On asymptotic relations for the critical Galton - Watson process.pdf 1. Введение Хорошо известно (см., например, [1]), что математический объект, называемый «ветвящимся процессом», является математической моделью многих прикладных задач, возникающих в физике, химии, биологии, демографии и других направлениях науки. Ветвящиеся процессы особенно хорошо отражают эволюцию биологических систем, что продемонстрировано, например, в книгах P. Haccou, P. Jagers, V. Vatutin [2] и P. Jagers [3], в которых математические результаты по ветвящимся процессам применены к исследованию роста популяции. Пусть (|(к, j), к, j е N} взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие распределение pt = P(^(k, j) = i), i = 0,1,..., ад ад У pi = 1, p0 > 0, p0 + p1 < 1 и производящую функцию f (5) := Es^(k, 1) = У pi s', i=0 i=0 0 < s < 1. Рассмотрим процесс {Z (к) , к > 0}, определенный рекуррентными соотношениями Z (n-1) Z (0) = n, Z (n) = У %(n, j), n eN. (1.1) j=1 Здесь n - случайная величина, принимающая целые положительные значения и независящая от случайных величин {|(k, j), к, j е N}. Процесс {Z(к) , к > 0} называют процессом Гальтона - Ватсона, начинающегося с n частиц. В дальнейшем будем предполагать, что A = E|(1,1) < ад и a = En < ад . Если A < 1, то процесс {Z (к), к > 0} называется докритическим, при A = 1 он называется критическим, а если A > 1, то процесс называется надкритическим. Х.Э. Кудратов., Я.М. Хусанбаев 6 Хорошо известно (см. например, теорему 6.1 [1]), что в случае, когда р = 1, при A < 1 ветвящийся процесс Z (n) вырождается с вероятностью 1, а если A > 1, то вероятность вырождения равна единственному неотрицательному решению уравнения f (s) = s, меньшему 1. Обозначим через {Zi (n), n > 0} ветвящийся процесс Гальтона - Ватсона, порожденный i-й частицей начального состояния. Ясно, что в силу сделанных предположений процессы {Zi (n), n > 0, i > 1} являются взаимно-независимыми и одинаково распределенными ветвящимися процессами Гальтона - Ватсона, начинающиеся с одной частицы. Через Q(n) обозначим вероятность продолжения процесса {Z(к) , к > 0} на n-м шаге, т.е. Q(n) = P(Z(n) > 0), а через R(n) обо значим вероятность продолжения процесса {Zj (n), n > 0} (начинающегося с одной частицы) на n-м шаге, т.е. R(n) = P(Zl(n) > 0). Предел lim(1 -R(n)) называют вероятностью вырождения ветвящегося процесса Zx (n). В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения: W(n) = P(Z (n) = 0) = 1 - Q(n), h(s):= Esn , Hn (s):= EsZ(n), B = f"(1) , C = f(1), D = fIV (1), a2 = Var|(1,1) , b = h"(1), c = hm(1), d = hIV (1), T2 = Varq. f) (s) = s , f (s) = f (s), fn (s) = f (fn- (s)) - n-я итерация f (s). an Символ an ~bn будет обозначать соотношение lim - = 1. n^° bn В случае когда n = 1, случайный процесс {Z (k) , k > 0} изучен многими авторами (см. [1, 4-6]). При этом одной особенно интересной математической задачей для ветвящихся процессов является определение асимптотики вероятности R(n) при n . В 1938 году А.Н. Колмогоровым [7], был получен следующий замечательный результат для асимптотики вероятности R(n): R(n)~ KAn, Bn ’ 1 -X , если A < 1,B 0,C 1. (1.2) Здесь K - положительная постояная, зависящая только от распределения pi, i > 0 ; X - неотрицательный корень уравнения f (s) = s, отличный от единицы. Отметим, что в случае A > 1 и p0 = 0 для любого n е N имеет место событие Zn > 0 с вероятностью 1, так что в этом случае R(n) = 1 для любого n е N. Результат, аналогичный (1.2), для ветвящихся процессов с непрерывным временем был получен Б. А. Севастьяновым [8]. Напомним, что однородный во времени марковский процесс в фазовом пространстве {0,1,2,...} и с переходными вероятностями Pj (t), t е [0, ж), называют ветвящимся процессом с непрерывным Об асимптотических соотношениях для критического процесса Гальтона - Ватсона 7 временем, если имеет место соотнощение Pij- (t) = X P,S-P,,(>) h+j2+■■■+ji=1 (условие ветвления) (более подробно см. гл. 1 из [9]). В.М. Золотаревым [10], в случае р0 > 0, был получен следующий результат для ветвящихся процессов с непрерывным временем: R(t) = I (1.3) at b т^2 2at . / 2at \\ Ke -= K e + o(e ), 2a 2 4c_ logt + o (logt J bt 3b3 t2 I t2 J, если a < 0, b < ж, если a = 0, b > 0, c < ж; Rx(t) = Kxeaxt K}Ke2axt + o(e2axt), если a > 0, 2ax где Rx(t) = X-P(t), a = g'(1), b = g’’(1), c = g’’’(1), ax = g'(X), bx = g"(X), cx = g'"(X), ж g(x) = Xy kxk , Y k = k=0 dPk (t) dt Здесь Pk (t) - вероятность того, что одна частица за время t производит k частиц. В.П. Чистяков [11] получил следующий член в разложении (1.3), когда a = 0 и d = gIV (1) < ж; асимптотическое разложение для a < 0 и конечности kфакториального момента получено Р. Мухамедхановой [12]. Результат, аналогичный разложению (1.3) для дискретного случая получен А.В. Нагаевым [13]. В 1966 г. С.В. Нагаевым и Р. Мухамедхановой [14] для ветвящихся процессов Гальтона - Ватсона получен следующий результат, который является аналогом (1.3) для дискретного случая при n ^ж : R(n)' K1 An + K 2 A 2n + ... + Kw, mn ,A + 2 +1 ( 4C 2 J ln n (ln n Bn + 13B3 B J 2 1 4 2 n V n . 2 ( 4C 2' )ln n + 4K + Bn V3B3 By In2 + B 2 n2 + O если A < 1, am < ж, m > 1, если A = 1, B > 0, С < ж, (1.4) ln n если A = 1, B > 0, D < ж, и если A > 1, то для любого фиксированного m е N Rx (n) ~ Kjx AXn + KlxAXn +... + KmXAmn + o(AXmn), где Rx(n) = X-P(n), ax = f(k) (X), a^ = Ax, KjX и Kj ,j = 1,...,m, - положи тельные постоянные, зависящие только от распределения pt, i > 0 , X - отличный от единицы корень уравнения f (s) = s . Как уже было сказано, критический ветвящийся процесс Гальтона - Ватсона, начинающийся с одной частицы, с вероятностью 1 рано или поздно попадает в состояние ноль и останется в нем навсегда, так что при этом нет никаких интересных предельных теорем. Заметим, что для таких процессов EZ (n) = 1. Однако нетрудно убедится в том, что Х.Э. Кудратов., Я.М. Хусанбаев 8 E ( (n)/Z (n) > 0) = -EZ(n)--- - ю v ’ P(Z (n) > 0) 2 в силу теоремы Колмогорова. Значит, должно иметь смысл исследование асимптотики условного распределения случайной величины Z (n), когда Z (n) > 0 . Так, в 1947 году А.М. Ягломом [15], в случае A = 1, C < ю, был получен следующий результат: lim P((1- fn(0))Z(n) < у/Z(n) > 0) = 1-^ . (1.5) n--ю В работе [16] Spitzer, Kesten, Ney доказали что для справедливости результата (1.5) достаточно требовать A = 1, B < ю . Аналогичный результат для ветвящихся процессов с непрерывными временем был установлен В.М. Золотаревым [10]. Отметим,что интерес к установлению аналогов результата Колмогорова и Яглома для различных схем до сих пор не ослабевает, что доказывают, в частности, недавно опубликованные работы G. Kersting [17] и N. Cardona, S. Palau [18] по вет-вяшимся процессам в изменяющейся среде, а также книга G. Kersting, V.A. Vatutin [19], посвященная ветвящимся процессам в случайной среде. Во всех работах, приведенных в обзоре, рассматрываются процессы начинающиеся с одной частицы. Однако очевидно, что в практических задачах это условие не всегда выполняется. Нашей основной целью является выявление влияния числовых характеристик начального состояния на развитие ветвящегося процесса. Отметим, что если начальное состояние п принимает конечное число значений, то применяя формулу полной вероятности, асимптотика, например Q(n), легко определяется через асимптотику R(n) вероятности невырождения ветвящегося процесса, начинающегося с одной частицы, и среднее значение п. Полученные результаты показывают, что и в общем случае «принцип усреднения» имеет место. В настоящей работе процесс (1.1) изучен в критическом случае, и для этого случая получены результаты, аналогичные (1.2), (1.4) и (1.5). 2. Основные результаты Пусть задан процесс (1.1). Имеют место следующие теоремы: Теорема 2.1. Если A = 1, 0 Р . к=1 к Аналогичными рассуждениями, как в примере 2.1, получаем соотношение Q(n)ln2 n yBn (1 + 0(1)). 3. Вспомогательные результаты Пусть задан процесс (1.1). Лемма 3.1. Для производящей функции процесса Z (n) имеет место следующее соотношение: Hn(s) = h(fn(s)), 0 < s < 1. (3.1) Доказательство. Принимая во внимание независимость случайных величин {п , |(1, j), j e N}, заключаем, что H (s) = EsZ(1) = Es^u)+-+^(1,п) = E(Es/п) = E(f (s))n = h( f (s)). Следовательно, равенство (3.1) имеет место при n = 1. Предположим теперь, что равенство имеет место при n = к . Докажем его справедливость для n = к +1. Опять принимая во внимание взаимную независимость случайных величин {|(к +1, j), j e N} и независимость от Z(к), имеем Нк+1( s) = EsZ (к+!) = Es^+1,1)+-+5(к+1, Zk) = = E(Es(+1,1)+-+5(к+1Z) / Zk ) = E(f (s))^ = h( fk+!(s)). Следовательно, равенство (3.1) имеет место для любого n e N . Лемма доказана. Об асимптотических соотношениях для критического процесса Гальтона - Ватсона 11 Лемма 3.2. Для математического ожидания, дисперсии и ковариации Z (n) имеют место следующие соотношения: EZ(n) = aAn ; (3.2) VarZ (n) = o2aAn 1 --1 + t2A2n, если A Ф1, A -1 (3.3) 2 2 0)E(exp{(1 -Hn(0))Z(n)}/Z(n) > 0). (4.8) Отсюда следует соотношение E(exp{-X(1 - Hn (0)) Z(n)} /Z(n) > 0) = = 1 -P(Z(„) = 0) {E(exp{{ - Hn(0))Z(„)}- P(Z(n) = 0). (4.9) Определим асимптотику E(exp{-X(1 -Hn(0))Z(n)}). Известно [1], что Z (n) можно представить в виде n Z (n) = £ Zt (n), n e N . i=1 Из независимости случайных величин n и (|(i, j),i > 1, j > 1} следует также независимость Zt (n) от случайной величины n. Теперь, принимая во внимание независимость и одинаковую распределенность случайных величин Zi (n), получаем ГГ n "п E(exp{-X (1 - Hn (0)) Z(n)}) = E exp -Г -X (1 - Hn (0)) £Z; (n) V I i=1 = E f E L V exp j-X(1 - Hn (0) )£ Zi (n) i=1 /n = En E(exp {-X (1 - Hn (0)) Zi (n)}) = i=1 = E ( (exp {-X(1 - Hn (0)))) . Согласно формуле полной вероятности имеем fn (exp {-X (1 - H„ (0))}) = E (exp {-X (1 - H„ (0)) Z (n)}) = = P (Zj(n) = 0) + P (Zj (n) > 0)E(exp{-X(1 - Hn (0))Zj(n)}/ Zt(n) > 0 ) = = fn(0) + (1 - fn(0))E(exp{-X(1 -Hn(0))Z|(n)}/Zl(n) > 0 ) . Согласно теореме 2.1 и результату Колмогорова (1.2), получаем 1 - h„ (0) (4.10) Из неравенства e - e 1 - fn (0) |< \\x - y , x > 0, y > 0 , (4.11) (4.12) (4.12) и хорошо известного соотношения для критических процессов 1 E (Zj(n)/ Zj (n) > 0 ) = (1 - fn (0)) получаем следующее соотношение: IE(exp{-X(1 -Н„(0))ZJ(n))/Z1(n) > 0 )--E(exp{-Xa(1 - fn(0))^(n)}/}х{„) > 0) |< 1 - h„ (0) < E 1 - H„ (0) (1 - f„ (0) )ад/Z1(n) > 0 1 -0) 1 - f„ (0) 1 - f„ (0) - a (1 - f„ (0))E(Z1(n)/Z1(n) > 0) = 1 --0) --a (4.13) Х.Э. Кудратов., Я.М. Хусанбаев 14 Принимая во внимание (4.13), а также теоремы Яглома и Колмогорова, из равенства (4.11) получим 1 fn (exp {--( - Нп (0) )})) - B- d + 0(1)) + _2_ _ , 2 a- = 1---- (1 + о(1)). Bn 1 + ак (1 + о(1)) = (4.14) Из (4.10) и (4.14) заключаем, что - (1 + о(1))ЛЛ Bn 1 + а- Теперь, принимая во внимание асимптотические соотношения ln(1 - x) = -x + o(x) , x ^ 0 , e~x = 1 - x + o(x) , x ^ 0, имеем \\Л n in(1 2 a- (i . o(1))) - 2n a- E (exp {(1 - Нп (0) )Z (п)}) = ЕІ1 - (4.15) El 1 -a- Y1 nin(1-2 a- (1+o(1))) -"' (1+o(1)) - (1 + o(1))| = Ee Bnl+a- КШ= Ee Bn1+a- Bn 1 + a- = e| 1 - 2^_^-_ (1 + o(1)) , 2a a- .14. , , „ , 1---(1 + o(1)). Bn 1 + a- ) Bn 1 + a- Теперь в силу (4.9), (4.15), (4.16) и теоремы 2.1 получаем следующее: Е (exp {--(1 - Нп (0)) Z (n)} / Z (n) > 0) ~ 1 (4.16) 2a 2a (1+o(1)) Bn 1 1 - 2«_a-_(1 + o -1 + 2a (1 + o(1))} = Bn 1 + a- Bn ‘ _(2a 1 ^(1 + o(1)) B 1 + a- Bn (1 + o(1)) = 1 1 + a- (1 + o(1)), что и завершает доказательство теоремы 2.4. Авторы выражают свою искренную благодарность рецензенту, замечания которого способствовали улучшению данной работы.

Скачать электронную версию публикации