Symbolic representation of forced oscillations of branched mechanical systems.pdf Расчет динамики механической системы с n степенями свободы, включающей инертные тела и упругие элементы, предполагает составление и интегрирование системы из n дифференциальных уравнений второго порядка, которые сводятся к дифференциальному уравнению 2n порядка. Увеличение степени свободы на единицу увеличивает порядок результирующего дифференциального уравнения на два. Решение дифференциальных уравнений высоких порядков является достаточно громоздким и трудоемким [1, 2]. Цель исследования состоит в разработке существенно компактных методов расчета механических систем с несколькими степенями свободы для установившихся режимов. Далее используются следующие обозначения и терминология: ,П • xm = юте 2 = -i--упругий реактанс; ю = mm - инертный реактанс в комплексном представлении; к • r = r - механический резистанс, • z = r + x = r + - механический импеданс; • bm =-e 2 = -i-=--инертный сассептанс; ют ют xm • bk = - e 2 = i - =--упругий сассептанс; к к Хк Символическое представление вынужденных колебаний 119 1 • g = g =--механический кондактанс; - r • У = g + b = g + 1---I e 2 - механический адмитанс. - Vk am) Сила, скорость, импеданс и адмитанс связаны формулами F = zV = ZVelv; • • . i- i (ф+п) V = yF = YeI V Ѵы F Рис. 6. Векторная диаграмма при двойном (последовательно-параллельном) резонансе Fig. 6. Vector diagram for double (series-parallel) resonance О характере механического импеданса Пусть F - Fei0 , + /2 +2 iarctgт" іф 1 = r + Xm = r + Xme = Ze . Тогда y- F = Fe F -іф z ze‘ ,Іф Пример 5. Для данных предыдущих примеров xm _ 20 - 72 + 202 rctg“ И 21.19ei70-71° [кг-1 • с], V- - - l00eL„,° и 4.719e~i7071° [м • с-1]. z 21.19e i 70.71° И.П. Попов 128 Векторная диаграмма для величин из примера 5 представлена на рис. 7. Рис. 7. Инертный характер Fig. 7. Inert nature V2 2 z'arctg- . r + e r = . Пример 6. Для данных предыдущих примеров _ Xu _ -10 2 2 .arctg k 2 2 .arctg z = r2 + xk e r = 72 +102 e 7 : 12.207e-55° [кг-1 • с] • F V = =- 8.192ег55° [м • с-1]. 100e z 12.207e-55 Векторная диаграмма для величин из примера 6 представлена на рис. 8. Рис. 8. Упругий характер Fig. 8. Elastic nature Представленные выше рассуждения можно принять в качестве иллюстрации справедливости следующей теоремы. Теорема 5. При инертном характере нагрузки скорость отстает по фазе от приложенной силы. При упругом - опережает. При резистивном - совпадает. Замечание 5.1. Если x = xm + Xk и j, > Xk, то нагрузка имеет инертный характер. Если и Xm < Xk - то упругий. Схемное изменение характера нагрузки Пусть нагрузка состоит из инертного тела и упругого элемента. Пусть ^jk/m Ф ю . Для этих условий имеет место Символическое представление вынужденных колебаний 129 Теорема 6. При изменении схемы соединения инертного тела и упругого элемента с параллельного на последовательное или наоборот характер нагрузки меняется. Доказательство. Пусть xm > xk . При параллельном соединении ( k X = Xm + Xk = | та-- V а и в соответствии с замечанием 5.1. нагрузка имеет инертный характер. Фаза i п/ 2 > 0 . При изменении схемы соединения на последовательное , , , (а 1 Л iп ат -klа iп b = bk + bm = |----I e 2 =-:-- e 2. V k am) km В соответствии со следствием теоремы 1 п -i- 2. 1 km _ Ь am - k/а Фаза -i п/2 < 0, т.е. нагрузка приобрела упругий характер . Аналогичным образом рассматривается условие Xm < Xk . Теорема доказана. Заключение Доказан ряд релевантных теорем, связывающих активные и реактивные параметры систем при последовательном и параллельном соединении потребителей механической мощности. На примере параллельно-последовательного и последовательно-параллельного соединения показаны методы расчета разветвленных механических систем с любым числом степеней свободы, основанные на использовании символического или комплексного представления вынужденных гармонических колебаний. Рассмотрены фазовые соотношения, определяющие характер нагрузки и возможность его искусственного изменения. Представлены векторные диаграммы амплитуд сил, скоростей и их составляющих в комплексной плоскости для нулевого момента времени, которые дают исчерпывающее представление о взаимосвязи между этими величинами.

Скачать электронную версию публикации