Left-invariant para-Sasakian structure on the Heisenberg group.pdf 1. Введение Среди трёхмерных групп Ли группа Гейзенберга является одним из наиболее известных и простых примеров в исследовании теории динамических систем, теории управления, субримановой геометрии, а также других нильпотентных групп [1-5]. В работах [6-8] на группе Гейзенберга и её многомерном аналоге исследуется левоинвариантная каноническая сасакиева структура. Кроме левоинвариантных контактных метрических структур на группах Ли изучаются и левоинвариантные параконтактные метрические структуры. В частности, в работах [9, 10] дана классификация левоинвариантных парасасакиевых структур на пятимерных группах Ли. В данной работе среди всех левоинвариантных параконтактных структур на группе Гейзенберга выделяется структура, аналогичная канонической сасакиевой структуре, фиксируя псевдориманову метрику, которая получается с помощью левых сдвигов из псевдоевклидовой, заданной в касательном пространстве единицы группы. Требуя инвариантность контактной формы относительно группы движений псевдоримановой метрики, однозначно определяются контактная структура и структурный эндоморфизм. Полученная таким образом левоинвариантная параконтактная метрическая структура является парасасакиевой. На группе Гейзенберга имеется единственная контактная метрическая связность с кососимметрическим кручением, инвариантная относительно группы автоморфизмов парасасакиевой структуры. Доказано, что обнаруженная связность является контактной метрической связностью для любого парасасакиева многообразия. Введено понятие связности, согласованной с распределением. Установлено, что на группе Гейзенберга, наделённой парасасакиевой структурой, связность Леви-Чивиты и контактная метрическая связность согласованы с контактным распреде- Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга 39 лением, а их контактные геодезические совпадают с геодезическими усечённой связности. Исследовано строение контактных геодезических. Полученные в работе результаты справедливы и для многомерной группы Гейзенберга. 2. Параконтактная метрическая структура Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности m = 2п +1. Контактной формой на M называется дифференциальная 1-форма п, удовлетворяющая условию n^(dn)n ^0 . Контактная форма п определяет вполне неголономное 2п-мерное распределение H = ker п, которое называется контактной структурой на M. Гладкое многообразие, наделенное контактной структурой, называется контактным многообразием. Контактное распределение H = ker п называется первым фундаментальным распределением, или горизонтальным, а 1-мерное распределение V = ker dп - вторым фундаментальным распределением, или вертикальным. Существует единственное векторное поле 4е V, такое, что п(4) = 1. Поле 4 называется характеристическим, или вектором Риба [11-12]. Параконтактной метрической структурой на контактном многообразии M называется четвертка тензорных полей (п, 4, ф, g), где п - контактная форма, 4 -вектор Риба, g - псевдориманова метрика, ф - структурный эндоморфизм модуля векторных полей на M. При этом требуется выполнение следующих условий [9]: ф2 = id -п®4; (1) dп(х,Y) = g(X,ф7); (2) g(фХ,фк) = -g(X,Y) + п(х)п(7). (3) Кроме того, предполагается, что ограничение J структурного эндоморфизма ф на контактное распределение H определяет на H паракомплексную структуру: J2 = id, собственные распределения которой H+ и H-, отвечающие собственным значениям ±1, имеют одинаковую размерность: dimH + = dimH- = п, а g (JX, JY) = -g (X, Y) для векторных полей X, Y е H . Ограничение псевдорима-новой метрики g на распределение H имеет сигнатуру (п, п). Нетрудно убедиться, что выполняются ещё и следующие равенства: п(4) = 1, d п( X, 4) = 0, ф(4) = 0, п ° ф = 0, g (X, 4) = ^X). (4) Параконтактная метрическая структура называется ^-контактной, если вектор Риба 4 является киллинговым. Нормальная параконтактная метрическая структура называется парасасакиевой. В работе [9] доказано, что параконтактная метрическая структура (п, 4, ф, g) является парасасакиевой тогда и только тогда, когда обращается в нуль следующий тензор: [ф, ф]( X, Y)- d п( X, Y )4 = 0, (5) где [ф,ф](X,Y) = ф2 [X,Y] + [pX,фY]-ф[фX,Y]-ф[Г,фY] - кручение Нейенхейса. В. И. Паньженский, А. О. Растрепина 40 Если M - группа Ли, то естественно рассматривать левоинвариантные параконтактные метрические структуры. Параконтактная метрическая структура называется левоинвариантной, если левоинвариантны определяющие её тензорные поля п, %, ф, g . 3. Парасасакиева структура на группе Гейзенберга Среди групповых трехмерных многообразий Тёрстона имеется нильпотентная группа Ли вещественных матриц вида (1 y z А Nil = (x,y,z)е R3 Данную группу называют также группой Гейзенберга. Левые сдвиги на группе Nil определяются следующими формулами: x = x + Cj, y = y + c2, z = z + c2 x + c3. (6) Дифференцируя (6) по параметрам cj, c2, c3, находим левоинвариантные векторные поля на Nil - базис её алгебры Ли Xj =dj, X2 =d2 + xd3, X3 =d3, (7) где dj д „ d „ -, д 2 = -, d3 dx dy d_ dz естественный базис векторных полей на группе Nil. В касательном пространстве единицы группы рассмотрим псевдоевклидову метрику ds2 = dx2 - dy2 + dz2 и сдвинем её в произвольную точку (x, y, z). Так как dx = dx , dy = dy, dz = dz - c2 dx , то ds2 = dx2 - dy 2 +(dz - c2dx)2. Поскольку единица группы e (0, 0, 0) сдвигается в точку (x, y, z), то с2 = y . Опуская черту над произвольной точкой, получаем следующую инвариантную псевдориманову метрику: ds2 = dx2 - dy2 +(dz - ydx)2 . (8) Теорема 1. На группе Гейзенберга существует единственная левоинвариантная параконтактная метрическая структура с псевдоримановой метрикой (8), инвариантная относительно группы движений, причем эта структура является пара-сасакиевой. Доказательство. Хорошо известно, что размерность группы движений трехмерного риманова или псевдориманова пространства с непостоянной кривизной не превосходит четырех. Чтобы выяснить, допускает ли метрика (8) кроме операторов сдвигов (7) и оператор вращения, необходимо проинтегрировать уравнения инвариантности (уравнения Киллинга) хР д pgij +d,xPgpj +д jXPg,p = °. Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга 41 Для метрики (8) общее решение этих уравнений имеет следующий вид: X1 = c4y + c1, X2 = c4x + c2, X3 = c2x + 2 c4 (x2 + y2 ) + c3, где cj, c2, c3, c4 - произвольные постоянные. Это означает, что размерность группы движений равна четырем, причем постоянным cj, c2, c3 соответствуют левоинвариантные векторные поля (7), а постоянной c4 - оператор вращения X4 = ydj + xd2 + 2 (x2 + у2 ). (9) Интегрируя уравнения левоинвариантности дифференциальной 1-формы xад рПі+diXa n p=0 a=1,4 относительно векторных полей (7) и (9), находим, что ц = с (-ydx + dz), где c = const Ф 0 . Так как d n = cdx a dy и па d n = с2 dx a dy Adz Ф 0, то форма n является контактной, а поскольку n и cn определяют одну и ту же контактную структуру, то полагая c = 1, имеем искомую контактную форму n = -ydx + dz . (10) Из условий dn(X,|) = 0 и n(|) = 1 следует, что векторное поле Риба имеет вид 5 = дз. (11) Структурный эндоморфизм ф теперь однозначно определяется условием (2). Действительно, в координатах имеем откуда Так как d n = gip ф p, фР = gksd nsl. то gj = ' 1+y2 0 ' 1 0 y ' ' 0 1 0N 0 -1 0 II •І* 0 -1 0 II 3S -1 0 0 v -y 0 1 V v y 0 1 + y2 V V 0 0 0 V ' 0 1 0 > Фк= 1 0 0 V 0 y 0 V (12) Условия (1) и (3) в координатах имеют вид k р я-к ФрФр =8і -ПіI , gps ФрФ°, =- gj +Пі n j и легко проверяются. Так как, очевидно, g = 0 , то параконтактная структура является k-контактной. Более того, данная структура является парасасакиевой. Действительно, условие (5) в координатах имеет вид Фрдрфк -ФРдрФР +ФРd jФр -ФкрдіФр -(dП) |k = 0, В. И. Паньженский, А. О. Растрепина 42 и для параконтактной метрической структуры (q, §, ф, g) (10) - (12) и (8) выполняется тождественно. ■ Так как группа движений псевдоримановой метрики (8) сохраняет контактную форму п, а следовательно, и 4, то она сохраняет и эндоморфизм ф, т.е. группа движений является группой автоморфизмов парасасакиевой структуры. 4. Контактная метрическая связность Линейная связность V называется контактной метрической связностью [13], если в этой связности контактная форма п и метрический тензор g ковариантно постоянны: Vq = 0, Vg = 0 . Из Vq = 0 следует, что связность V необходимо имеет кручение, а из Vg = 0 следует, что ковариантный тензор деформации T связности Леви-Чивиты V кососимметричен по последним двум аргументам. Если тензор T кососимметричен по всем своим аргументам, то имеем связность с кососимметрическим кручением. В этом случае T = - S и где Гij - коэффициенты контактной метрической связности V, Гk - коэффициенты связности Леви-Чивиты, Sk - компоненты тензора кручения, а Sijk = Sjgkp - кососимметричны по всем индексам и, следовательно, определяют дифференциальную 3-форму - форму кручения. Теорема 2. На группе Гейзенберга с левоинвариантной парасасакиевой структурой существует единственная контактная метрическая связность V с кососимметрическим кручением. Эта связность инвариантна относительно группы автоморфизмов парасасакиевой структуры и определяется следующей формулой: g (xY , Z ) = g (VXY, Z ) + - dq(X, Y )Aq(Z ). (13) Доказательство. Так как gkpq =^k и Sk = Sijpgkp, то условие ковариантно-го постоянства контактной формы в связности V примет вид V i п j = д, q j- Г v qk = д,п j- rij qk- 1 Sjk t =0, (14) где Г 1 ^ 0 2У 0 Г 1 y 0 -- Г 1 2 ^ 0 2(y2-i) 0 II •-1 ^ 2у 0 -i 2 2 0 -- 0 1 2 V Г2 = ’ V s о о о о О rtlN 1 У Г3- = ’ V 1 2 і - (y2-1) 0 -у 2 2 0 -2у 0 V 2 V Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга 43 - коэффициенты связности Леви-Чивиты псевдоримановой метрики (8). Если индексы i, j принимают значения (1, 1), (2, 2), (3, 3), а также (1, 3) и (2, 3), то левая часть в (14) тождественно равна нулю. Если i = 1, j = 2 или i = 2, j = 1, то 1 2 = 0 1 или - 2 + S. 213 = 0, откуда следует, что S123 = S231 = S312 = S213 = S321 = S132 = 1. Таким образом, S = dx л dy л dz = (d п)лг|, откуда следует, что связность V определяется формулой (13). Так как в силу перестановочности внешнего дифференцирования и дифференцирования Ли, 2-форма dn инвариантна относительно группы автоморфизмов, то инвариантен и тензор кручения и, следовательно, инвариантна и связность V . ■ ~ к Вычислительная формула для коэффициентов Г j контактной метрической связности V имеет вид Г j = 2 gkp {digp] + д ( - д pgj +(d п л n)). Компоненты тензора кручения и связности V определяются следующими матрицами: S1 = (о -у о ( о о ( о -(1+у2) 1+у2 о 0 ^ 1 S2 = Sij = S3 = Sij = Л Гц = -1 0 У 1 -1 0 0 у V 0 -у 0 у (0 у 0 > - 2 , Г j = (у 0 0 > ' 0 у2 0 ^ 0 0 0 0 0 0 , А- = -1 0 0 10 -1 0 у 1 -1 0 0 у 0 V -у 0 у Заметим, что в связности V все структурные тензоры парасасакиевой структуры ковариантно постоянны. Теорема 3. Линейная связность V, определённая формулой (13), является контактной метрической связностью для любого парасасакиева многообразия. Доказательство. Так как связность V имеет кососимметрическое кручение, то она является метрической. Известно (см., например, [11, 12]), что на контактном многообразии существует атлас Дарбу, в каждой карте которого контактная форма n имеет вид n = -x”+1dx1 -...-x2ndxn +dxm . В координатах Дарбу dn = dx1 лdxn+1 +... + dxn лйх2" , £, = дт. В. И. Паньженский, А. О. Растрепина 44 Найдем ковариантную производную от контактной формы Vіnj = дгnj -Гjпк = діЦj -2 gkp (gp +d}.gip-dpgi}.) -)Sypgpk2k = = дг 2j (дг( + д jgim - дmgj )-) )m ■ Так как (dnAn)ijm = 0, а nm = 1, то Sijm =(dп). ■ Поскольку парасасакиева структура является к-контактной, то вектор 4 является киллинговым и, следовательно, уравнения Киллинга е д^г] +д&^,,;+д. eg*=о обращаются в тождество, откуда следует, что дmgij = 0. Теперь ковариантная производная от формы п примет вид Vi2 j = дг2 j - 2{^^rgmj +д jgim )- |(d2)1] ■ Из условия (3) следует, что g (X, Y ) = -h (X, Y ) + n( X )n(Y), где h (X, Y) = g (фХ, фY). Структурный эндоморфизм определяется условием (2), поэтому hy = gSpФг Фp = gSpgSl (dn)ti gpk (dn)ki ■ Но (dn)im = 0 , тогда и him = 0 , следовательно, gmj = nm2j = 2j , gim = 2i 2m = 2i, и Vinj = діnj -2(inj +дj2i)-\\(nj -дj2i) = 1 д 1 д 1 д 1 д = 2 дгn j - 2д jПі - 2 дгn j + 2д jПі = °- ■ Замечание 1. Из доказательства данной теоремы следует, что связность V является контактной метрической для любой к-контактной параконтактной метрической структуры. 5. Связность, согласованная с распределением. Геодезические Пусть M - гладкое и-мерное многообразие и Н - распределение на M, т.е. совокупность {Н } r-мерных подпространств касательных пространств TpM , гладко зависящих от p е M ■ Линейную связность V назовём согласованной с распределением Н, если через каждую точку p в каждом касательном направлении vp е Н проходит единственная геодезическая, касающаяся распределения Н. Такие геодезические назовём контактными геодезическими связности V . Пусть g - (псевдо) риманова метрика на M, V - связность Леви-Чивиты. Ортогональная проекция V связности V на распределение Н называется усеченной Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга 45 связностью [1, 2]. В неголономной механике считается, что механическая система с лагранжианом L и неголономным распределением H на конфигурационном пространстве движется по траектории, которая, вообще говоря, не является решением вариационной задачи на минимум. В [1] доказано, что траектории движения такой системы с квадратичным лагранжианом являются геодезическими усеченной связности. Теорема 4. На группе Гейзенберга, наделенной парасасакиевой структурой (n, |, ф, g), связность Леви-Чивиты V является связностью, согласованной с контактным распределением H = ker n, а её контактные геодезические совпадают с геодезическими усечённой связности V . Доказательство. Рассмотрим неголономное поле реперов {p, et}, адаптированных к структуре почти произведения H Ѳ V : e1 =д1 + yd3 , e2 = d2 , e3 = d3 , где первые два векторных поля e1 , e2 принадлежат контактному распределению H, а e3 =| принадлежит распределению V. Разложения коммутаторов координатных векторных полей [ei,ei ] = j являются структурными уравнениями поля реперов {p, ei}, а коэффициенты разложения Ц определяют объект неголономности. Для рассматриваемого поля реперов имеем [eU e2 ] = -e3 , [el, e3 ] = 0, [e2 , e3 ] = 0. Таким образом, Ц32 = -Щ = -1, остальные компоненты равны нулю. Дуальный реперу {p, ei} корепер {р, Ѳ1} определяется условием Ѳ1 (ei ) = 5/, откуда следует, что Ѳ1 = dx , Ѳ2 = dy, Ѳ3 = -ydx + dz . Репер {p, ei} является ортонормированным относительно псевдоримановой метрики (8): e • e- = 0, ej2 = 1, e2 =-1, e^ = 1, поэтому в этом репере метрика (8) имеет стандартный вид g(X,x) = xl2 -x22 + X3\\ где X1 - неголономные координаты вектора X = X1 ei. Вычислим неголономные коэффициенты ук связности Леви-Чивиты V: Ve e- =уkjek . Применяя известную вычислительную формулу (см., например, [14]), находим, что Y к = 18- (( + Ц б,, + j ), где 5- = 511 = 0, если i Ф j, 511 = 533 = SX1 = 533 = 1, а 522 = 522 = -1. Имеем следующие ненулевые коэффициенты связности V : В. И. Паньженский, А. О. Растрепина 46 1 1 1 2 2 1 3 3 1 У23 ~Уъ2 = 2’ Y13 _Уз1 = 2’ Y12 = У21 = 2' Ортогональная проекция связности V на контактное распределение, т.е. усечённая связность V определяется коэффициентами у|: Ve^j = yjek, где у| =у j (i, j,k = 1’2), поэтому Ѵе.е}- = 0. Горизонтальная кривая у: xi = xi (s) (x1 = x, x2 = y, X = z, s - естественный параметр) называется горизонтальной геодезической, если она является геодезической относительно усечённой связности V : Ѵуу = 0, где у - поле касательных векторов кривой y. Пусть X (i = 1,3) - естественные координаты поля у : у = XX ді, а V (i = 1,2) - неголономные координаты поля у в базисе {ex, е2} : у = v1ei. Так как VY У = vi Ve, (vkek) = Vei (vk ) ek + VX V e,ek = V ег (vk ) ek, то уравнения геодезических примут вид Ve, (vk) = О. (15) Переписав уравнения (15) в естественных координатах, получим дифференциальные уравнения геодезических усечённой связности V : d 2 x ds2 _ d2 y „ dz dx = 0, -Xr = 0, - = yds ds ds (16) Интегрируя уравнения (16), находим параметрические уравнения геодезических 12 x = a1s + b1, y = a2s + b2, z = -jala2s + alb2s + b3. (17) Дифференциальные уравнения геодезических связности Леви-Чивиты имеют вид d2 x + dx dy dy dz 0 ds2 ds ds ds ds 22 d y ( dx \\ dx dz -+y1 1 = 0, d 2 z ds 2 ds2 V ds J ds ds 2 dx dy dy dz +(y -1)---y-- = 0' ds ds ds ds dz dx Для контактных геодезических - = y-, поэтому они определяются следующей ds ds системой: откуда d2 x = 0 d2 y = 0 d 2 z dx dy = 0 ds2 ds2 x = a1s + b1, y = a2s + b2, ds2 ds ds 1 z = 2 a1a2 s + a3 s + b3. Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга 47 Но - = a1a2s + a3 =(a2s + b2 )a1, поэтому a3 = a1b2, и, следовательно, контактные ds геодезические связности V совпадают с геодезическими усеченной связности V . ■ Замечание 2. Контактная метрическая связность V с кососимметрическим кручением имеет такие геодезические, что и связность Леви-Чивиты V. Оказывается, что и проекции связностей V и V совпадают. Действительно, так как d'цл'ц = Ѳ1 лѲ2 лѲ3, то имеем следующие ненулевые компоненты Sj = 6ksSjs (б22 = -l) тензора кручения S: S*12 = S 23 = -S31 = 1, S'21 = S 32 = -S13 = -1. Так как у k = у k + 1 §k, то Y 31 = y32 = -1, остальные нули, то Vef e■ = 0 (i, j = 1,2), т.е. V = V. Таким образом, контактная метрическая связность V также согласована с контактным распределением, и её контактные геодезические совпадают с геодезическими усеченной связности V = V. Заметим, что Vq = 0, а Vq Ф 0 . Примером связности, несогласованной с контактным распределением, может служить полусимметрическая связность, определенная контактной формой (10) и метрическим тензором (8). При исследовании строения контактных геодезических, в силу левоинвариантности парасасакиевой структуры и связности V , можно ограничиться геодезическими, выходящими из единицы группы (18) 1 х = ajS, y = a2 s, z = - a,a9 s. 212 Кроме того, мы отождествим группу Гейзенберга Nil с R3, поставив в соответствие каждой матрице из Nil с определяющими элементами х, y, z точку (х, y, z) е R3, при этом ортонормированному реперу {p, ex, e2, е3} в единице группы будет соответствовать репер {O, i, j,k} в R3, где O = (0,0,0), i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Этот репер является ортонормированным относительно стандартной евклидовой метрики рЕ в R3. Контактной плоскости в единице группы соответствует координатная плоскость Оху . Единичный вектор а (aj, a2) этой плоскости определяет направление геодезической. Обозначим направленный угол между i и а через Ѳ . Тогда уравнения геодезических (18) примут вид х = s cos у = s sin Ѳ, cos Ѳ sin Ѳ. (19) Если cos Ѳ sin Ѳ Ф 0, первые два уравнения (19) в плоскости Оху определяют прямую l с направляющим вектором а, а третье уравнение - параболу в плоскости Olz. Если cos Ѳ sin Ѳ = 0, то при sin Ѳ= 0 геодезической является ось Ох, если cosѲ = 0 , то ось Оу. При малых Ѳ sinѲ^0, коэффициент cosѲsinѲ >0 мал и В. И. Паньженский, А. О. Растрепина 48 ветви параболы расположены в подпространстве z > 0 и парабола мало отличает ся от прямой Ox. С возрастанием Ѳ это различие растёт и при Ѳ = - достигает 4 п п своего максимума. При Ѳ> - происходит «распрямление» параболы и при Ѳ = - 4 2 п cosѲ=0 парабола «превращается» в прямую Oy. При Ѳ> - ветви параболы «опускаются вниз» (z < 0). С увеличением Ѳ парабола становится «круче», достигает своего максимума при Ѳ = -, затем опять распрямляется и становится прямой Ox при Ѳ = п . Далее ветви параболы опять поднимаются вверх. В третьем координатном угле (п

Скачать электронную версию публикации