About fc-nil-good formal matrix rings.pdf 1. Кольца формальных матриц Все кольца в статье - ассоциативные с единицей; M(t, R) обозначает кольцо всех (t x 0-матриц над кольцом R, а U(R) - множество всех обратимых элементов кольца R. Через Z обозначаем кольцо целых чисел; ■ - символ конца доказательства либо его отсутствия. Кольцам формальных матриц посвящено много работ (см., напр., [1-9]). Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц появились благодаря работе Мориты [10], в которой он ввел объект, впоследствии названный контекстом Мориты. Под контекстом Мориты понимается набор (R, M, N, S, ф, ф), в котором R и S -кольца, rMs и sNr - бимодули, а ф: M®SN ^ R и ф: N ®R M ^ S - бимодульные гомоморфизмы, для которых при всех m, m’ e M и n, n’ e N выполнены соотношения ассоциативности ф^ ® n) • m’ = m • ф(п ® m’ ) и ф(п ® m) • n’ = n • ф^ ® n’ ). Наборы такого вида возникли при изучении контравариантных функторов D1 18 Норбосамбуев ЦД., Тимошенко Е.А. О k-ниль-хороших кольцах формальных матриц и D2 между категориями модулей Mod-R и Mod-S, таких что выполнено D\\D2 ~ IdMod-R и D2 D\\ и IdMod-s (позже Морита установил, что на самом деле это функторы Hom). С историей развития направления, связанного с контекстами Мориты, можно познакомиться в обзорной работе [6]; там же приведены ссылки на наиболее важные работы по этой теме. Если дан контекст Мориты, то можно построить кольцо контекста Мориты (мы будем называть его также кольцом формальных матриц второго порядка) K, состоящее из всех матриц вида ( r m 'Л X = 1 I, где r e R, m e M, n e N, s e S, (1) I n s I и снабженное поэлементным сложением и умножением, задаваемым правилом r m'Л (r' т’Л (rr' +ф(т ® n') rm'+ ms’ n s J ^ n' s'J ^ nr' + sn' \\y(n ® m') + ss' Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц можно перенести на случай произвольного порядка t > 2. Пусть R1, R2, ..., Rt - некоторые кольца иMij- Ri-Rj-бимодули, где i,j e {1, 2, ..., t}, такие, чтоМц = Rt. Далее, пусть для каждой тройки индексов i,j,k e {1, 2, ..., t} через ф^ обозначен бимодульный гомоморфизм ®R Mjk ^ Mik , причем фй£ и фі-kk совпадают с каноническими изоморфизмами Ri ®^Mjk ^ Mik и Mik ®R Rk ^ Mik соответственно. Для краткости элемент ф^(а ® b), где a e Му и b e Mjk, будем обозначать через ab. Как и для колец формальных матриц второго порядка, мы требуем выполнения соотношений ассоциативности (ab)c = a(bc) для всех a e Mtj, b e Mjk и c e Мы. Множество (r1 m12 • • m1t K = • m21 r2 • • m2t rie Ri, me Mij ч mt1 mt2 • • rt J (2) всех матриц со значениями в бимодулях Mij относительно поэлементного сложения и умножения, определяемого с помощью гомоморфизмов фук, образует кольцо, которое мы будем называть кольцом формальных матриц порядка t. 2. Аддитивные задачи в кольцах В работе [11] введены понятия k-хорошего элемента и k-хорошего кольца: Определение 2.1. Пусть k - натуральное число, большее 1. а) Элемент кольца называется k-хорошим, если его можно представить в виде суммы k элементов, обратимых в этом кольце. б) Кольцо R называется k-хорошим, если все его элементы k-хорошие. в) Если кольцо R не является k-хорошим ни для какого значения k, но каждый элемент из R является k-хорошим для подходящего значения k, то будем говорить, что R - охорошее кольцо. 19 Математика / Mathematics Замечание. Несложно видеть, что если кольцо R является k-хорошим, то оно будет и (k + /)-хорошим для всякого натурального j. Поэтому имеет смысл говорить о минимальном k, для которого R есть k-хорошее кольцо. Кольца, аддитивно порождаемые своими обратимыми элементами, - известная и достаточно хорошо изученная тема; хороший обзор дан в [12]. Отдельно выделим статью Хенриксена [13], в которой он показал, что кольцо M(t, R), где t > 2, будет 3-хорошим вне зависимости от свойств кольца R. Независимо от Хенриксена в работе [14] Крылов установил, что кольцо M(t, R) всегда является 4-хорошим. Упомянем также работы [7-9], в которых свойство хорошести рассматривалось для колец формальных матриц и отдельных формальных матриц. В 1977 г. Николсон [15] ввел понятие чистоты для колец и их отдельных элементов: Определение 2.2. а) Элемент кольца называется чистым, если он представим в виде суммы идемпотента и обратимого элемента. б) Кольцо называется чистым, если все его элементы являются чистыми. Работа Николсона послужила отправной точкой для дальнейших исследований чистоты. Так, в [16, 17] описываются некоторые классы абелевых групп, имеющих чистые кольца эндоморфизмов. В статье [18] Сяо и Тун рассматривали следующее обобщение понятия чистоты: Определение 2.3. Пусть k - натуральное число. а) Элемент кольца называют k-чистым, если его можно записать в виде суммы идемпотента и k обратимых элементов. б) Кольцо R называют k-чистым, если все его элементы k-чистые. В статье [19] появилось еще одно понятие, связанное с чистотой: Определение 2.4. а) Элемент кольца называется ниль-чистым (сильно нильчистым), если он представим в виде суммы идемпотента и нильпотентного элемента (соответственно суммы коммутирующих между собой идемпотента и нильпотентного элемента). б) Кольцо называется ниль-чистым (сильно ниль-чистым), если все его элементы являются ниль-чистыми (соответственно сильно ниль-чистыми). Заметим, что всякое ниль-чистое кольцо является чистым (чистое разложение произвольного элемента x легко получить из ниль-чистого разложения элемента x - 1). Обратное неверно: так, поле Z/3Z является чистым кольцом, но не является ниль-чистым. Отталкиваясь от статей [15, 19], Кэлугэряну и Лам [20] дали следующее определение: Определение 2.5. а) Элемент кольца называется изящным, если он представим в виде суммы нильпотентного и обратимого элементов. б) Кольцо R называется изящным, если все его ненулевые элементы изящны. В той же работе [20] было, в частности, установлено, что все изящные кольца являются простыми. Обобщая свойство изящности, Данчев в статье [21] следующим образом определил свойство ниль-хорошести для колец и их элементов: Определение 2.6. а) Элемент кольца называют: - ниль-хорошим, если он представим в виде суммы нильпотентного элемента и элемента, который обратим либо равен 0; 20 Норбосамбуев ЦД., Тимошенко Е.А. О k-ниль-хороших кольцах формальных матриц - сильно ниль-хорошим, если его можно представить в виде суммы нильпо-тентного элемента и элемента, который обратим либо равен 0, причем эти два элемента коммутируют между собой; - уникально ниль-хорошим, если он либо нильпотентен, либо единственным образом представим в виде суммы нильпотентного и обратимого элементов. б) Кольцо называют ниль-хорошим (сильно ниль-хорошим, уникально ниль-хорошим), если все его элементы являются ниль-хорошими (соответственно сильно ниль-хорошими, уникально ниль-хорошими). Несложно видеть, что всякое изящное кольцо является ниль-хорошим, однако обратное неверно. Например, кольца классов вычетов Z/2lZ, где l > 2, являются ниль-хорошими, но не изящными. Класс ниль-хороших колец оказался более содержательным по сравнению с изящными кольцами несмотря на то, что различия между определениями 2.5 и 2.6 на первый взгляд кажутся незначительными. Наконец, в работе [22] было введено понятие 2-ниль-хорошести: Определение 2.7. а) Элемент кольца называют 2-ниль-хорошим, если он представим в виде суммы нильпотентного элемента и двух обратимых элементов. б) Кольцо называют 2-ниль-хорошим, если все его элементы 2-ниль-хорошие. Несмотря на название, 2-ниль-хорошие кольца служат обобщением скорее для изящных колец, чем для ниль-хороших: так, кольца Z/2lZ, где l > 1, ниль-хорошие, но не являются 2-ниль-хорошими. С другой стороны, в [20] было показано, что всякое изящное кольцо, не изоморфное полю Z/2Z, является 2-хорошим (а значит, оно является и 2-ниль-хорошим). 3. А-ниль-хорошие формальные матрицы В [22] было найдено достаточное условие, при котором кольцо формальных матриц второго порядка является 2-ниль-хорошим: Теорема 3.1 [22]. Пусть K - это кольцо формальных матриц, соответствующее контексту Мориты (R, M, N, S, ф, ф). Если кольца R и S являются 2-ниль-хорошими, то и K - 2-ниль-хорошее кольцо. ■ Применяя индукцию, можно получить отсюда Следствие 3.2 [22]. Если R - 2-ниль-хорошее кольцо, то кольцо M(t, R) также будет 2-ниль-хорошим при любом t. ■ По аналогии с [18] введем следующее обобщение свойства 2-ниль-хорошести для колец и их элементов: Определение 3.3. Пусть к - натуральное число, большее 1. а) Элемент кольца назовем к-ниль-хорошим, если его можно представить в виде суммы одного нильпотентного и к обратимых элементов. б) Кольцо R назовем к-ниль-хорошим, если все его элементы к-ниль-хорошие. в) Если кольцо R не является к-ниль-хорошим ни для какого к, но каждый элемент из R является к-ниль-хорошим для подходящего к, то будем говорить, что R есть ю-ниль-хорошее кольцо. Пример 3.4. Кольца Z/2lZ, где l > 1, являются ю-ниль-хорошими. Ясно, что если кольцо R является к-хорошим, то оно будет и к-ниль-хорошим. Предложение 3.5. Если кольцо R является к-ниль-хорошим, то оно является и (к + ^-ниль-хорошим для всякого натурального j. 21 Математика / Mathematics Доказательство. Достаточно доказать, что R является (к + 1)-ниль-хорошим кольцом. Действительно, для всякого x е R мы можем записать элемент x - 1 как сумму одного нильпотентного и к обратимых элементов. В этом случае элемент x = (x - 1) + 1 будет суммой одного нильпотентного и к + 1 обратимых элементов, что и требовалось. ■ В статье [23] было показано, что существует подкольцо R поля рациональных чисел, которое является к-хорошим кольцом для достаточно большого к, но не является 2-хорошим кольцом. Естественно, такое кольцо R служит также примером к-ниль-хорошего кольца, которое не является 2-ниль-хорошим. Докажем следующий технический факт. Лемма 3.6. Пусть K - кольцо формальных матриц порядка t, заданное равенством (2). Если X е K - треугольная матрица, на главной диагонали которой стоят элементы, обратимые в соответствующих кольцах Ri, то X е U(K). Доказательство. Заметим, что кольцо вида (2) можно естественным образом представить в виде кольца, соответствующего контексту Мориты (R, M, N, S, ф, ф), такому что R есть кольцо формальных матриц порядка t - 1 и S = Rt. Поэтому достаточно будет доказать утверждение леммы для матрицы X вида (1), такой что r е U(R), s е U(S) и хотя бы один из элементов m и n равен 0 (после этого справедливость леммы легко устанавливается с помощью индукции). Положим E = Y = r 1 1 - s nr - r lms ^ s очевидно, что E - единичный элемент кольца K. Имеем XY = = E. rr 1 -ф(т ® s ynr nr- - ss ~xnr- - rr lms 1 + ms 1 ss-1 - y(n ® r ~xms~1) ^r 1r - ф(г lms 1 ® n) - s~ynr_1r + s-1n YX = =E r 1m r 1ms 1s s 1s - y(s 1nr 1 ® m) J (в этих равенствах мы воспользовались тем, что все значения аргументов, к которым применяются ф и ф, равны 0, так как m = 0 или n = 0). Таким образом, Y = X-1 иX е U(K). ■ Теперь можно обобщить теорему 3.1 на случай формальных матриц порядка t > 2 и к-ниль-хороших колец: Теорема 3.7. Кольцо K формальных матриц порядка t, заданное условием (2), является к-ниль-хорошим (где к > 2), если все кольца Ri, R2, ..., Rt сами являются к-ниль-хорошими. Доказательство. Пусть матрица X е K имеет вид, указанный в равенстве (2). Поскольку R1, R2, ..., Rt - к-ниль-хорошие кольца, то для всякого i е {1, 2, ..., t} можно записать ri = yi + ui1 + ul2 + ui3 ... + иік, где yi - нильпотентный элемент из Ri и uij е U(Ri) при всехj е {1, 2, ., к}. Полагая ии 0 .. 0 ^ u12 m12 ■ . m1t" U = m21 u21 .. 0 , U 2 = 0 u22 . . m2t v mt1 mt2 .. ut1 J ,0 0. . ut2 j 22 Норбосамбуев ЦД., Тимошенко Е.А. О k-ниль-хороших кольцах формальных матриц f X 0 . . 0 1 f uu 0 . . 0' N = 0 >2 . . 0 , Uj = 0 U2 j . . 0 v0 0. . Уі J 0 V 0. . u і J (гдеj е {3, 4, ..., к}), имеемX = N + U\\ + U2 + U3 + ... + Uk. Очевидно, что матрица N является нильпотентным элементом кольца K и в силу леммы 3.6 для каждого j е {1, 2, ..., к} выполнено Uj е U(K). Теорема доказана. ■ С учетом предложения 3.5 получаем такое следствие: Следствие 3.8. Пусть кольцо K формальных матриц порядка t задано равенством (2). Если кольцо Ri является ki-ниль-хорошим для всякого i е {1, 2, ..., t}, то кольцо Kявляется к-ниль-хорошим, где к = max(k1, к2,...,kt). ■ Теорема 3.7 позволяет также обобщить следствие 3.2: Следствие 3.9. Если R - к-ниль-хорошее кольцо, то кольцо M(t, R) также будет к-ниль-хорошим при любом t. ■ Заметим, что утверждения теоремы 3.7 и следствия 3.9 нельзя обратить: Пример 3.10. Рассмотрим кольцо M(2, Z/2Z); пусть E - единичная матрица. Всякий элемент кольца можно представить в виде суммы двух обратимых: 0 0 1 f 0 11 f 1 11 f 1 11 f1 01 f0 1 = --E + E, I 1 = 1 = = | 1 + I 0 0 J V0 0 J V0 1J I0 0 J V1 1J V1 1 f1 11 I f 0 11 f1 11 f 0 1l f1 1l f 0 11 E-- = 1 + 1 1, I h =E+| I, fI 1 = E + I Vi 0j V1 1J, u 0J 11 1J, u 1J V 1 0 (представления остальных десяти матриц из M(2, Z/2Z) получаются аналогично). Поэтому M(2, Z/2Z) - 2-хорошее кольцо, а значит, оно является к-ниль-хорошим кольцом для любого значения к > 2. При этом очевидно, что само поле Z/2Z не является к-ниль-хорошим кольцом ни для какого к > 2.

Скачать электронную версию публикации