid lines indicate a local self-similarity approximation, the dashed lines - a numerical solution to a complete problem 0 1.4 0 4.6 Рис. 11. Относительные отклонения гидродинамических параметров. Режим течения 2, M = 2.2 (a) и 4.5 (b). Сплошные кривые - eu, штриховые кривые - ет, штрихпунктирные кривые - eTv, точки - ер Fig. 11. Relative deviations of hydrodynamic parameters. Flow regime 2 is provided at M = (a) 2.2 and (b) 4.5. The solid lines denote eu, the dashed lines - eT, the dash-dot lines - sTv, and the dotted lines - ep Заключение 1. Рассчитаны локально автомодельные решения для сверхзвукового пограничного слоя на пластине для распространенных условий внешнего потока и теплообмена на границе. Показано, что для всех рассмотренных случаев имеет место сходимость профилей гидродинамических переменных к некоторым предельным значениям при х = £ > 8-15. 2. На основе конечно-разностной аппроксимации системы уравнений плоского пограничного слоя, имеющей порядок O(h2), получены численные решения в полной постановке для тех же условий внешнего потока и теплообмена на границе. 3. Проведено сравнение профилей гидродинамических переменных, рассчитанных в локально автомодельной и полной постановках. Показано, что для всех Сходимость локально автомодельных решений к точным численным решениям 61 рассмотренных граничных и начальных условий предельные локально автомодельные профили приближают профили полностью развитого пограничного слоя, рассчитанные в полной постановке в пределах 3-5 %. Это позволяет обоснованно использовать легко рассчитываемые предельные локально автомодельные профили в расчетах по линейной теории устойчивости.

Скачать электронную версию публикации