A boundary state method for solving a mixed problem of the theory of anisotropic elasticity with mass forces.pdf При проектировании деталей из современных материалов особое внимание уделяется расчету их на прочность. С точки зрения теории упругости, эти материалы являются анизотропными в отношении упругих свойств. Усложняет задачу еще и то, что эти детали пребывают в сложных механических условиях: на них действуют массовые силы, а на поверхность наложены условия кинематического и физического характера. Расчет напряженно-деформированного состояния от совокупности таких воздействий, а также в силу сложной природы материала составляет актуальную научную задачу. Задачи в теории упругости в смешанной постановке рассматривались реже, чем задачи с однотипными граничными условиями, однако их исследование проводилось в приложении к различным направлениям механики. В работе [1] рассмотрена смешанная плоская задача теории упругости для двухслойной кольцевой области; предложенный метод является аналитическим. В работе [2] проводился анализ смешанных задач для ограниченных и полуограниченных тел, ослабленных трещинами. Исследовались задачи контакта. Массовые силы в задачах механики деформируемого тела рассматривались в следующих работах. В [3] использование метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения помогло найти распределение напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах. В работе [4] метод ортогональных проекций применен для решения задач теории упругости с заданными объемными и поверхностными силами, а в [5] для несжимаемого материала с помощью уравнения Лагранжа получено условие эквивалентности поверхностных и объемных сил. Автором [6] рассмотрены тяжелые трасверсально-изотропные составные сферы под действием объемных сил и давления внутри полости. Получены точные аналитические решения задач. 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а". Д.А. Иванычев 64 Ряд работ посвящен развитиям методов механики. Так, в [7] рассмотрен обратный метод определения напряженно-деформированного состояния изотропных упругих тел под действием непрерывных непотенциальных объемных сил. Развитию метода конечных элементов в рамках смешанной постановки, основанной на функционале Рейснера, посвящена работа [8]. В [9] с помощью этой технологии решена смешанная задача теории упругости для тела, имеющего односторонний контакт с упругим полупространством. Авторы [10] решают уравнения Лапласа в осесимметричной постановке с помощью непрямого метода граничных элементов. Впервые в методе граничных состояний (ГС) объемные силы были рассмотрены в работе [11], а с участием полиномиальных объемных сил для изотропной среды он применен в [12]. Решены смешанные задачи для цилиндра и полушара под действием полиномиальных объемных сил. В [13] приводится решение задачи о линейно-упругом сплюснутом сфероиде, нагруженном самоуравновешенной системой объемных сил. Решение строилось для двух вариантов нагружения: потенциальными и непотенциальными объемными силами. Массовые силы вкупе с краевой задачей термоупругости для трансверсально-изотропных тел рассмотрены в работах [14, 15]. Решение представляло собой сумму упругих полей от краевой задачи, задачи термоупругости и задачи деформирования массовыми силами. Решению плоских и пространственных задач методом граничных состояний, как для односвязной, так и для многосвязной области посвящены работы [16, 17]. Решение строилось на основе общих представлений плоской задачи и задачи Сен-Венана, полученных С. Г. Лехницким. В рамках настоящей работы предполагается развитие метода граничных состояний в части решения осесимметричной основной смешанной задачи теории упругости с участием массовых сил для трансверсально-изотропных тел вращения. Спецификой решения является то, что оно одновременно удовлетворяет заданным условиям на поверхности тела и внутри области, т.е. массовым силам, а не представляет собой сумму решения смешанной задачи при отсутствии массовых сил и решения задачи о действии массовых сил на тело со свободной границей. 1. Постановка задачи Рассматривается упругое равновесие трансверсально-изотропного конечного и Г r Рис. 1. Трансверсальноизотропное тело вращения Fig. 1. A transversely isotropic body of revolution односвязного тела вращения с осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью симметрии. Требуется восстановить упругое поле в области V по заданным массовым силам X = {R, Z} внутри области, поверхностным усилиям p = {pr, pz} на части границе Sp и перемещениям u = {ur, uz} на части границе Su (рис. 1). Естественно, что S = Sp + Su. Решение можно провести следующим образом: сначала решить краевую задачу механики от заданных на границе кинематических и физических условий, затем отдельно решить задачу по определению упругого состояния от действия массовых сил на то же самое тело, только со свободной границей, и полученные поля упругих характеристик сложить. Метод граничных состояний при решении смешанной задачи теории анизотропной упругости 65 Однако в этом случае результирующее поле перемещений не будет удовлетворять заданным перемещениям точек границы в условиях смешанной постановки граничных условий и решение будет некорректным. Целью работы является создание подхода, позволяющего получить упругое поле, удовлетворяющее всем заданным условиям (поверхностным условиям и массовым силам). 2. Общее решение В работе [18] с помощью метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным состоянием упругого транстропного тела и двумерными состояниями. В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация, возникающая в цилиндрах бесконечной длины, имеющих в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости zy (деформация происходит в плоскости zy; координата у плоского состояния соответствует координате r пространственного состояния; направление п ^ плоскости zy): up = Re[/?i9i (qi) + iq2Ф2 (q2)]; up = Re[Р1Ф1 ) + P2Ф2 fe)], (1) где up , up1 - компоненты вектора перемещения плоского вспомогательного состояния; q1, p1 - комплексные константы; q. = z / у. + iy , у. - комплексные кор ни характеристического уравнения; функции ф. (q.) - аналитические по своим переменным. Пространственное состояние формируется по интегральным формулам перехода от плоского вспомогательного состояния [15]: -Г ,Ѵ1 rpr2 - =dy, w y ! u pi z Г~2 2 ryjr - y dy, (2) где u и w - компоненты вектора перемещения пространственного состояния по оси r и z соответственно. Через соотношения Коши и закон Гука вычисляются деформации и перемещения пространственного состояния [18]. 3. Метод решения Для решения поставленной задачи используем метод граничных состояний (МГС) [19]. Метод оперирует понятиями гильбертовых пространств. Набор компонент тензоров напряжений ст|, деформаций вк и вектора перемещения uk определен как достаточных набор характеристик упругого поля, описывающих некоторое внутреннее состояние среды. Этот набор имеет вид ^ = {uk,В*.,окг] }, к = 1,2,3,...N , (3) где N - размерность базиса. Счетная совокупность таких состояний образует конечный базис внутренних состояний S = &,S2,5з,...,^к,...} . (4) Д.А. Иванычев 66 Набор компонент вектора перемещения на границе тела вкупе с напряжениями на границе и массовыми силами (условно в силу того, что массовые силы не относятся к поверхности тела) образует граничное состояние: Yk = {uV,pk,Xk}, pi =^]n], (5) где nj - компонента нормали к границе. Аналогично образуется счетный базис пространства граничных состояний Г = {Yi,Y2,Yз,..., Yk,...}. Рассмотрим уравнение Клапейрона [20]: J XudV + J pvuvdS - J CTj si]dV = 0, (6) V S V где u - вектор перемещения; X - вектор массовых сил; pv, uv - поверхностные силы и перемещения точек границы; ст^, ei}- - компоненты тензоров напряжений и деформаций. В силу соотношения (6) пространства сопряжены изоморфизмом, что однозначно определяет взаимосвязь между их наборами. Далее базисы пространств ортонормируются с помощью рекурсивно-матричного алгоритма ортогонализа-ции, построенного на классическом процессе Грама - Шмидта [21]. Алгоритм использует перекрестные скалярные произведения. В пространстве S (в развернутом виде, например, для 1-го и 2-го состояний) (%1, %2) =J4 CTjdV , (7) V причем в силу тождества Бетти (%i,%2) = (%2,%i) = J4CT2jdV = Je?CTjdV . V V То же в пространстве Г: (Yi, Y2) = J PluldS + JXjufdV, (8) S V причем согласно свойству коммутативности CbY2) = (Y2,Yi) = Jp\\uldS + JxlUdV = Jpful,dS + JX^ul,dV . S V S V Искомое упругое состояние представляет собой ряд Фурье: ад ад % = У ck %k; y=E ckYk k=i k=i или в развернутом виде ад ад ад У Ck 4 ; X, =y cX . k=i k=i (9) p, = У ckp,; u = У cku,; ст„ = У ck4; k=i k=i k=i В случае основной смешанной задачи заданы массовые силы X = {R, Z}, перемещения точек границы тела uv = {uv, wv } на участке Su и усилия pv = {pr, pz} на участке Sp . Метод граничных состояний при решении смешанной задачи теории анизотропной упругости 67 Ортонормированность базиса граничных состояний позволяет для его элементов записать J XUdV + J pjujdS + J X1 UdV + J pjujdS = 2Sy., (10) V S V S где индексы i, j - номера элементов в базисах состояний; и1 ,1 - вектор перемещения в базисе внутренних состояний; pj1, uj1, X1,1 - векторы усилий, перемещений и массовых сил в базисе граничных состояний. Представим первое слагаемое из (8) в следующем виде: JpjujdS = J p'vujdSu + J pjujdSp ; S Su Sp Jp]vUvdS = J pjuJdSu + J pju'vdSp , S Su Sp и подставляя последние выражения в (9), получим JXuJdV + J piujdSu + J piuJjdSp + V Su Sp +J X1 u1dV + J pjujdSu + J pjujdSp = 2Sy.. V Su Sp Группируя слагаемые и обозначая Pj = J Xu]dV + J pjujdSp + J pj ujdSu ; (11) V Sp Su Xj = J X1 udV + J pjujdSp + J pj ujdSu , V Sp Su легко убедиться что Ру- + Xy- = 5у . Преобразуем Ху следующим образом: базисные компоненты X1, uj, pj заменим заданными X, u ѵ , p ѵ и перебор будем осуществлять по индексу 1, образуя тем самым матрицы коэффициентов: a 1 = 2 J Xu JdV + 2 J pvuidSp + 2 J pjujdSu ; B = [Py. ]NxN ; A = [a, ]N , (12) V Sp Su где u1 - вектор перемещения в 1-м элементе базиса внутренних состояний (3); pj, uj - векторы усилий и перемещений на границе тела в 1-м элементе базиса граничных состояний (5). Следует отметить, что матрица В является кососимметричной (Ру = -р 1І, i * 1). Коэффициенты Фурье c = {ck }N рассчитываются так: c = {Ck }n =В-1А, (13) где N - число используемых элементов базиса. Решение завершается соотношениями (9). Д.А. Иванычев 68 4. Формирование базиса Особое внимание в методе граничных состояний уделяется построению базиса внутренних состояний, которое осуществляется с помощью общего или фундаментального решения для среды. Также возможно использование каких-либо частных или специальных решений. Для построения поля перемещений от массовых сил для плоских вспомогательных состояний воспользуемся методикой, описанной в [8]. Применим фундаментальную систему многочленов уаze, которую можно поместить в любую позицию вектора перемещения upl (y, z), образуя некоторое упругое состояние плоской деформации: up ={{уаze,0,},{0,y“ze}} . Генерирование различных вариантов в пределах а + р

Скачать электронную версию публикации