On the shape of the brachistichrone rotating in a vertical plane.pdf Введение Как было уже неоднократно проверено в предыдущих авторских работах (см., напр.: [1-10]), решение задачи о брахистохроне чрезвычайно удобно проводить в мгновенном ортогональном базисе, выбранным в произвольной точке подвижной кривой, который характеризуется двумя проведенными к ней единичными векторами касательной т и нормали n. Удобство подобного подхода продиктовано последующей рациональностью получаемых уравнений и их аналитическим решением, которое оказывается при этом весьма компактным и негромоздким. В настоящем сообщении мы приведем подробное изложение задачи о движении тела по брахистохроне с учетом ее вращения с постоянной угловой скоростью W , направленной перпендикулярно плоскости x-y (рис. 1). Рис. 1. Схематическое изображение задачи. V = v + Ѵвр, угловая скорость направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Линия 1 - траектория тела при отсутствии вращения Fig. 1. Schematic representation of the problem. V = v + Vrot, angular velocity is perpendicular to the plane of the figure. Line 1 is the trajectory of the body without rotation При этом в общих уравнениях движения будут учтены все основные механические силы, действующие на материальное тело массы m. Однако подобный анализ этих уравнений мы проведем с учетом одной только силы тяжести, опустив для простоты силы сухого и влажного сопротивления. 87 Механика / Mechanics Ниже речь будет идти о нерелятивистском случае, когда частота вращения не слишком велика и время может считаться абсолютным. Главной нашей задачей при этом будет выяснение формы брахистохроны в условиях ее плоского вращения. 1. Общие уравнения движения Решение намеченной задачи мы начнем с самого основного принципа динамики и, в отличие от всех предыдущих работ (см.: [1-10]), воспользуемся хорошо всем знакомым законом сохранения энергии по тому же принципу, который был применен нами в работах [11, 12]. Действительно, в условиях вращения мы имеем право записать следующий закон сохранения энергии (см.: [13]): E = T + U = const, (1) где кинетическая энергия складывается из двух частей: поступательной и вращательной, а именно т=mtL+itL, (2) 2 2 где m - масса точечного тела, v = ѵпост + ѵвр - результирующая скорость движения, ѵпост - скорость поступательного движения при отсутствии вращения, а ѵвр - чисто вращательная составляющая, определяемая, как обычно, формулой ѵвр =[ш х г] (рис. 2), момент инерции тела J = mr2, (3) ш - частота вращения, которая в нашей задаче считается постоянной. t Рис. 2. Подвижный базис n-т к результирующей траектории движения r (t) = J v (t )dt t0 и все силы, действующие на тело массы m t Fig. 2. A moving basis n-т to a resultant trajectory of the motion r (t) = J v (t )dt t0 and all the forces exerted on the body of mass m 88 Гладков С.О., Богданова С.Б. О форме брахистохроны, вращающейся в вертикальной плоскости Что касается потенциальной энергии U, то для нее мы имеем право записать следующее выражение (4) -U = A = m J g • dr + J Ffi • dr = m (g • r) + J Ffr • dr , r, где ro - некоторое начальное положение, g - ускорение силы тяжести, а F, = p.N -F (v) -, где Д - тензорный коэффициент сухого трения, Fc (v) сила вязкого сопротивления (например, Стокса [14]). Поэтому, подставляя формулы (2)-(4) в общее выражение (1), имеем _ mv2 mr 2w2 E =--1---m r -m(g• r)-JFfr • dr = = const. (5) r, Поскольку r(/) представляет собой искомую результирующую траекторию, то так же как и, например, в работах [1, 5], мы воспользуемся методом мгновенного подвижного базиса т-n (см. рис. 1). Разложение сил тяжести и сопротивления по этому базису можно представить в виде: g = g (т sina-n cos a), (6) Ff = ЖДп - Fc т = (ДѴ - Fc (v)) т , (7) где д - общепринятый коэффициент трения, который определяется как дт' = Дп', поскольку N = Nn', а угол а введен на рис. 1 (напомним, что y' = tga). Продифференцируем уравнение (5) по времени. Имеем в результате d_ dt 2 2 2 mv mr w + -m(g• r)-JFfr • dr 2 2 = да(v• v) + даю2 (r • v) - да (g • v) -(ғ/г • v) = 0 Откуда сразу же следует, что + mm2r - mg-F^ = О, или в силу произвольного направления векторов v и r получаем искомое уравнение (8) • 2 ѵ + со rer = g + , да где er - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора г. Поскольку связь единичного базиса er, еф полярной системы координат с подвижным базисом т-n имеет вид: е = п sin (a-rn) + т cos (a-ф), r v ’ v ’ (9) еф = -n cos (а-ф) + т sin (a-ф), то уравнение (8) с учетом (6), (7) и (9) запишется как т. d, , 2 г . / ч / \\Л ( ■ \\ (^- Fc (v)) - (v т) + гю [n sin (а-ф) + т cos (a-ф)] = g (т sin a-n cos a) + --1 dt m 89 Механика / Mechanics Или после дифференцирования 2 ѵт +-n + rco2 [nsin(a-cp) + TCOs(a-cp)] = = g (T sin a- n cos a) + И - Fc (v)) (10) T. m Приравнивая соответствующие проекции в уравнении (10) слева и справа, мы приходим к следующей системе уравнений: [. 2 / \\ • (м^-^(ѵ)) ѵ = -гео cos(a-cp) + gsina + ^--, < т (И) vd = -гео2 sin(a-cp)-gcosa, где было учтено, что ѵ = Rd . 2. Анализ уравнений (11) Рассмотрим подробно случай, когда силы сопротивления несущественны и ими можно пренебречь. В результате уравнения (11) сильно упрощаются, и, подчеркнем, в случае, когда ѵ = Rd , мы приходим к следующей весьма компактной системе уравнений: (12) Гѵ = -гео2 cos (а-ф) +gsina, I ѵ a = -rco2 sin (a - ср) - g cos a. Если в равенствах (12) положить и = 0, мы приходим, как и должно быть, к уравнению брахистохроны (см.: [1, 2]). Если же в рамках неподвижного случая (со = 0) положить ѵ = -Rd (при a < 0), то уравнения (12) примут вид: [va = geos a, . (13) [v = gsina, и мы приходим к уравнению параболы. Эти два чрезвычайно важных вывода свидетельствуют об очень важном и вовсе неочевидном факте, что в условиях свободного движения в поле силы тяжести траектория может быть только либо параболой, либо брахистохроной. Других траекторий в природе не существует. И вот здесь стоит подчеркнуть, что система уравнений (12) не опирается на обязательное для брахистохроны требование, что время скатывания наименьшее. Это требование уже автоматически заложено в самих уравнениях (12). Раскрывая их и вводя декартовы координаты согласно преобразованиям х = r cos ф, у = r sin ф , получаем [ѵ = -со2 (х cos a + у sin a) + gsina, I vd = -со2 (xsina-ycosa)-gcosa. Решая эти линейные уравнения относительно x, у, найдем 90 Гладков С.О., Богданова С.Б. О форме брахистохроны, вращающейся в вертикальной плоскости (14) (15) I сй2х = -vcosa -vdsina, [co2y = -vsina + vacosa + g. Дифференцируя оба уравнения по времени и учитывая, что х = ух = vcosa, у = ѵ = -vsina, приходим к следующему промежуточному результату: Пѵ+ѵсо2 + vd2)cosa+vasina = 0, Uv-vco2 + vd2)sina-vacosa = 0. Если теперь верхнее уравнение в системе (15) умножить на cosa, а нижнее -на sina, а затем их сложить, то получим v+ v(a2 +со2 cos2a) = 0 . (16) Если же теперь верхнее уравнение в (15) умножить на sina, а нижнее - на cosa и вычесть их друг из друга, то найдем d + co2 sin2a = 0. (17) В предельном случае неподвижного желоба, положив в уравнениях (16) и (17) со = 0, мы приходим к простой системе (18) fa = 0, v+vd = 0. Откуда следует, что (19) a = Cj, v+Cf v = 0. Таким образом, у нас получается обычное параметрическое уравнение брахистохроны. Действительно, из нижнего уравнения (19) следует, что v = A cos Cj + B sin Cxt, где A, B - константы интегрирования. Положив B = 0, имеем a = Cj + C2, v = A cos Cj, где C2 - еще одна константа интегрирования. А такое решение, как известно (см.: [1-9]), характерно только для брахистохроны. Введя в уравнениях (16) и (17) безразмерный аргумент т = юі, мы приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений: (20) fv"+ v (a'2 + cos2a) = 0, la" + sin 2a = 0, где «штрих» указывает на дифференцирование по т. Для полноты картины система уравнений (20) должна быть дополнена еще двумя уравнениями: (21) Іх = I vcos adt, y = -| vsin adt. Из нижнего уравнения системы (20) после нахождения его первого интеграла получаем 91 Механика / Mechanics (22) C2 a'2 - cos2a = -4ю где константа интегрирования Ci имеет размерность частоты. Квадрат частоты в знаменателе правой части введен с целью возможности предельного перехода к случаю ю = 0. Отсюда сразу же следует решение в квадратурах: Т + C2 =J d a (23) 2\\l 2 4 Ю + cos 2a Если, к примеру, считать, что в начальный момент времени t = 0 движение начи- * нается от значения угла a = - , то следует положить С2 = 0. В результате решение (23) можно тогда представить в более компактном виде: x(a) = j (24) d a +cos2a Выражая из решения (22) a'2 и подставляя в верхнее уравнение системы (20), находим v + v С С2\\ 2 cos 2a + --- V ю = 0. (25) Окончательно нашу полную систему уравнений, которую мы будем решать численно, согласно (21), (24), (25) следует представить, как a' = -y/у + cos 2a, v''+ v (2 cos 2a + у) = 0, x = - [ vcos ad x, (26) ю 0 y = h - - fvsinadx. (,У ®Jo C2 где у = -у . При этом подчеркнем, что C ^ ю , поскольку Ci - это не зависящая ю2 ни от чего константа. С целью численного исследования решения уравнений (26) их удобно запи сать в безразмерном виде, введя параметр и = v ■J2gh . Тогда вместо (26) получим следующую систему: 92 Гладков С.О., Богданова С.Б. О форме брахистохроны, вращающейся в вертикальной плоскости а' = уіу + cos 2а, u" + и (2 cos 2а + у) = 0, х Һ П = ; У Һ X Xj и cos adx, о x 1 -Xj и vsin ad x. о (27) где параметр X = - ю Уравнения (27) позволяют нам найти интересующую нас зависимость траектории в виде функции р = р {%, X, у) от параметров X и у. Начальные условия можно задать следующими: и (0) = 0, u'(0)= A Ф 0 . (28) Численное интегрирование уравнения (27) с начальными условиями (28) для разных значений параметров X и у иллюстрируют рис. 3-6. Как видно из рис. 5, 6, в предельном случае, когда частота ю ^ 0 , кривая вырождается в обычную брахистохрону. Рис. 3. Зависимость р(|) для параметров X = 0.1 и у = 4 при начальных условиях а Fig. 3. Dependence p(Q for parameters X = 0.1 and у = 4 under initial conditions a( 0) = ~, u (0) = 0, u' (0) = 1 93 Механика / Mechanics Рис. 4. Зависимость для параметров X = 1 и у = 4 Ж при начальных условиях а 1 Fig. 4. Dependence "q(^) for parameters X = 1 and у = 4 under initial conditions а (0) = , u (0) = 0, u' (0) = 1 Рис. 5. Для малых частот вращения, X = 100, кривая (сплошная линия), переходит в бра- Ж хистохрону (пунктирная линия). Начальные условия а (0) = , и (0) = 0, и' (0) = 1 Fig. 5. At low rotational speeds, X = 100, the curve (the solid line) turns into a brachistochrone (the dashed line). Initial conditions are as follows: а (0) = , и (0) = 0, и' (0) = 1 94 Гладков С.О., Богданова С.Б. О форме брахистохроны, вращающейся в вертикальной плоскости Рис. 6. Сравнение почти неподвижной брахистохроны (сплошная линия), X = 1 000, и обычной брахистохроны (пунктирная линия). Начальные условия - а (0) = -, и (0) = 0, и '(0) = 1 Fig. 6. Comparison of an almost immobile brachistochrone (the solid line), X = 1 000, with an ordinary brachistochrone (the dashed line). Initial conditions are as follows: а (0) = -, и (0) = 0, и '(0) = 1 Заключение В заключение кратко сформулируем основные полученные выше результаты. 1. Приведена наиболее общая система динамических уравнений, описывающая вращающуюся с постоянной угловой частотой в поле силы тяжести брахистохрону с учетом сил сопротивления. 2. Приведен подробный анализ полученных уравнений в отсутствии сил сопротивления. 3. Строго аналитически доказано, что в поле силы тяжести криволинейное движение может происходить только либо по параболе, либо по брахистохроне. Других траекторий в природе не существует. 4. Найдено численное решение уравнений (27) с начальными условиями (28) и с их помощью согласно неявной зависимости ц = ц(^,X,у) дана графическая иллюстрация возможных форм желоба в условиях его вращения.

Скачать электронную версию публикации