Investigation of the influence of random perturbations on the dynamics of the system in the Suslov problem.pdf 1. Введение Динамика механических систем моделируется, как правило, системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Особый интерес вызывают процессы, моделируемые нелинейными системами. Такой, например, является обобщенная задача Суслова. С точки зрения механики это неголономная задача. А как известно, именно в подобных задачах можно наблюдать различные динамические эффекты: странные аттракторы, ускорения, эффект реверса и другие. Физическая интерпретация задачи Суслова - это движение по внутренней поверхности сферы твердого тела, внутри которого по изменяющемуся по времени периодическому закону движутся точечные массы, причем периодическое возбуждение системы сводится к периодическому изменению гиростатического момента. Исследованию как классической задачи Суслова, так и обобщенной задачи Суслова посвящено достаточное количество работ [1-5]. Впервые она была рассмотрена в работе [1]. Позже в статье Вагнера [2] была описана аналогия между задачей Суслова и движением саней Чаплыгина. Чуть позже эта задача исследовалась в работах [3, 4]. Довольно подробное исследование обобщенной задачи Суслова с выявлением возможного ускорения в системе и странных аттракторов проведено в работе [5]. Можно также отметить еще ряд работ по указанной тематике [6-8]. Однако при исследовании механических систем возникает следующий вопрос. На динамику движущегося тела могут влиять различные случайные факторы: сопротивление воздуха, которое часто не учитывается при моделировании, отсутствие абсолютной гладкости поверхностей, незначительные сбои в работе механизмов и другие случайные возмущения. Нелинейные динамические системы могут демонстрировать за счет своей нелинейности случайные эффекты, например появление в системе хаоса. А не будут ли случайные возмущения влиять на эффекты, порожденные нелинейностью системы? Работа поддержана грантом РФФИ № 18-29-10051 мк. Е.А. Минишанина 18 Данная работа посвящена исследованию влияния случайных возмущений, по-другому «белого шума», на динамику механической системы в обобщенной задаче Суслова. В данной работе показано, что задачу Суслова можно свести к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь также приведены некоторые результаты исследования данной детерминированной системы. Также в работе исследуется динамика возмущенной системы, которая представляется собой систему двух стохастических дифференциальных уравнений Ито [9, 10]. Решение как детерминированной, так и возмущенной системы происходит численно с одним и тем же шагом интегрирования. Однако численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений существенным образом отличаются от методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробному исследованию методов численного интегрирования стохастических дифференциальных посвящены работы Д.Ф. Кузнецова [11-13] и ряд работ других авторов [14, 15]. Кузнецовым было показано влияние случайных возмущений на странный аттрактор Лоренца в модели конвективной турбулентности Лоренца, на динамику системы уравнений Ресслера, на моделирование чандлеровских колебаний. В данной работе сделана еще одна попытка исследования влияния случайных возмущений на динамику обобщенной системы Суслова. На основе численного интегрирования [16] построены фазовые траектории и графики искомых функций в случае как детерминированной, так и возмущенной системы. Описаны интересные динамические эффекты при переходе к возмущенной системе. 2. Математическая модель и уравнения движения Рассматривается система, состоящая из нескольких тел: - твердое тело с неподвижной точкой, которое не может вращаться в некотором фиксированном (относительно тела) направлении; - n материальных точек массами , движущихся внутри твердого тела по заданным законам рг- (t). Движение происходит в отсутствие внешних сил, материальные точки движутся так, что моменты инерции остаются постоянными. Для описания движения твердого тела введем две системы координат: - неподвижную систему координат OXYZ с центром в неподвижной точке O, которая является центром масс системы, и ортами а, в, у ; - подвижную систему координат Ox1 x2 x3 с центром в той же самой неподвижной точке O и ортами е^ e2, e3, выбранную так, чтобы твердое тело не могло вращаться в направлении вектора е3 = (0,0,1). Это условие будет иметь вид (1) (2) (ю, е3) = 0, где ю - угловая скорость твердого тела. Условие (1) перепишется как ю3 = 0. Кинетическая энергия всей системы определяется формулой где I(t) и k(t) - заданные тензор инерции и гиростатический момент. Исследование влияния случайных возмущений на динамику системы в задаче Суслова 19 Рис. 1. Механическая конструкция как реализация задачи Суслова Fiq.1. Mechanical design as an implementation of the Suslov problem Определенным расположением осей и добавлением вдоль этих осей маховиков, уравновешенных с помощью неподвижных масс, можно добиться того, чтобы тензор инерции имел только два недиагональных элемента: (I11 0 0 > 0 122 123 , (3) 1 0 123 I33 V а гиростатический момент имел вид k = (0,k2,k3), где Ii2, kt - периодические функции времени одного периода. Уравнения движения в подвижной системе координат, связанной с телом, могут иметь вид (Ію + k )=(Ію + k )x ю + Xe3, (4) где X - постоянная, которую можно определить из уравнения (4) с учетом равенства нулю третьей компоненты вектора угловой скорости. Тогда система уравнений для компонент (k>j , ю2) перепишется в виде (5) I11(® 1 = 123® 2 k3® 2, 122е® 2 = 123®1® 2 + k3®1 - k2. В случае I23 = 0 задача сводится к интегрированию неавтономной системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Случай I23 ф 0 более интересен. В этом случае с помощью замен 22 ® = - - V, VI11I; 22 23 ka)=- o(t), k3(t)=Л/лл7^(t), 23 Е.А. Микишанина 20 систему (5) можно привести к неавтономной нелинейной системе (6) v = и 2 + ¥ (t )и, и = -uv - ¥ (t )v - Ф (t). 3. Краткий обзор результатов исследования В работе [5] достаточно подробно была изучена динамика системы (6). Приведем в этом разделе результаты исследования с некоторыми дополнениями. Пусть функции Ф^) и ¥(t) заданы в виде Ф (t) = a sin(t) + b cos(t), ¥ (t) = с cos(t) + d sin(t), где a, b, c, d - заданные постоянные. В зависимости от значений параметров a,b,c,d отображения через период могут содержать неподвижные точки, инвариантные кривые, некомпактные притягивающие инвариантные кривые и странные аттракторы. Для системы также можно было построить фазовый портрет вместо отображения за период. Но в данном случае отображение нагляднее, нежели чем фазовый портрет. Виды некоторых отображений, содержащих аттракторы и некомпактные кривые, представлены на рис. 2. А: a = -0.2, b = 0.1, c = 4, d = 2 ; C: a = -0.4, b = 0.2, c = 1, d = 0.5 ; B: a = 0.1, b = 0.5, c = 0, d = 1; D: a = -0.2, b = 0.3, c = 1, d = 4 Рис. 2. Отображения Пуанкаре Fig.2. Poincare maps Исследование влияния случайных возмущений на динамику системы в задаче Суслова 21 Для уточнения сценария перехода к хаосу, например для отображения на рис. 2, С (далее будем также рассматривать возмущенную систему с параметрами a = -0.4, b = 0.2, c = 1, d = 0.5), построим карту динамических режимов (рис. 3), меняя значения постоянных d е [0,0.5], b е [-0.2,0.3]. b 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 d Рис. 3. Карта динамических режимов Fig. 3. Chart of dynamical regimes Цветные области соответствуют устойчивым циклам соответствующего периода (диаграмма соответствия цвета определенному периоду указана справа от рисунка). Черные области с цветными вкраплениями соответствуют областям, занятым, главным образом, хаосом. Именно, при значении параметров, соответствующих указанной области, можно ожидать появление странного аттрактора. Стоит отметить, что переход к области хаоса происходит через последовательную смену областей периодов 3-6-12 и 1-2-4-8. То есть очевиден каскад бифуркаций удвоения периода. Это один из классических сценариев перехода к хаосу в системе [17-19]. В этом случае можно говорить о фейгенбаумовской природе странных аттракторов в данной системе. Теперь рассмотрим, как на динамику системы будет влиять появление случайных возмущений в уравнении. Рассмотрим, какие эффекты можно наблюдать в этом случае. 4. Математическая модель возмущенной системы и численное интегрирование Систему (6) с учетом случайных возмущений можно записать в виде vt = ut2 + ^(t )ut + СТ1 (vt, ut, t) fl, (7) ut = ~utvt - ^(t)vt -

Скачать электронную версию публикации