On some embedding theorems for ideal structures.pdf Появлению теории вложения пространств способствовал ряд неравенств, полученных Г.Г. Харди [1], Ф. Риссом [2]. Сам термин «вложение», как и первые теоремы вложения для пространств дифференцируемых функций нескольких переменных были получены в работах академика С. Л. Соболева [3]. Дальнейшие результаты в этом направлении получены в работах академика С.М. Никольского [4], О.В. Бесова, В.П. Ильина [5]. Значительный вклад в теорию вложения сделан П.Л. Ульяновым [6] и Н.Т. Темиргалиевым [7]. Для пространств измеримых, в смысле Лебега, функций первые результаты были получены Г.Г. Лоренцем [8, 9], В. А. Люксембургом [10], Ж. А. Лионсом [11], Е.М. Семёновым, С.Г. Крейном и Ю.И. Петуниным [12-15], В.И. Колядой [16]. В статье [16] дана обширная литература по теоремам вложения измеримых, в смысле Лебега, функций. В фундаментальных трудах Х.Г. Трибеля [17, 18] собран огромный материал по теории вложения разных классов функций, содержатся результаты, полученные Х.Г. Трибелем, Е.М. Семёновым [12, 13] и В.А. Люксембургом [10]. Для симметричных пространств E было доказано вложение Ап А» с E с L + а». В [13] для общих идеальных структур приведено доказательство вложения E ^ А п А». Следует отметить, что ряд теорем вложения идеальных структур содержится в [19]. В данной работе для общих идеальных структур, включающих в себя симметричные пространства, доказано вложение E с А + А». Для достаточно широкого класса идеальных структур, включающих в себя симметричные пространства, доказано вложение Ап А» с E с А + А» . В терминах норм операторов растяжения и в терминах индексов Бойда [20] доказаны теоремы вложения для симметричных пространств с ограниченным, измеримым носителем. О некоторых теоремах вложения идеальных структур 31 В статье введено новое пространство M ф, которое называется обобщенным пространством Марцинкевича. Доказано вложение E с M ф , , E где фE (t) =11 Х[М](5) llE. 1. Предварительные сведения Определение 1. Функциональное банахово пространство E называется идеальной структурой, если из условий | x | < | у | , где x(t) - измеримая функция, а у(t) е E, следует, что x(t) е E и || x ||E < || у ||E . Определение 2. Ассоциированным пространством E1 для идеальной структуры E называется совокупность всех измеримых функций, носители которых содержатся в носителе E, для которых (см. [13, 19, 21]) || у ||E1 = sup J x(t)y(t) dt < да , IMIe =1q где Q - носитель пространства E, а интеграл понимается в смысле Лебега. Для простоты изложения под носителем будем понимать один из промежутков: (-да, + да), (0, + да), (0, a), хотя результаты легко переносятся на более общие пространства с мерой, т.е. пространства S(m, ц). Теорема 1 [13, 21]. Пусть U(t, т) - такая функция двух переменных t, т, что при каждом фиксированном t она, как функция т, принадлежит идеальной структуре E, функция || U(t, т) || - измерима по переменной t и выполняется соотношение J l|U(t, т)|ІЕ dt |< да . Q Тогда справедливо неравенство || J U(t, т) dt ||En < J ||U(t, т)||e dt, Q Q 11 1 1 где E = (E ) . Определение 3. Пусть S(0, да) - пространство всех измеримых по Лебегу функций, определенных на полуоси (0, да) и почти всюду конечных. Функцией распределения называется функция, определенная формулой для функции x (t) > 0 : Пx (т) = mes {t: x(t) > т}. Определение 4. Две неотрицательные функции x (t) и у (t) называются равноизмеримыми, если выполняется равенство П x(т) = П у(т). Е.А. Павлов, А. И. Фурменко 32 Рассматриваются только такие функции x (t) и y (t), для которых Пx (т) < ж, Ѵт е (0, ж), Пy (т) < ж, Ѵт е (0, ж). Определение 5. Перестановкой неотрицательной функции x(t) называется функция, определенная равенством X* (t) = inf {т: Пх (т) < t} . Определение 6. Функциональное банахово пространство на (0, + ж) с мерой Лебега называется симметричным [8, 10, 12], если: 1) из того, что у е E и | х | < | у | почти всюду на у е E, следует, что х(t) е E и || х ||E т-a. Теорема 2 [13, 22]. Оператор растяжения стт ограниченно действует в симметричном пространстве E . Определение 8. Пусть E - симметричное пространство. Верхним индексом Бойда [13, 20] называется число в E lim т-уж іПМе ln( т) Нижним индексом Бойда называется число а E lim т-0 іПІМе ln( т) Справедливо следующее неравенство: 0 < а e

Скачать электронную версию публикации