Inhomogeneous Poiseuille flow.pdf Введение Движение жидкости, индуцируемое градиентом (изменением) давления на границах слоя, впервые было описано практически одновременно Хагеном и Пуа-зейлем [1-3]. В литературе, посвященной гидродинамике и ее приложениям, нет единства по терминологии названия такого движения жидкости [4]. Выводы Пуазейля о пропорциональности расхода жидкости четвертой степени радиуса (диаметра) трубы основывались на более тщательно разработанной методике и широте эксперимента, на точности наблюдений [4]. Термин «течение жидкости Хагена-Пуазейля» используется в основном в гемодинамике человека и животных [5, 6]. Точное решение Пуазейля является отправной точкой для описания ламинарного движения в трубах произвольного поперечного сечения [7-9]. Оно широко используется в задачах гидродинамической устойчивости для объяснения возникновения турбулентности при высоких значениях числа Рейнольдса [10-17]. Аналогичные исследования справедливы при изучении движений проводящих жидкостей и сред с неньютоновской реологией [18, 19]. Кроме того, использование профиля Пуазейля необходимо при моделировании течений жидкости в геофизической гидродинамике. Вращение жидкости и наличие градиента давления приводят к неожиданным эффектам при крупномасштабных течениях [20, 21]. Отдельно отметим, что именно точное решение Пуазейля фактически породило семейство точных решений Остроумова-Бириха для описания конвективных потоков в точной постановке [22, 23]. В настоящее время точное решение Остроумова-Бириха, примененное для описания однонаправленных потоков, используется для двумерных и трехмерных течений [20, 24-35]. В последнее время начат цикл исследований переопределенных систем уравнений в частных производных, которые получены после редукций уравнений 69 Механика / Mechanics Навье-Стокса для несжимаемых жидкостей, движущихся в различных силовых полях [36-38]. Особый интерес представляют изобарические пространственно неоднородные течения жидкости типа Куэтта [39, 40]. В статьях [36-38, 40] были получены нетривиальные точные решения переопределенной системы уравнений Навье-Стокса и изучены их свойства. Показано, что точными решениями размерности «два с половиной» (две компоненты вектора скорости зависят от трех координат) можно осуществлять моделирование течений в экваториальной зоне Мирового океана. Учет градиентов давления при заданном трении (касательных напряжениях) на границе атмосферы и океана позволил исследовать противотечения в жидкости, вызванные вторичными градиентными потоками [41]. В данной статье предлагается восполнить пробел и исследовать неоднородные течения Пуа-зейля, используя классические граничные условия (течение Куэтта-Пуазейля). Постановка задачи Изотермическое установившееся течение (вертикальная компонента вектора скорости полагается тождественно равной нулю) вязкой несжимаемой жидкости описывается следующей системой уравнений [36-40]: V V + V V x 8x у 8у 3Vv 8Vy қ -^-+қ-^ x 8x y 8y 8P 8V - ---+ v ■ 9 8x 8x2 8P 82Vy - ---+ v- +v 8P - о 8z 8y 8x 8V 8Vy ■ + v- 8 Vx 8у у 81Vy 8y2 +v - + v- 8_V 8z2 8z2 (1) -+ -^- - 0 . 8x 8y В системе (1), состоящей из уравнений переноса момента импульса и уравнения несжимаемости, введены обозначения: Vx, Vy - компоненты скорости, параллельные соответственно горизонтальным осям Ox, Oy введенной декартовой системы координат; P = P(x, y, z) - давление, отнесенное к постоянной плотности жидкости р; ѵ - коэффициент кинематической вязкости. Система уравнений (1) является квадратично нелинейной. Она описывает слоистые и сдвиговые течения вязкой несжимаемой жидкости в приближении гидростатики, поскольку в силу допущения о сдвиговом характере течения конвективная производная и лапласиан в третьем уравнении системы Навье-Стокса тождественно равны нулю [42, 43]. Напомним, что изобарические течения были изучены в [34, 35, 40, 44, 45], и там же были описаны механизмы генерации и эволюции противотечений в бесконечном горизонтальном слое жидкости. Будем искать точное решение системы (1) в следующем виде [31-33]: Vx - u (z) + a (z) У , Vy - V (z) , P - P0 + S1x + S1У . (2) Структура точного решения для давления определяется простейшим дифференциальным уравнением в частных производных - - 0 . Горизонтальные градиен- 8z ты S , S и фоновое P являются постоянными значениями по толщине слоя и определяются граничными условиями. Неоднородное поле скоростей (2) порождает неоднородное поле касательных напряжений: 70 Бурмашева Н.В., Дьячкова А.В., Просвиряков Е.Ю. Неоднородное течение Пуазейля т xz = ц дѴх дѴ2 dz дх ^(м' + a’у ) Т yz =Л дѴу dVz -- + -dz ду = цѵ’. Здесь n - коэффициент динамической вязкости, а штрихом обозначена производная по переменной z. Подставляя выражения (2) для гидродинамических полей в систему (1), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения неизвестных функций u, a, v, P: a" = 0, vv" = P , vu" = P - va , P0' = 0 . (3) Система (3) состоит из обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и имеет девятый порядок. Она является замкнутой (число уравнений совпадает с числом определяемых функций) и наследует нелинейные свойства системы (1). Кроме того, уравнения (3) преимущественно являются однородными и изолированными, исключение составляет только уравнение для нахождения скорости u. Общее решение системы (3) получается последовательным интегрированием уравнений, которое определяется набором полиномиальных функций: a = cyz + c4, P v =ZT P2z 2 + C1Z + c2 , (4) 2v u = CP 5 + 122 + C4P z4 + ClWC! z3 + CEaIA z2 + cz + c. 40v2 24v2 6v 2v 56 В решении (4) наибольшая степень (пятая) приведенных полиномов отвечает выражению для скорости u. Также заметим, что коэффициенты представления (2) для поля давления, согласно общему решению (4), оказались постоянными. Это означает, что распределение поля давления P во всей области течения вязкой жидкости можно считать известным из краевого условия для давления. Линии уровня давления представляют набор вертикальных плоскостей, пересекающих горизонтальную плоскость по прямым вида P\\x + P2y = const. По этой причине больший интерес вызывают характеристики распределения поля скорости. Решение (4) системы дифференциальных уравнений (1) содержит ряд постоянных интегрирования, значения которых необходимо определить из краевых условий. Рассмотрим далее течение жидкости в горизонтальном бесконечно протяженном слое заданной толщины h, нижней границе которого соответствует значение z = 0 вертикальной координаты. Будем полагать, что на границе z = 0 выполняется условие прилипания, которое ввиду структуры решения (2) равносильно условиям и (0) = v (0) = 0 , a (0) = 0 . Кроме того, будем считать известным распределение полей скорости и давления на верхней границе z = h. Эти условия, согласно выражениям (2), можно представить в следующем виде [39, 40, 45]: и (h ) = Wcosip , a (h) = Q , v (h ) = Wsirnp, p (h) = S, P (h) = Si, p (h) = S2. 71 Механика / Mechanics Здесь W - значение скорости на поверхности жидкости, ф - угол, характеризующий направление этой скорости [30, 39, 45]. Приведенные граничные условия записаны в приближении «твердой» крышки [5, 39, 42, 45]. Это означает, что верхняя граница слоя не деформируется, т.е. является плоской. В этом случае, поскольку рассматривается изобарическое течение, кинематическое и динамическое условия для свободной границы выполняются автоматически [5, 39, 40, 42, 43, 45]. Такой подход позволяет исследовать крупномасштабные ветровые течения, отфильтровывая при этом возможность описания волн на межфазной границе. Такой подход хорошо себя зарекомендовал, поэтому используется в статье. К тому же классическое точное решение Пуазейля было получено для известной границы, поэтому для сравнения результатов решено было не вводить в рассмотрение деформацию свободной поверхности. Краевая задача Решение (4) с учетом сформулированных краевых условий принимает вид: u = Z hA OS, 120v2 (3Z4 -5Z3 + 2) + ^(Z -1) + Z3 -1) + Wcos

Скачать электронную версию публикации