On the number of eigenvalues of a model operator on a one-dimensional lattice.pdf Введение В моделях физики твердого тела [1, 2], а также в решетчатой квантовой теории поля [3] рассматриваются дискретные операторы, являющиеся решетчатыми аналогами оператора Шредингера на евклидовом пространстве. Кинематика квантовых частиц на решетке довольно экзотическая [4]. В непрерывном случае изучение спектральных свойств полного гамильтониана системы двух частиц сводится к изучению двухчастичного оператора Шредингера с помощью выделения энергии движения центра масс так, что двухчастичные связанные состояния суть собственные векторы оператора энергии с отделенным полным импульсом (при этом такой оператор фактически не зависит от значений полного импульса) [5]. Дискретный лапласиан, в отличие от непрерывного случая, не является трансляционно-инвариантным, и поэтому гамильтониан системы не разделяется на две части. На решетке выделению центра масс 23 Математика / Mathematics системы отвечает реализация гамильтониана как расслоенного оператора, т.е. прямого интеграла семейства операторов (операторов Шредингера) h(k) энергии двух частиц, зависящих от значений полного квазиимпульса системы двух частиц к на J-мерном торе Td [6]. В общем случае оператор Шредингера h(k), k е Td, определяется в L2(Td) с некоторым дисперсионным соотношением и короткодействующим потенциалом притяжения. В работе [7] рассматривается двухчастичный оператор Шредингера hM(k), k е T3, ассоциированный c гамильтонианом системы двух одинаковых частиц (бозонов), взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала притяжения с энергией взаимодействия ц >0. Показано, что оператор либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия ц >0 и полного квазиимпульса системы двух частиц k е T3. В случаях двух бозонов или двух фермионов, движущихся на решетке и взаимодействующих только на ближайших соседних узлах, найдено точное число собственных значений соответствующего двухчастичного оператора Шредингера кц(k), ц >0, k е Td, d = 1,2 ... [8, 9]. Кроме того, в работах [10, 11] были изучены спектральные свойства одночастичного гамильтониана, описывающего движение одной квантовой частицы на решетке во внешнем поле. Исследованы число собственных значений и их расположение в зависимости от значений энергии взаимодействия ц > 0 и Х> 0 (ц2 + ^ 2>0 ). В работах [12, 13] рассматриваются системы двух произвольных квантовых частиц на трехмерной решетке, где свободный гамильтониан задается со специально выбранными дисперсионными соотношениями и частицы взаимодействуют с помощью некоторых (выбранных) парных потенциалов притяжения. Изучена зависимость числа собственных значений семейства операторов ^ (k), k е T3, ц. = ((ijе л ѵ, от энергии взаимодействия частиц ц =е -сѵ и полного квазиимпульса k е T3. В работе [14] рассматривается система двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке со специально выбранными дисперсионными соотношениями, описывающими перенос частицы с узла s = 0 на узлы s = +2n, n е N, взаимодействующих с помощью парного потенциала притяжения. При этом в соответствии с дисперсионными соотношениями потенциал взаимодействия ѵц, ц = (ц0, Pi, • • •, Цдг) 6 -' Ѵ 1 выбирается таким образом, что определитель Фредгольма, соответствующий оператору кц (k), сводится к произведению определителей Фредгольма операторов к (к) и / е {0.1.....N). Изучено число собствен ных значений оператора кц (k) в зависимости от энергии взаимодействия частиц и полного квазиимпульса k е T , а также найдены условия существования много-24 Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора кратного собственного значения оператора ^ (k), лежащего левее существенного спектра. В настоящей работе рассмотрим модельный оператор h (k), k е Т, соответствующий гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на од-номеpной pешетке со специальными четными дисперсионными соотношениями, описывающими перенос частицы с узла s = 0 на узлы s = +2, взаимодействующих с помощью некоторого парного короткодействующего потенциала притяжения. При этом энергия парных взаимодействий частиц является четной функцией и принимает не более четырех значений: ц0, ^, ц2 и ц3. Целью настоящей работы является изучение числа собственных значений оператора энергии h^ (k) в зависимости от вектора энергии парных взаимодействий частиц ц = (ц0,|Ті,Ц2 = І-1з) е и полного квазиимпульса системы двух частиц k е Т . Отметим, что данная работа в определенном смысле уточняет и обобщает результаты работ [10, 11], а также показывает сложную зависимость числа собственных значений от параметров операторов. 1. Формулировка основных результатов Пусть Z - множество целых чисел, 12 (Zх Z) - гильбертово пространство квадратично-суммируемых функций, определенных на Z х Z. В координатном представлении модельный оператор h, соответствующий гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномеpной pешетке, определяется как ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ^ (Z х Z), по формуле где (A0v)(«i,«2) = 2[ёі(5)ѵ(«і +s,n2)+e2(s) 0 - масса i-й частицы, i = 1,2, и pn > 0 , n = 0,1,2,3. 25 Математика / Mathematics Пусть Т = (-л; л] - одномерный тор, L2 (Т х Т) - гильбертово пространство всех квадратично-интегрируемых функций, определенных на Т х Т. Переход от координатного представления оператора к к импульсному осуществляется с помощью преобразования Фурье (см. [6]): JF : f2(Z х Z) -»Z2(T х Т), (Яф)(/>) = ү Поэтому в импульсном представлении модельный оператор , соответствующий гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке имеет вид: 1 к \\= ЯіиТ~1 = Яі^1 + ТѵиЯ Двухчастичная проблема на решетке с дисперсионными соотношениями Sj (к) и е2 (к) и квазиимпульсами к и к в импульсном представлении с помощью отделения полного квазиимпульса системы двух частиц к = к + к2 и разложения фон Неймана сводится к изучению эффективной одночастичной проблемы: гильбертово пространство Ь2 (Т х Т) разлагается в прямой (непрерывный) интеграл фон Неймана, ассоциированный представлением абелевой (дискретной) группы Z , образованной с помощью перестановочных операторов на решетке l2 (Т х Т) = f © l2 (T)dk. кеТ Тогда для оператора к, соответствующего гамильтониану системы двух частиц, имеет место разложение фон Неймана [15]: к = J" © к (k)dk, т где квазиимпульс системы двух частиц к пробегает первую зону Бриллюэна Т = К / (2лЖ). Соответствующий слойный оператор /?Ll (к) непрерывно зависит от квазиимпульса к е Т = М / (2лЖ). В результате, благодаря потере сферической симметричности проблемы, спектр оператора /?и (к) оказывается довольно чувствительным к изменениям квазиимпульса к е Т . Связанное состояние \\\\іек оператора /?и (к) является решением уравнения Шредингера к (К)Ц>е,к = е(к)Ч>е,к , Ч>е,к 6 L2 СЮ, и оно непрерывно зависит от квазиимпульса к. Тогда спектр aQi ) оператора Һ выражается с помощью спектра слойных операторов Шредингера к (к) с фиксированным квазиимпульсом, т.е. ст(йц) = тстj=1 т {ej(k)}^v(k(k)X где е.(&), j = 1,2,... - собственные значения слойного оператора к (к) ■ 26 Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора Воспользовавшись унитарным оператором U: Ь2 (Т) ^ L2 (Т), определенным по формуле (см. [14]) 1 1 (Uf)(p) = f I p - Q(k) cos 2k Q(k) = arccos 2 1 2 1 - +--cos 2k +-- '2 m m m2 I ЛІ\\ЛІ2 m2 изучение спектральных свойств оператора Ь^(к) сведем к изучению спектральных свойств семейства операторов hц (k), k е Т, действующих в гильбертовом пространстве L2 (Т) по формуле һ^(к)=һо(к)-^^ где h0 (к) - оператор умножения на функцию £к (•): 1 1 1 2 £к ( p) =--1---a(k )cos2 p, a(k )= -r + m m2 \\ m2 щт2 cos2k + 1 m 2 2 3 и ѵц - интегральный оператор с ядром ѵц (p - 5) = ^p.n cosn(p - 5), т.е. n=0 (v»f)(p) = ^ ]ц„ cos n(p - s)f(s)ds, f eL2 (T). «=0,]г Заметим, что из теоремы Вейля о существенном спектре [17] следует, что существенный спектр aess (һц (k)) оператора һ^ (k) не меняется при компактном возмущении ѵц и совпадает со спектром невозмущенного оператора h0 (k). Следовательно, СТess h (k)) = CT(ho(k)) = [m(k),M(k)], где m(k) = min £ k (p)---1---a(k), M (k) = max£ k m2 peT m £ k(p) = -+-+a(k). peT m m9 Поскольку v > 0, то sup(h^ (k)f, f) < sup(h0 (k)f, f) = M(k)(f, f), f e L2(T). Поэтому оператор ^ (k) не имеет собственных значений, лежащих правее существенного спектра, т.е. ст(Һц (k)) Пі (M (k), да) = 0. Замечание 1. Пусть L2 е (Т) с L2 (Т) - подпространство четных, а L2 0 (Т) с L (Т) - подпространство нечетных функций. Известно, что имеет место равенство L2(T)= L2e(T)®L2o(T) . Гильбертовы пространства Ь2е(Т) и L2o (Т) являются инвариантными относительно самосопряженного оператора h^Qi). Обозначим через И^е(к) и к^а(к) сужения һ^к)^ (Т) и һІ1(к)\\ь^ (Г) 27 Математика / Mathematics оператора h^(k) на L2e(T) и Ь2о(Т) соответственно. Операторы h^e{k) и 0 (к) действуют в Ь2 е (Т) и L2 0 (Т) соответственно по формулам Һ,e (к) = һ)(к) - ѵц,е и һц>0 (к) = һ0(к) - ѵц>0, где v и v 0 - интегральные операторы, действующие по формулам У у, f(р)= cos пр cos nsf (s)ds, / eL2e (T), n=0 f 3 J(P) = У]smnpsmnsf(s)ds, f e L2 o{T). «=0 T Заметим, что Ъ(һщ (к)) = ст Положим (һщ (к)) = а(һщ.е (к)) ^ ,,, (к)) и , (һщ (к)) = CTd (һщ.е (к)) ^ , (һщо (к))' и cnm(к; z) = j _ г-cos nq cos mqdq sir (к; z) = j £k(q) - z т £ к (q) - z _ r-sin Iq sin rqdq cn(к; z) = cnn(к;z) , n, m = 0,1,2,3 (1) S (к; z) = sa (к; z) , l, r = 1,2,3. (2) реТ Из представления £k (p) следует, что min £к (p) достигается только в нуле. Поэтому интеграл sin2 lqdq £ к (q) - т(к)’ l = 1,2,3 Т к сходится и принимает положительное значение. Положим щ (к ) = (s (к; т(к )))-1 = ^, l = 1,2,3. In Для того чтобы сформулировать точные результаты о числе собственных значений операторов һщ e (к) и һщо (к), а также их расположении, введем следующие разбиения: Е®-1 и Е®, а = 1,2, или же О®-1, а = 0,1 и ©(р2), Р = 0,1,2 (рис. 1, 2), плоскостей Ор0М-2 и Opjp3 параметров р0,р2е^+ и Рі,р3 еМ+: М2 = В®иК® = О® иО® и М2 = Е[(2) иЕ® = 0®u0j2)u0f, где Е« = {(р^, ру+1) е М2 :ру+1 < Р2(к) + ^2{к\\\\ [ Иу-1 - И-2 (^) J 4У) = {(Иу-1, Иу+1) 6 :цу+і > Мк) +- 28 Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора

Скачать электронную версию публикации