Comparison of advanced turbulence models for the Taylor-Couette flow.pdf Введение В настоящее время для решения задач турбулентности используются метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation - DNS) [1, 2], метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES) [3] и методы, направленные на замыкание осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations, RANS). Метод прямого моделирования DNS является сложным и требует больших вычислительных ресурсов, потому что реализация уравнений Навье-Стокса проводится в трехмерной постановке с расчетными ячейками, размеры которых меньше Колмогоровского масштаба. В последнее время в этом направлении в связи с развитием суперкомпьютеров достигнут большой прогресс: для некоторых классов турбулентности методом DNS получены результаты для числа Рейнольдса вплоть до 106. Однако для многих инженерных задач по турбулентности метод прямого моделирования все еще остается недоступным. Метод LES по сравнению с DNS может применяться для расчетов течений с существенно большими числами Рейнольдса. Однако при использовании метода LES для расчета течений вблизи стенки требуются расчетные ячейки, приближающиеся по своим характеристикам к ячейкам метода DNS [4]. Поэтому для технических приложений более применимыми до сих пор являются модели, базирующиеся на замыкании уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу. 126 Маликов З.М., Назаров Ф.Х., Мадалиев М.Э. Сравнение современных моделей турбулентности Таким образом, для инженерных расчетов требуются несложные модели турбулентности, достаточно точно описывающие усредненные поля и флуктуирующие параметры закрученных или вращающихся течений. Получившие широкое распространение в инженерных расчетах многие модели турбулентности RANS плохо описывают такие течения. Чтобы улучшить адекватность моделирования турбулентных закрученных течений, проводится модифицирование существующих RANS-моделей турбулентности. Например, в моделях SARC [5] и &-ш SST-RC [6] введены специальные поправки на вращение потока в ранее известных моделях SA [7] и &-Ш SST [8] соответственно. Однако в работе [9] отмечается, что в определенных случаях при сильном вращении потока эти модели также могут дать не совсем адекватные результаты. Объяснением этого явления является то, что данные модели основаны на гипотезе Буссинеска, которая справедлива для изотропных турбулентных течений, а в течениях с сильной закруткой наблюдается анизотропная турбулентность. Поэтому для расчета течений с анизотропной турбулентностью рекомендуется использовать модели без привлечения гипотезы Буссинеска. К таким моделям RANS можно отнести модели Рейнольдсовых напряжений, однако они очень громоздки и требуют много вычислительных ресурсов. Помимо этого, в данных моделях необходимо использовать специальные методики для обеспечения устойчивости и сходимости, а также очень много эмпирических констант и функций, которые сложно калибровать. Еще одним подходом к решению проблемы турбулентности является двухжидкостный подход Сполдинга [10]. Суть данного подхода заключается в том, что турбулентный поток делится на две жидкости по некоторым отличительным признакам потока. Например, для описания перемежаемости поток делится на ламинарный и турбулентный, в задачах горения - на сгоревший и не сгоревший газ и т.д. Сложнее обстоит дело с простым турбулентным потоком, где отсутствуют явные отличительные черты, по которым можно было бы разделить поток на две жидкости. Поэтому в следующей работе Сполдинга [11] предложено умозрительно разделить поток на «быструю» и «медленную» жидкости. С помощью этой модели были получены результаты, довольно точно предсказавшие турбулентные характеристики потока. Однако двухжидкостный подход Сполдинга не получил дальнейшего развития. Причина этого, по всей видимости, заключается в том, что для поиска некоторых параметров турбулентности в этой модели, как и в моделях RANS, привлекались дополнительные уравнения на основе различных гипотез. В результате число решаемых уравнений удваивалось по сравнению с RANS-моделями, что увеличивало вычислительное время. Развитие двухжидкостного подхода после достаточно долгого перерыва получено в работах [12-13]. В работе [12] дается методика построения математической модели турбулентности на основе двухжидкостного подхода. В этой работе проведена верификация новой модели на примерах уже изученных экспериментально задач турбулентности. Показано, что модель хорошо описывает начальный, переходной и автомодельный участки турбулентной затопленной струи, турбулентное обтекание плоской пластины, а также сильно закрученные потоки в канале с внезапным расширением. В работе [13] двухжидкостная модель успешно использована для расчета двухфазного потока внутри воздушного сепаратора. В этой работе показано преимущество новой модели по сравнению с линейными и нелинейными моделями RANS как по точности, так и по затратам вычисли-127 Механика / Mechanics тельных ресурсов. В упомянутых работах продемонстрировано, что модифицированная двухжидкостная модель является низкорейнольдсовой моделью и способна с высокой достоверностью описывать анизотропные турбулентные течения. Физическая и математическая постановка задачи В настоящей работе проводится сравнение современных популярных моделей турбулентности для потока в зазоре между вращающимися цилиндрами (течение Тейлора-Куэтта). Для этой цели использованы модели турбулентности SARC, &-ю SST, метод Рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-RSM-w2012 и двухжидкостная модель. Полученные результаты сопоставлены с известными экспериментальными данными, а также с результатами DNS. Модели SARC, &-ю SST и метод Рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-RSM-w2012 на сегодняшний день являются широко известными и изложены во многих научных работах и учебниках. А двухжидкостная модель турбулентности описана подробно в работе [12] и в общих чертах в работах [13-15]. Поэтому ниже приводится окончательный вид систем уравнений турбулентности на основе двухжидкостного подхода: дѵ‘+ѵ ,o^+ -др dt 1 dXj рду. dxj дѴ. дѴ, ѵ( тт- + ^)-313) дх,. дх, 03+ѵ =_з.-д^ +А дt 1 дхі 1 рдх OXj ѵі, = Зѵ + 2 дрѴ, дх, def (ѵ) дѴ дѴ, ѵ *( £+іХ) при І Ф j, F, F, + - + рр , ѵ„ = Зѵ + - 1 ЗА divS def (к) А дх,. (1) = о, ғг = -р к л fs = pCjotv х а. Здесь Kf - коэффициент трения: K, max + C2 ~d2~' (2) В данном выражении d - ближайшее расстояние до твердой стенки, Vax -наибольший корень характеристического уравнения det( A -1E) = 0, матрица дѴ, дх дѴ ---с с дх2 дѴ -^-+с. С 2 дхъ A = дѴ -^+C Сз дхг дѴ2 дх2 дѴ ---с С дх3 -°Ѵз- с.с2 дх1 -Ѵ + с. с, дх2 дѴ3 дхъ (3) и Q = rotV. 128 Маликов З.М., Назаров Ф.Х., Мадалиев М.Э. Сравнение современных моделей турбулентности В тестовых задачах показано, что хорошие результаты получаются при C = 0.7825, C = 0 306, C = °-2 • Моделирование турбулентного течения Тейлора-Куэтта Выше было сказано, что течением Тейлора-Куэтта называется течение жидкости в зазоре между вращающимися цилиндрами. Несмотря на кажущуюся простоту, течение Тейлора-Куэтта на самом деле является довольно сложным для многих моделей турбулентности. Эта задача - типичный пример анизотропной турбулентности. Такого типа движения рассматривали еще Рэлей [16] и Тейлор [17-18]. Ими показано, что при вращении только внутреннего цилиндра возникает анизотропный турбулентный поток [19-25]. Поэтому, как было сказано выше, для расчета таких течений используются трудоемкие модели турбулентности, которые учитывают анизотропию. Более сложное течение возникает, когда вращается и внешний цилиндр, потому что, с одной стороны, с увеличением скорости вращения увеличивается число Рейнольдса, что приводит к увеличению турбулентности потока, а с другой стороны, вращение внешнего цилиндра, как отмечается исследователями, может приводить к подавлению турбулентности. Поэтому в таком течении могут возникать ламинарная и турбулентная зоны. По этой причине многие модели турбулентности не способны адекватно описывать такие течения. Из соображений симметрии ясно, что для исследования рассматриваемой задачи удобной системой координат является цилиндрическая [26-27]. Чтобы расписать систему уравнений (1) в цилиндрических координатах, введем следующие обозначения х = r; х2 = ф; У = Уг; У2 = V?^ = Эг; Э2 = Эф . Уравнение неразрывности будет иметь вид: (4) дУФ , drVr _0 гдф гдг В силу симметрии должно быть -ф = 0, следовательно, из (4) получим дф У = 0 . Тогда система уравнений (1) примет вид: дУ (д2У дУ У 1 Ф _ _ф_|_ф_ф ді дЭф = ф д_ ді r2 дr дЭг _ 2 д_ ді r дr r дг (r X Эф), ^ дг2 гдг r2 j ( дЭ Э 'll r 2v фг _ф_ф ч дг r J. -(1 -C )Э - (гУ )-К,Э У *' r дЛ ф' f ф rv. дr . Ээ - C У)+ ^-K, Э, (5) Ѵфг= 3v + 2---Г фг \\дУ / дr - V / r r дr v = 3v + 2T Э Эг| ІдУ / cT - V / r ІӘ I Kf = cymax + C2 LT. В данной системе уравнений штрих означает производную по r, t - время, Ѵф -осредненная тангенциальная скорость, Э , Эг - относительные тангенциальная и 129 Механика / Mechanics радиальная скорости молей, ѵ - молекулярная кинематическая вязкость, ѵфГ, vrr -эффективные молярные вязкости. Известно, что турбулентность имеет трехмерный характер. Это означает, что в рассматриваемой задаче хоть и отсутствует движение в целом в осевом направлении, но присутствует флуктуирующая скорость. Однако в двухжидкостной модели влиянием их на тангенциальное движение пренебрегается. Для поиска Xmax составим характеристическое уравнение rV (1 - C) V = 0. (6) X -C. r X Корни данного уравнения равны X = ±4d . (7) При D > 0 Xmax =JD , при D < 0, Xmax = 0. Здесь D = Cs (1 - C ) - - (-V ) - д- ( ф) -(1 - Cs)V1 f( v). (8) Необходимо отметить, что режим течения определяется знаком выражения D. Если D < 0 , относительные скорости молей со временем затухают и поток стремится к ламинарному режиму, а при D > 0 бесконечно малые возмущения относительных скоростей могут расти, и в этом случае поток переходит в турбулентный режим. Из выражения (8) видно, что в нашей задаче D < 0 может быть, если д V -(rV )> 0 , фд-' ф' что наблюдается вблизи вращающегося внешнего цилиндра. Данное утверждение согласуется с классической теорией [13]. В нашей задаче присутствует две стенки. Поэтому для определения неизвестного d предлагается следующее выражение: 1 1 1 - =--1-d d d (9) В этих выражениях d\\ - ближайшее расстояние до первой стенки, d2 -ближайшее расстояние до второй стенки. Для исследования течения Тейлора-Куэтта рассмотрим по отдельности три задачи: 1) плоское течение Куэтта, которое является частным случаем рассматриваемой задачи при - ; 2) течение, вызванное вращением внутреннего цилиндра с фиксированным внешним цилиндром; 3) течение, вызванное контрвращением цилиндров, т.е. цилиндры вращаются в противоположных направлениях с одинаковой скоростью. Уравнения приведены к безразмерному виду соотнесением всех скоростей к скорости вращающегося цилиндра V0 0 d(Vpr dr происходит подавление турбулентности. С другой стороны, с увеличением числа Рейнольдса турбулентность должна усиливаться. Поэтому, как было отмечено выше, при таком течении Тейлора-Куэтта происходит подавление турбулентности, если D < 0 . Условие (14) является необходимым для подавления турбулентности, но не достаточным, поскольку в классических работах учитывается только роль центробежной силы, действующей на объем жидкости, а в двухжидкостном подходе учитывается еще и сила Сеффмена. В работе [12] показано, что именно сила Сеффмена играет решающую роль в возникновении турбулентности при плоскопараллельном течении. В рассматриваемой задаче цилиндры вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Следовательно, для решения поставленной задачи к системе (5) ставятся условия: V = -У0 при r = r и V = -V0 при r = r2. Ниже представлены численные результаты поставленной задачи для ^ = r / r2 = 0.917 . На рис. 7, 8 показаны результаты численного расчета для профиля тангенциальных скоростей при Re = 3 800 и Re = 47 000 соответственно. На этих графиках нанесены также результаты экспериментальных данных [33]. Из рисунков видно, что все модели дают адекватную картину для профиля тангенциальной скорости. Рис. 7. Безразмерные профили тангенциальной скорости при Re = 3 800 Fig. 7. Dimensionless tangential velocity profiles at Re = 3800 Рис. 8. Безразмерные профили тангенциальной скорости при Re = 47 000 Fig. 8. Dimensionless tangential velocity profiles at Re = 47000 Для рассматриваемого течения большой интерес представляет турбулентная вязкость потока. Поэтому на рис. 9, 10 представлены профили безразмерных турбулентных вязкостей при числах Рейнольдса Re = 3 800 и Re = 47 000. Здесь 135 Механика / Mechanics турбулентная вязкость соотнесена к молекулярной вязкости. Для определения турбулентной вязкости по двух-жидкостной модели использовано соотношение V ф r dV / dr - V„ / r t Рис. 9. Профили безразмерной турбулентной вязкости при Re = 3 800 Fig. 9. Dimensionless turbulent viscosity profiles at Re = 3800 Рис. 10. Профили безразмерной турбулентной вязкости при Re = 47 000 Fig. 10. Dimensionless turbulent viscosity profiles at Re = 47000 (15) 136 Маликов З.М., Назаров Ф.Х., Мадалиев М.Э. Сравнение современных моделей турбулентности Из рис. 9, 10 видно, что профили безразмерной турбулентной вязкости имеют почти симметричный вид и довольно сильно отличаются друг от друга. При этом минимальное значение вязкости у двухжидкостной модели, а вязкость по модели k-w SST почти в два раза больше. В работе [34] для определения характеристик потока в течении Тейлора-Куэтта предложены параметры Res = 2 |ц Re2 - Re1 1 + ц M 2щ2 Lxn ѵ 2 nr12 LU1 2%rl 2 LU2 U2 V dr F U = 2 ЦУ:гф-Vi іф 1 + ц Здесь L - длина цилиндра, гщ - напряжение трения. Для рассматриваемой задачи несложно получить Re = 2 Re, U = 2V0. Для верификации моделей на рис. 11 представлено сравнение численных результатов для коэффициента трения с экспериментальными данными. Здесь же приведены опытные данные работы [23]. Fig. 11. Friction coefficient as a function of the Reynolds number Res Из рис. 11 очевидно, что и в этом случае, кроме двухжидкостной модели, остальные модели дают завышенные значения для коэффициента трения. Однако довольно близкие к экспериментальным данным результаты получены и по методу Рейнольсовых напряжений. Это можно объяснить тем, что данная модель более адекватно описывает анизотропную турбулентность, чем линейные модели RANS, где используется гипотеза Буссинеска. Отметим, что двухжидкостная модель хорошо описывает и зону перехода от ламинарного режима к турбулентному. Заключение По численным результатам моделей турбулентности для течения Тейлора-Куэтта можно заключить, что практически все модели адекватно описывают 137 Механика / Mechanics профили скоростей. Однако они дают различные значения для турбулентной вязкости, следовательно, и для коэффициента трения. Сравнение численных результатов показало, что для коэффициента трения в течении Тейлора-Куэтта наиболее близкие к экспериментальным результаты получены при использовании двухжидкостной модели. Еще одним преимуществом двухжидкостной модели по сравнению с другими является ее устойчивость: если в моделях SARC, k-ю SST и методе Рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-RSM-w2012 для устойчивости требовались шаги интегрирования по безразмерному времени менее 0.001, то в двухжидкостной модели можно было проводить интегрирование шагом более 0.05.

Скачать электронную версию публикации