On the joint application of the collocation boundary element method and the Fourier method for solving problems of heat .pdf В настоящей работе рассматриваются начально-краевые задачи теплопроводности (НКЗТ) в конечных (по высоте) однородных прямых цилиндрах (КОПЦ) Q+ х 1Y (Q+ - открытая двумерная ограниченная односвязная область с границей 3Qe С5, Q- = R2\\ Q+ (R = (-го, +го)); 1Y = [0,Y] - высота цилиндра) на временном промежутке 1Т = [0, Т]. Начальные и граничные условия на основаниях цилиндра нулевые, а на боковой поверхности граничные условия задаются функцией w(x1, x2, у,t) ((Xj, x2) edQ. , у e 1Y , t e 1T ). Исследуется приближенное решение НКЗТ в КОПЦ, основанное на совместном применении коллокационного метода граничных элементов (КМГЭ) [1, с. 21] и метода Фурье. Соответствующие точные решения u(x1, x2,у,t) имеют вид потенциала с неизвестной функцией плотности, которая находится из граничного интегрального уравнения (ГИУ) второго рода, причем интегральные операторы потенциала и ГИУ выражаются через С0 -полугруппы операторов UT (xt) и UY (т ), действующих по переменным t и у соответственно. Вопросы аппроксимации, сходимости и устойчивости приближенных решений задач теплопроводности, полученных на основе КМГЭ и ГИУ второго рода, исследуются в работах [2-5]. Рассматриваются двумерные задачи, соответствующие НКЗТ в бесконечно длинных однородных цилиндрах с однородными вдоль образующих цилиндра граничными условиями [2, 4], общие трехмерные задачи [3], а Д.Ю. Иванов 16 также n -мерные задачи [5], причем в работе [3] исследуются задачи с кусочногладкими по Ляпунову граничными поверхностями, имеющими края и углы. Различные модели на основе двумерных задач теплопроводности и их решение с помощью КМГЭ рассмотрены в работах [6-11], причем в работе [10] решается задача для уравнения теплопроводности с диссипативным членом, определяющая частные решения НКЗТ в КОПЦ. В работе [12] на основе КМГЭ решается внешняя по отношению к бесконечно длинному цилиндру НКЗТ с неоднородными вдоль образующих цилиндра граничными условиями. В работе [13] рассматривается решение на основе КМГЭ задачи теплопроводности в конечном круглом цилиндре, где наряду с преобразованием Лапласа по временной переменной используется разложение в ряд Фурье граничных функций. Для решения задач теплопроводности в конечных круглых цилиндрах использовались и другие приближенные методы: метод конечных элементов [14, 15] и метод конечных разностей [16]. Разностные методы используются и для решения задач теплопроводности в конечных некруглых цилиндрах [17]. Однако автору не удалось найти примеры совместного использования КМГЭ и метода Фурье для решения задач теплопроводности в конечных некруглых цилиндрах. В работах [18-20] на основе КМГЭ получены решения НКЗТ для уравнения с диссипативным членом: 82ххи + 5 2 и = dtu + к 2и (и = и( xl, x2, t), (xl, x2) eQ± , t e IT , к > 0). (1) Решения НКЗТ в КОПЦ разлагаются в ряд Фурье по собственным функциям генератора C0 -полугруппы UY (ту), и коэффициентами такого ряда являются решения НКЗТ для уравнения (1). С уменьшением гладкости граничных функций w по переменной y возрастает вес решений НКЗТ для уравнений (1), соответствующих большим значениям к , и точность решения НКЗТ в КОПЦ снижается. Для сохранения точности на равномерной сетке требуется увеличение числа шагов дискретизации функций exp (-к2тy) - компонент С0 -полугруппы UY (тy) -по параметру ту и граничной функции w по переменной у пропорционально к2 и j соответственно (j - некоторое усредненное значение величины Yk, зависящее от w). Функции exp (-к2ту) при больших к являются быстро меняющимися вблизи ту =0. Поэтому измельчать сетку при их интерполяции можно только вблизи ту =0 на отрезке, длина которого убывает пропорционально 1/к, а в остальной области значений ту сетку оставлять прежней. Тогда количество шагов по т при не очень больших значениях к возрастает лишь пропорционально к, и точность сохраняется, если число шагов по у также возрастает пропорционально j. При этом шаги дискретизации по остальным переменным остаются неизменными. Благодаря такому подходу, полученные здесь на основе кусочно-квадратичной интерполяции (ККИ) аппроксимации решений НКЗТ в КОПЦ устойчиво сходятся в норме L2 (IY х IT) к точным решениям с кубической скоростью равномерно относительно множеств функций w , ограниченных по норме функций с низкой гладкостью по переменной у , равномерно по длине образующей Y и равномерно в области Q± . Последнее также связано с использованием здесь ККИ вдоль кри- О совместном применении коллокационного метода граничных элементов и метода Фурье 17 вой 3Q по переменной р = у r2 -d2 , описанной в работах [19, 20] применительно к задачам для уравнения (1) и осуществляемой при достаточно малых значениях r (r и d - расстояния от наблюдаемой точки области Q± до текущей точки интегрирования вдоль 5Q и до границы 5Q соответственно). Доказано также, что если число шагов дискретизации по переменной ту ограничено относительно роста к, то равномерная кубическая сходимость в норме L2 (IY х 1T) во всей области Q± существует на множествах функций w, ограниченных по норме функций с достаточно высокой гладкостью по y, а в любой замкнутой подобласти области Q± имеет место такая же равномерная сходимость на множествах функций w, ограниченных по норме функций с низкой гладкостью по y , к тому же равномерная по длине образующей Y . Приведен пример, показывающий, что если число шагов по ту ограничено относительно к, то скорость сходимости некоторых приближенных операторов, возникающих при вычислении потенциала, уменьшается вблизи границы области Q± на функциях с низкой гладкостью по у . Приведены результаты численного решения такой задачи в круглом цилиндре, подтверждающие теоретические выводы. Зависимость от у граничных функций w здесь задается собственными функциями генератора С0 -полугруппы UY (т), варьируемыми в достаточно большом диапазоне значений к. Ранее в работах автора [21, 22] рассматривались решения НКЗТ в КОПЦ, где осуществлялось вычисление приближенных операторов в алгебре полиномов, образованных степенями оператора U(hT) = UT (hT) UY (hT) (hT - шаг дискретизации параметра Tt, UY (hT) - аппроксимация оператора UY (hT)). В настоящей работе приближенные операторы вычисляются в алгебре полиномов, образованных степенями оператора UT (hT). Предварительные замечания Далее считаем, что граница 9Q является кривой класса гладкости С2, если не оговорено особо. НКЗТ в КОПЦ с неоднородными граничными условиями второго и третьего рода на боковой поверхности цилиндра, с нулевыми граничными условиями первого, второго и третьего рода на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием могут рассматриваться как двумерные векторные краевые задачи: Д2u±= Bu± (х = (x1,x2) еП± ), dn(x)и±-цu±= w (x ). (2) Здесь u± (x) и w(x) - векторные функции со значениями в гильбертовом пространстве L2 = L2 (IT х IY), заданные на множествах Q± и 5Q соответственно (все пространства функций здесь комплексные); п(х) - нормаль к кривой 5Q, проходящая через точку х и направленная внутрь области Q+ ; Д2 = d X іХ 1 +д2Х2 Х2 (непрерывность и дифференцируемость векторных функций предполагается здесь в норме пространства их значений, в данном случае - L2); ц> 0 (коэффициент теплообмена) - постоянная; B - оператор в пространстве L2, заданный при по- Д.Ю. Иванов 18 мощи дифференциального выражения (Bf) (t, y) - (dt -d2 + p) f (t, y) (p e R) на множестве D(B) классов функций f e L2, эквивалентных функциям f (t, y), абсолютно непрерывным по t e IT при y e IY , абсолютно непрерывно дифференцируемым по y e IY при t e IT и удовлетворяющим условиям: f \\t=0 = 0 при y e IY , (dyf - h0 f) \\ y =0 = (dyf + hYf) \\y=Y = 0 при t e IT (0 < V hY 0). Так как Д. = Y д. ~ пj при j ^ж, то D(BY) = D(B'Y). Через Я, п/ 2 (п e Z+) обозначим гильбертовы пространства функций f e L2(IY ) : f e D (BY2), с нормами -i1/2 m 01BY ~ >\\IL,() J при фиксированном n e Z+ и всех Y > 0 изоморфны между собой и эквивалент- іія/2 “ vn II bm2 Z^m=J by . Пространства Я nj 2 _ _-пІ2 ные элементы в них имеют вид f = £ . _Q a j a j ' v j при одинаковых для всех Y > 0 числах a0, at,... (£*_0|aj|2 0 на множествах { f e Я$2: ||f||Я„/2 < YrtR, R > 0 }. Зададим также операторы BY = B'Y + pY21 (D(BY) = D(BY)). Операторы (BY )2 [Яп2 ^ L2(Iy)] равномерно ограничены по Y e(0,Y0] при любом Y0 > 0: |(y )2||

Скачать электронную версию публикации