Determination of the elastic fields induced by body forces in transtropic bodies of revolution.pdf Развитие существующих и создание новых методов расчета напряженнодеформированного состояния (НДС) тел из сложных по структуре и реологии материалов по большей части опирается на общее или фундаментальное решение той или иной задачи теории упругости. Фундаментальный вклад в создание общих решений для анизотропной среды внесли С.Г. Лехницкий, А.Я. Александров, Ю.И. Соловьев, А.С. Космодамианский и др. Однако эти решения были разработаны еще в прошлом столетии. Естественно, что современными учеными получены решения частных задач, которые могут быть применены для построения математических моделей на основе различных методов механики. Особенно это касается аналитических или численно-аналитических методов, которые позволяют получить решение в виде функции нескольких переменных (координаты, времени, температуры и др.). Развитие именно аналитических методов в последнее время преобладает над численными методами, где результатом решения является таблица значений той или иной величины во всей (а порой и не во всей) области тела. В области реализации различных методов анализа НДС эластостатических тел с учетом влияния объемных сил можно выделить следующие исследования. В статье [1] исследовалось изотропное упругое тело, ограниченное концентрическими сферами и находящееся под действием осесимметричных нестационарных объемных сил. В работах [2, 3], используя разложения компонент вектора перемещений в ряды по окружной и радиальной координатам, получены аналитические решения задач о равновесии толстостенных трансверсально-изотропных составных сфер, находящихся под действием внутреннего давления и массовых сил. В работе [4] исследовались вынужденные деформации, возникающие от воздействий поверхностных и объемных сил. В [5] в дополнение к двум комплексным потенциалам Колосова-Мусхелишвили предложен третий потенциал, учитывающий влияние массовых сил. Приводятся аналитические решения некоторых задач плоской деформации. Работа [6] посвящена развитию метода ортогональных проекций. Исследовались задачи теории упругости с участием объемных и поверхностных сил в функциональных энергетических пространствах тензоров напряжений и деформаций. 87 Механика / Mechanics В работах [7, 8] редуцирован метод определения напряженно-деформированного состояния изотропных упругих тел от действия объемных сил непотенциального характера. Для трансверсально-изотропных тел, ограниченных коаксиальными поверхностями вращения, средствами метода граничных состояний решены первая основная [9] и вторая основная [10] задачи теории упругости при одновременном действии на тело массовых сил. По идентичной методике решена контактная задача [11]. Определению упругих полей от действия осесимметричных массовых сил на транстропное ограниченное тело вращения вкупе с действием поверхностных сил и установившегося поля температур посвящены работы [12, 13]. Цель данной работы - развитие аналитического метода определения НДС, предложенного в работе [7], на класс трансверсально-изотропных тел вращения, находящихся под действием объемных сил, заданных по циклическому закону. Объемные силы носят неосесимметричный характер и зависят от трех цилиндрических координат. 1. Постановка задачи Рассматривается упругое равновесие трансверсально-изотропного тела, ограниченного одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения (рис. 1), под действием неосесимметричных объемных сил X = {ft, Q, Z}, заданных по циклическому закону. Ось анизотропии транстропного тела совпадает с геометрической осью вращения z. r Рис. 1. Трансверсально-изотропное тело вращения Fig. 1. A transversely isotropic body of revolution Задача состоит в определении напряженно-деформированного состояния, возникающего в теле под действием объемных сил. 2. Определяющие соотношения В общем случае деформации трансверсально-изотропного тела в цилиндрической системе координат г, Ѳ, z имеют место следующие соотношения. 88 Иванычев Д.А. Определение упругих полей в трансверсально-изотропных телах вращения Дифференциальные уравнение равновесия [14]: d-r 0ar 1 0-гѲ аг -ав -- +-- +--- + -r-- + R = 0 ; dz dr r дѲ r (1) °-^+°-^+1 dZl+2 i.+ q = о; dz dr r дѲ r да dz 1 dz й x -^ + -zr- +--*+-1- + Z = 0 . dz dr r 0Ѳ r Соотношения Коши: в = ■ du dr dw dz 1 dv ^ u r дѲ (2) dw du 1 du dv v dw 1 dw Y zr =1Г + ДГ; Үгө zzz + ^---; Y zө =^r + -™. dr dz r 0Ѳ dr r dz r 0Ѳ Уравнения совместности деформаций [15]: 1 £ r +1 ££ -! i. - 2 £ lr ^=о; r dr dr r дѲ r dr r dr ОѲ 1 я дв 1 д2в 1 д (r г Ѳ ) +1 д г Ѳ_ r2 dr дѲ r дѲдz г2 1 д2в 1 3 дв 1 дв 1 д Ь zr - 1 _(r ѲѲ ) + 1 г = 0 • дѲ2 r dr dz r dz ’ _д(iд(rBzS^| 1 д(Г2д^+д.(1 дЦ-1д 0. r2 dr dr r dr 32 dz dr r дѲ r дѲ dz |2„ л *2„ (3) 1 д s„ 1 дв„ д вѳѳ 2 д е2Ѳ 2 дв2Г = Q - +--- + r dr д 1 дв + r - (r2 дѲ2 r dr dz2 r 5ѲЙ2 r dz 1 д в„ r dfodz dr r dz z (10^ ) = 0 • dz dr r дѲ д д\\2 dr2 д2в - 2■ zr dr dz = 0 . dz2 Обобщенный закон Гука [14]: 1 „ , v7 1 r в = - (а - Ег vr аѲ )-- az Ez z Ez \\ z ^(аг +аѲ) ]; 1 v вѲ =ZZ~ (аѲ - Er v аг)--az; Ez (4) 1 1 1 2( 1 + Ѵг) Yzr =TT-zr'' Gz > ү zѲ = r, -zѲ ; Gz Y гѲ =ZE -гѲ = Gr c -гѲ . Er Здесь: u, v, w - компоненты вектора перемещения вдоль осей г, Ѳ, z соответственно; в , se, в, Y& , Yzr, Ү2ө - компоненты тензора деформаций; а, а, а , -гѲ, -zr, -z0 - компоненты тензора напряжений; R, Q, Z - компоненты вектора объемных сил X вдоль соответствующих осей; Ez и Er - модули упругости соответственно в направлении оси z и в плоскости изотропии; vz - коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие вдоль оси r при растяжении вдоль оси z; 89 Механика / Mechanics ѵг - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой же плоскости; Gr и Gz - модули сдвига в плоскости изотропии и перпендикулярной к ней. 3. Общее решение В работе [14] методом интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженно-деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела вращения и некоторыми вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которых зависят от двух координат z и у (переменных). Ось п перпендикулярна плоскости zy. В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация upl = {upl,upl,up1 }, возникающая в бесконечных цилиндрах, имеющих в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости zy (направление п). Переход к пространственному состоянию в цилиндрических координатах осуществляется по зависимостям 1 п и U =- (j (uPpl + Up1) cos[(n - 1)Р]dp + J (uPpl - up) cos[(n + 1)P]dP); 0 0 -t Л 7t vn = - ([(up + up)cos[(n-1)P]dp-J(up -up)cos[(n + 1)P]dp) ; (5) 0 0 1 Л wn = - f up1 cos(wP)dp ; p = r cos(P). n 0 b u =Z[u„ cos(n0) + u sin(n0)]; n=a b V = Z[-v„ sin(n0) + vn cos(n0)]; (6) n=a b w = ^[wn cos(n0) + wn sin(n0)], n=a где a и b - пределы суммирования. Деформации вычисляются через соотношения Коши (2), напряжения - через закон Гука (3), объемные силы - из уравнений равновесия (1). 4. Метод решения Определение упругого состояния анизотропного тела осуществляется средствами, схожими со средствами метода граничных состояний (МГС) [16]. В качестве базиса в пространстве внутренних состояний 5 принимаются наборы ч а , X?)}. В работах [12, 13] изложен метод определения напряженно-деформированного состояния изотропных тел от действия неконсервативных непрерывных объемных сил. Здесь используем тот же подход. 90 Иванычев Д.А. Определение упругих полей в трансверсально-изотропных телах вращения Для построения поля перемещений для тела от действия объемных сил для плоских вспомогательных состояний применяется фундаментальная система многочленов уаzВ, которую можно поместить в любую позицию вектора перемещения uр1 (у, z), образуя некоторое допустимое упругое состояние: pi ^ Up f а ВЗ У zB ( о 1 II *3, S pi < * Е ■ о , уа zB pi , 0 7 , о 7 Далее согласно (5) и (6) определяются компоненты вектора перемещения u (г, Ѳ, z) пространственного состояния, и по цепочке (2), (4), (1) определяются соответствующие тензоры деформаций, напряжений и объемные силы. Осуществляя перебор всевозможных вариантов в пределах а + р< n , (n = 1, 2, 3...), можно получить множество состояний и сформировать конечномерный базис, позволяющий разложить произвольный вектор непрерывных объемных сил в ряд Фурье по его элементам при увеличении числа n до бесконечности. После построения базиса состояний проводится его ортонормирование, используя рекурсивно-матричный алгоритм ортогонализации [17]. Алгоритм реализует процесс ортогонализации Грама-Шмидта, в котором перекрестные скалярные произведения (например, для 1 -го и 2-го состояний) вычисляются по формуле (x(1),X(2))= JX(1) • X(2)dV; V X(k) = X(k) = {R(k) (г, Ѳ, z), Qk (г, Ѳ, z), Z(k) (г, Ѳ, z)} . Любой непрерывный вектор объемных сил может быть представлен в виде ряда Фурье, разложенного по элементам ортонормированного базиса: ад X = ^окXk) ; Ck = (x, X(k)), (7) k=1 где X = R Q, Z} - заданные объемные силы. Каждому базисному вектору X(k) соответствуют вектор перемещения и тензоры деформаций и напряжений, в совокупности образующие внутреннее состояние от действия объемных сил ад ^о =Z Ck, k=1 или в развернутом виде: k=1 Ckui (k) в У =Z (k) a У =z ( k) Ck ay X =£ cx (k) (8) k=1 k=1 k=1 Тестирование коэффициентов Фурье осуществляется подстановкой объемных сил одного из базисных элементов в качестве заданных, при этом должны выполняться условия Cn = 1, n - номер тестируемого базисного элемента, остальные коэффициенты Фурье должны равняться нулю. 91 Механика / Mechanics 5. Решение задач Исследуем упругое равновесие трансверсально-изотропного кругового цилиндра из горной породы алевролита крупного темно-серого [18]. После процедуры обезразмеривания параметров задачи (с масштабным коэффициентом ■q* = 105 кгс/см2), аналогия которой представлена в работе [19], упругие характеристики материала составили: Ez = 6.21; Er = 5.68; Gr = 2.29; Gz = 2.55; vz = 0.22 ; vr = 0.24 . Цилиндр занимает область V = {(z, r)| 0 < r < 1, -1 < z < 1}. Для решения задачи, когда все три компоненты заданного вектора объемных сил не равны нулю, требуется довольно большой «отрезок» базиса внутренних состояний. В этом случае целесообразно воспользоваться принципом независимости действия сил и решить три отдельных задачи, в каждой из которых заданы X = {R,0,0}, X = {0,0,0}, X = {0,0,Z}, а полученные упругие поля сложить. При практической реализации приема решения задач и его тестировании при различных видах функций заданных объемных сил оказалось, что не для любого вида функций объемных сил существует решение. Возможность получения строгого или приближенного решения зависит от способа формирования базиса. В общем случае формирования базиса внутренних состояний в выражениях (6) суммирование осуществляется от a = 0 , до b = да. При построении базиса необходимо стремиться к наибольшей простоте вида функций, описывающих компоненты упруго поля. Поэтому рассмотрим сначала базис, формируемый из левых частей выражений (6), с переделами суммирования a = 0 и b = 1: b b b u = X К cos(n0)] ; V = X [-vn sin(n0)]; w = X [wn cos(n0)]. (9) n=a n=a n=a В данном случае задача будет разрешима, если заданные объемные силы R, Q, Z содержат тригонометрические функции cos 0, sin 0, cos 0 соответственно, например: R = rmzk (1 - p cos0) ; m,k e N; p e Z. (10) В противном случае скалярные произведения и коэффициенты Фурье (7) будут равны нулю. Если формировать базис из правых частей выражений (6) с пределами суммирования a = 0 и b = 1: b b b u = Хк sin(n0)]; V = X[Vn cos(n0)]; w = sin(n0)], (11) n=a n=a n=a то приближенное решение возможно получить, если объемные силы R, Q, Z содержат тригонометрические функции sin 0, cos 0, sin 0 соответственно. Если в выражениях (9) и (11) использовать пределы суммирования a = 1 и b = 1, то объемные силы вида (10) восстановить нельзя, в этом случае приближенное решение задачи ищется для функции вида rmzkp cos 0 или rmzkp sin0 . Если объемные силы имеют вид rmzk (cos 0 + sin 0), то уже необходимо использовать выражения (6) в полной мере с пределами суммирования a = 0 и b = 1. При этом возможно получение не только приближенных, но и строгих решений. 92 Иванычев Д.А. Определение упругих полей в трансверсально-изотропных телах вращения Для последнего случая и приведем пример решения задачи, когда задана объемная сила X = {r3z2(sin0 + cos Ө),0,0}. (12) После построения базиса по соотношениям (6), исключения базисных элементов, для которых X = 0, а также линейно зависимых элементов, в процессе орто-гонализации, базисные компоненты объемных сил примут вид, представленный в таблице (показано 7 элементов). Ортонормированный базисный компонент объемной силы Номер элемента R Q Z 41 -0.2(cosӨ + sin Ө) -0.2 (cos Ө - sin Ө) 0 42 0 0 -0.282 43 -0.172z (cos Ө + sin Ө) -0.172z (cos Ө - sinӨ) 0 44 0 0 -0.244z 45 -0.399r 0 0 46 0 -0.399r 0 4у 0 0 -0.399r (cos Ө + sin Ө) Используем базис внутренних состояний из 50 элементов. Ненулевые коэффициенты Фурье: c =-1.3368; c8 =-1.1957; c13 =-1.8712; c14 = 0.4678; c32 =-1.67 3 6; c33 = 0.4184; c38 =-0.26 84; c39 = 0.0671. Решение формируется соотношениями (8). Оценка точности осуществляется сопоставлением заданных объемных сил (рис. 2, штриховая линия) с восстановленными в результате решения (сплошная линия). Согласно первому графику рис. 2, максимальная погрешность находится в точках л /4 и 5л /4, поэтому для оценки точности восстановленной силы R в зависимости от r и z целесообразно провести для сечения с угловой координатой л /4 (графики 3, 5 на рис. 2). На втором графике рис. 2 максимальная погрешность находится в точке 3л /4 , поэтому верификация силы Q в зависимости от r и z рассматривается в сечении с угловой координатой 3л /4 (графики 4, 6 на рис. 2). Максимальная погрешность задачи составила 25% и определена в точке (1, л /4, 0) (график 5 на рис. 2). Погрешность преодолевается путем увеличения числа используемых элементов базиса. При использовании базиса из 70 элементов добавляется два ненулевых коэффициента Фурье: c69 =-0.24; c70 = 0.06, -и точность решения значительно повышается. На рис. 3 изображены графики 5 и 6 рис. 2 при 70 удержанных элементах базиса. 93 Механика / Mechanics R,r = l,z = 1 Q, r = l,z=l Д,Ѳ = jt / 4,2 = 1 £>,Ѳ = Зтг/4,z = I = it / 4, r = 1 £?,Ѳ = Зя/ 4,r = l Рис. 2. Верификация объемных сил при 50 удержанных элементах базиса Fig. 2. Verification of body forces with 50 elements of the basis kept R,Q = к / 4,r = 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 Q.Q = Зіг/4,r = 1 0.004 0.003 0.002 0.001 0 -1 -0.5 Рис. 3. Верификация объемных сил при 70 удержанных элементах базиса Fig. 3. Verification of body forces with 70 elements of the basis kept 94 Иванычев Д.А. Определение упругих полей в трансверсально-изотропных телах вращения Окончательное внутреннее состояние построено на 70 базисных элементах и имеет вид: u0 = (31.123z4 - 1369.44Г2z4 -1971.16r4z4 + 165.557z6 + +1390.77r2z6 - 74.417zs)(cos Ө + sin Ө) • 10 5; 44 v0 = (31.123z4 - 124.494r2z4 + 103.745r4z4 + 165.557z6 + +264.805r2z6 -74.417z8)(cosӨ-sinӨ)-10-5; w0 = (500.016rz5 +1250.04r3z5 - 436.69rz7)(cos Ө + sin Ө)-10-5; R = (-952.381z2 + 4190.8r2z2 + 60317.5r4z2)(cosӨ + sinӨ)-10-5; Q = (-952.381z2 + 3809.5r2z2 -3174.6r4z2)(cosӨ-sinӨ)•Ю-5 ; Z0 = 0. Приближенное решение можно получить и для объемной силы вида rm (z + p)k cos Ө или rm (z + p)k sin Ө, а при m = k = 2 - строгое. Если при sin и cos в выражении (12) разные коэффициенты, например rmzk (p sin Ө +1 cos Ө), то решение получить не удается. Это связано с одинаковыми коэффициентами (единица) при соответствующих функциях в базисных выражениях (6). В случае, когда объемные силы зависят от sin(^) или cos(^), n = 2,3,..., в выражениях (6), (9), (11) необходимо использовать пределы суммирования a = b = n . Рассмотрим функцию, описывающую, например, объемную силу R следующего вида: R = rmzkp cos(n0) . Особенность решения при n > 1 заключается в том, что восстановленные объемные силы отличаются по амплитуде от заданных на некоторую константу - корректирующий коэффициент к, который вычисляется через заданную R и восстановленную R0 компоненты объемных сил для фиксированных координат r и z: R I к=r;1 ". Затем все остальные характеристики полученного упругого поля умножаются на коэффициент к. Пусть задана объемная сила X = {0, r2 zcos(30),0} . Базис формируется с помощью выражений (11), и для решения данной задачи используется 76 элементов базиса (коэффициенты Фурье приводить не будем). Результат представлен графически на рис. 4 (показаны значения объемных сил R, Q на поверхности r = 1, z = 1). Восстановленные выражения для объемных сил: R = (0.25r2z - 2r4z + 5.4r6z - 6r8z + 2.357r10z)sin^) ; Q = (0.25r2z + 2r4z -5.4r6z + 6r8z -2.357r10z)cos(3Ө) ; ^ = 0 . Корректирующий коэффициент к = r2 / (0.25r2 + 2r4 -5.4r6 + 6r8 -2.357r10) . В данной задаче к зависит только от r. 95 Механика / Mechanics R,r = 1,г = 1 Рис. 4. Верификация объемных сил в задаче с коэффициентом Fig. 4. Verification of body forces in the problem with a coefficient Q,r =l,z =1 Окончательно решение имеет вид: £, = к^0. При r = 1, z = 1 коэффициент к= 2.029 и погрешность для R увеличилась, однако результат по-прежнему удовлетворителен (максимальная погрешность составила 1.5%). Заключение В работе решение задачи теории упругости от действия объемных сил строится следующим образом. Задается зависимость вектора перемещения плоского вспомогательного состояния от координат уаzp, и на его основе определяется вектор перемещения пространственного состояния, зависящего от координат r, Ѳ, z. Для такого вектора по соотношению Коши определяется тензор деформаций, из закона Гука - тензор напряжений, а из уравнения равновесия - объемные силы. Этим строится строгое частное решение задачи, соответствующее заданной в каждой точке тела функции перемещения. Перебирая а + р < n (n = 1, 2, 3 ...), строится множество строгих частных решений задачи линейной теории упругости: векторы перемещения ut, тензоры деформаций zk, тензоры напряжений вк, векторы объемных сил X . Оставляя среди этих решений только линейно независимые и осуществляя их ортогонализацию, получаем базис, по которому соответствующие векторы или тензоры разлагаются в ряды с одинаковыми коэффициентами (7). Поэтому изложенный подход позволяет сразу строить решение задачи с заданными объемными силами. Выбор способа конструирования базиса зависит от вида заданной функции компоненты объемных сил. Для решения задач требуется довольно большой базис внутренних состояний, однако при формировании рядов число ненулевых коэффициентов Фурье невелико. Таким образом, в работе сформулирован подход решения задачи от действия объемных сил, заданных по циклическому закону. Компоненты упругого поля зависят от всех трех координат и носят неосесимметричный циклический характер.

Скачать электронную версию публикации