On an additive modification of the ?-property.pdf Впервые определение у-свойства топологического пространства X сформулировали Герлич и Надь в статье [1], где установили, в частности, что у-свойство X характеризует свойство Фреше - Урысона пространства Cp (X). Эта характеризация привела к естественному вопросу, будет ли топологическая сумма X 0 Y обладать у-свойством, если оба слагаемых им обладают (см., например, [2, задача II.3.10] или [3, problem 4.4.1]). Позднее Гэлвин и Миллер в предположении Аксиомы Мартина построили пример подмножеств X и Y вещественной прямой Ж., обладающих у-свойством, но таких, что X 0 Y не обладает у-свойством (см. [4]). Но остается нерешённым вопрос о нахождении такого примера без дополнительных аксиоматических предположений. Это стимулирует поиски аналогов у-свойства и исследования их поведения при стандартных топологических операциях ([5-7]). В данной статье мы вводим в рассмотрение ранжированный класс возрастающих по объему аналогов у-свойства и показываем, что взятие топологической суммы лишь увеличивает ранг, не выводя за пределы самого класса свойств. Также мы описываем поведение введенного класса свойств при основных топологических операциях и устанавливаем соотношение этого класса со свойством Линделёфа. Все топологические пространства предполагаются тихоновскими. Все рассматриваемые покрытия нетривиальны, то есть не содержат все топологическое пространство как элемент. О. О. Бадмаев 6 Определение 1. Скажем, что последовательность подмножеств п = {An }neffl пространства X сходится к X (пишем An - X), если произвольная точка х е X n-ю принадлежит всем членам последовательности п, начиная с некоторого (зависящего от х) номера. Определение 2. Семейство п подмножеств пространства X называется ю-покрытием этого пространства, если для каждого конечного множества K с X существует U еп, такое, что K с U . Определение 3 [1]. Пространство X называется у-пространством, если в любом его открытом ю-покрытии п можно найти последовательность Z = {Bn }пеш, такую, что Bn - X . n-ю Определение 4. Пусть п - произвольное семейство открытых подмножеств пространства X. Скажем, что п' является n-насыщенным семейством для п, если п' = {U Ui : Ui е п, m < n}. Скажем, что п' является насыщенным семейством i t0 имеет место О. О. Бадмаев 10 p(K) с Vt и Vtn с Ut е п . Таким образом, для произвольного конечного F с Xn имеем F с p(K)n с Vtn с Ut при всех t > t0. □ Замечание 18. Теорема 16, теорема 10 (б) и предложение 12 показывают, что «наивный» пример у-пространств X, Y, для которых сумма X Ѳ Y не является у-пространством, требует, чтобы пространство Y не могло быть получено из X конечным числом операций возведения в степень, перехода к замкнутому подпространству и к непрерывному образу. Теорема 19. Пространство X линделёфово тогда и только тогда, когда X является у® -пространством. Доказательство. Необходимость. Рассмотрим произвольное открытое ю -покрытие п пространства X. Так как X линделефово, то можем выбрать последовательность (Un )пею с п, покрывающую X. Легко доказать, что последовательность р. = {^Ц |n ею} сходится к X и состоит из элементов насыщенного сеi

Скачать электронную версию публикации