Pressure calculation for a fluid flowing in a plane wedge-shaped layer with account for inertial forces.pdf Введение Для математического описания ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в тонком зазоре, как известно [1-3], применяются уравнения Рейнольдса, называемые теорией смазки. Библиографические обзоры публикаций, посвященных учету инерции при расчете параметров течения смазочного слоя, приведены в [4, 5], из них следует, что для решения уравнений Рейнольдса с учетом инерции преимущественно используется метод Слёзкина-Тарга. Вопросы учета сил инерции при решении уравнений Рейнольдса для расчета течения смазочной жидкости в подшипнике скольжения также освящены в публикациях [6-9]. В работах [10-12] проводился гидродинамический расчет с учетом инерции по методу Слёзкина-Тарга. В публикациях [4-11] отмечается существенное влияние инерции на получаемые расчетом результаты, особенно на несущую способность тонкого слоя. В работах [13, 14] изучалась гидродинамическая модель клиновидной опоры скольжения, но без учета инерции смазочного слоя. Таким образом, уточнение широко используемого метода Слёзкина-Тарга -актуальная задача, и получение решения системы уравнений Рейнольдса с учетом инерции для плоского клиновидного слоя является целью данной работы. Постановка задачи: уравнения Рейнольдса Для жидкости в плоском клиновидном слое (рис. 1) система уравнений Рейнольдса с учетом сил инерции в прямоугольной системе координат в безразмерной форме имеет вид [1-3]: д2ы „ dp „ I ди = Re + Re I и dy dx ^ dx др=о, (1) dy ди dv + = о, dx dy 70 Кауров П.В. Определение давления при течении жидкости в плоском клиновидном слое где (штрихом обозначены размерные величины) и’ и v’ - проекции скорости жидкости на горизонтальную х' и вертикальную у' координатные оси соответственно; и = и’IU’ - безразмерная продольная скорость жидкости; U - скорость подвижной границы зазора; v = v'IU' - безразмерная поперечная скорость жидкости; х = x'IL' -относительная продольная координата; L' - длина зазора; у = y'IL' - относительная поперечная координата; Re = U'L'/и' - число Рейнольдса; и' - кинематический коэффициент вязкости; р' - гидродинамическое давление; p = p'I(p'Ua) - безразмерное гидродинамическое давление; р' - плотность жидкости. Рис. 1. Схема плоского клиновидного слоя Fig. 1. Schematic representation of a wedge-shaped layer Безразмерная форма зазора для клиновидного слоя (см. рис. 1) имеет вид: h(x) = h'IL' = a(1 + Zx), (2) где a - безразмерная величина начального зазора, a = a'IL'; Z - безразмерный параметр задачи, Z = tg(0)/a; Ѳ - угол наклона клина. Граничные условия для безразмерных скоростей и давления имеют вид: и(х, 0) = -1, и(х, h(x)) = 0, v(x, 0) = 0, v(x, h(x)) = 0, p(0) = 0, p(1) = 0. (3) Решение системы уравнений Рейнольдса (1) без учета сил инерции для плоского клиновидного слоя, зазор в котором изменяется согласно формуле (2), полученное при использовании граничных условий (3), имеет вид: безразмерное гидродинамическое давление: , ч 6Zx(1 - x) p0 (x) = , Rea(2 + Z )(1 + Zx)2 где Rea - смазочное число Рейнольдса, Rea = Re a2; безразмерная продольная скорость: = Re Ф,, OW dx 2 У У h (x) h(x) У h(x) -1; безразмерная результирующая сила гидродинамического давления: 6[(2 + Z )ln(1 + Z) - 2Z ] Rea Z2 (2 + Z) і P0 = j Podx 0 Решение уравнений Рейнольдса методом Слёзкина-Тарга По методу Слёзкина-Тарга [1] вместо проекции действительного ускорения на горизонтальную ось x вводится его осредненное по высоте слоя значение, равное (4) 1 h(f ( ды ды W = I ы + v I dy. h(x) j ^ dx dy) 71 Механика / Mechanics Решение уравнений (1) и (4) с использованием граничных условий (3) для плоского клиновидного слоя в данной работе получено в виде: безразмерная продольная скорость: W = uw = U + Re W У h(x) ’ T 2ф= fi + Zxf + (Zx)2 f h(x) dx J 0 15 [(2 + Z)(1 + Zx)]2’ 1 d f: = 20 + 35Z + 17Z2, f2 = 10 + 7Z + Z2, f = 8 + 8Z + 2Z2; безразмерное гидродинамическое давление: pw(x) = po(x) + pwo(x), Pw 0 ~ Z3 x ln(1 + Z) 7.5(2 + Z )(1 + Zx)2 ln(1 + Zx) 2 + 2 x 4 + x 2 x +---1--П--1--T Z Z2 Z3 7.5(2 + Z )(1 + Zx)2 ( Z3 x2 + 2Z2 x2 + 2Z3 x + 4Zx + Z + 2); безразмерная результирующая сила давления: Pw = Po + Pwo, 1 PW 0 _ J Pw 0 dx 2Z + Z2 - (2Z + 2)ln(1 + Z) 7.5Z (2 + Z) ' Для оценки влияния инерционных членов, получаемого решением системы уравнений Рейнольдса с учетом сил инерции по методу Слёзкина-Тарга, представим выражение для результирующей силы гидродинамического давления в виде: Pw = Po[1 + (Pwo/Po)] = Po(1 + Ap.w), где величина относительного отклонения Ap,w от линейного решения уравнений Рейнольдса без учета сил инерции для результирующей силы имеет вид: Ap,w = kw(Z) Rea. Зависимость величины Ap,w от смазочного числа Рейнольдса Rea при разных значениях параметра Z графически показана ниже. Решение уравнений Рейнольдса с учетом сил инерции по предлагаемому методу В предлагаемом методе в качестве нулевого приближения используются результаты решения уравнений Рейнольдса без учета сил инерции, т.е. выражения для uo и po, полученные ранее. Для первого приближения с учетом сил инерции решается уравнение Рейнольдса, записанное в виде: д2их эУ7 Re dp- + Re A0 dx 0 (5) где выражение для Ao, полученное с использованием уравнения неразрывности, имеет вид: (6) , ди ди y ди , Л = u„-f- Ьг dy ' dx дУ о dx Решение уравнений (5) и (6) с использованием граничных условий (3), будет иметь вид: 72 Кауров П.В. Определение давления при течении жидкости в плоском клиновидном слое безразмерная продольная скорость: U = Re dPi (У1 - h(x)y) dx 2 + u. h( x) -1, :П Adydy Я A dydy\\h h(x)J J ” ' ' 1h(x) безразмерное гидродинамическое давление: p\\(x) = po(x) + poi(x), Pol = 12 [/„ 1W + ft (x)I01 (1)], (7) x fp (x) = h ( x ) h (x) o x(2 + Zx)(1 + Z) dx, (8) (1 + Zx) (2 + Z) безразмерная результирующая сила: 1 Pi = Po + Poi, P01 = J p01dx. (9) 0 Для оценки влияния инерционных членов в первом приближении запишем выражение для результирующей силы гидродинамического давления в виде: Pi = P0[1 + (P0i/P0)] = P0(1 + Дрд), где величина относительного отклонения Др,1 от линейного решения уравнений Рейнольдса без учета сил инерции для результирующей силы гидродинамического давления, имеет вид: Дрд = kpi(Z) Rea. Зависимость величины Дрд от смазочного числа Рейнольдса Rea при различных значениях безразмерного параметра задачи Z показана на рис. 2 линией 2 с серыми кружками. После вычисления первого приближения аналогичным образом производится второе приближение, т.е. решаются уравнения д2и2 W Re & + Re Д. dx dui dx dux y du j f^ dy. dy i dx (10) Решение во втором приближении будет иметь вид: безразмерная продольная скорость: U = Re dP2(y2 - h( x) y).„ , y , dx 2 \\ h(x) UA1=JJAdydy - һУ) JJ A1dydyL( x); безразмерное гидродинамическое давление: p2(x) = p0(x) + p02(x), Po2 = 12 [/o2(x) + fp (x)102 (1)], (11) x ^ h(x) I02 = J J UA1dy 0 h (x) 0 (12) 73 Механика / Mechanics безразмерная результирующая сила: і P2 = Po + P02, P02 =j Р02dx . (13) 0 При вычислении интегралов в формулах (6)-( 13) использовался метод трапеций на равномерной сетке с шагом в 0.01. Рис. 2. Зависимость относительного отклонения Др от смазочного числа Рейнольдса Re„ при значениях безразмерного параметра задачи: Z = 0.4 (a), Z = 0.8 (b), Z = 1.2 (c), Z = 1.6 (d); 1 - Др,ж, 2 - Др,1, 3 - Др,2 Fig. 2. Relative deviation Др as a function of the lubricating Reynolds number Rea at dimensionless parameters of the problem: Z = (a) 0.4, (b) 0.8, (c) 1.2, and (d) 1.6; 1 - Ap,w, 2 - Др,1, and 3 - Др,2 Для оценки влияния инерционных членов во втором приближении запишем выражение для результирующей силы гидродинамического давления в виде: P2 = P0[1 + (P02/P0)] = P0(1 + Др,2), где величина относительного отклонения ДР,2 во втором приближении имеет вид: ДР,2 = ^P,1(Z) Rea + kP,2(Z) Rea2 + kP,3(Z) Rea3. Зависимость величины относительного отклонения ДР2 от смазочного числа Рейнольдса Rea при различных значениях безразмерного параметра задачи Z показана на рис. 2 линией 3 с белыми кружками. Заключение Решены уравнения Рейнольдса с учетом сил инерции для плоского клиновидного слоя по методу Слёзкина-Тарга относительно безразмерных величин: продольной скорости, гидродинамического давления и результирующей силы давления, в результате чего получены аналитические выражения для их определения в зависимости от смазочного числа Рейнольдса Rea и безразмерного параметра задачи Z. Предложен новый способ решения уравнений Рейнольдса с учетом сил инерции без осреднения инерционных членов по высоте зазора, результаты по которому достигаются расчетом путем простого численного интегрирования. 74 Кауров П.В. Определение давления при течении жидкости в плоском клиновидном слое Проведенный численный анализ предлагаемого метода показал, что величины отклонений для результирующей силы гидродинамического давления в плоском клиновидном слое в первом и во втором приближениях, во-первых, мало отличаются друг от друга на рассматриваемом интервале изменения смазочного числа Рейнольдса Rea при различных значениях безразмерного параметра задачи Z и, во-вторых, превышают величину отклонения, полученную по методу Слёзкина-Тарга при Rea > 0.5. Таким образом, совпадение первого приближения со вторым дает основание считать, что предлагаемый метод является более точным для расчетного определения результирующей силы гидродинамического давления при течении жидкости в плоском клиновидном слое.

Скачать электронную версию публикации