On the finite support property of Gul’ko-Khmyleva’s homeomorphism.pdf 1. Предварительные сведения и основные обозначения Всюду в этой работе мы называем гомеоморфизмом Гулько-Хмылёвой пример гомеоморфного отображения U:Cp(aN0N) ^-Cp(aN), (1.1) построенный в 1986 г. С.П. Гулько и Т.Е. Хмылёвой в статье [1]. Этот пример показал, что результат В.В. Успенского [2] о сохранении компактности равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций нельзя обобщить на случай произвольного гомеоморфизма. Данный результат, замечательный сам по себе, приобретает дополнительный интерес в связи с тем, что В.Р. Лазарев (см., напр.: [3]) выделил новый класс гомеоморфизмов пространств функций - так называемые гомеоморфизмы со свойством конечного носителя. Этот класс намного шире, чем линейные гомеоморфизмы, и несравним с классом равномерных гомеоморфизмов. Таким образом, возникает естественный вопрос: имеет ли гомеоморфизм (1.1) свойство конечного носителя. Ответу на этот вопрос и посвящена настоящая работа. Мы доказы-6 Аметова В.С., Лазарев В.Р. О свойстве конечного носителя гомеоморфизма Гулько-Хмылёвой ваем (теорема 4.1, следствие 4.2), что гомеоморфизм (1.1) не обладает свойством конечного носителя. Для тихоновского топологического пространства X символ СР(Х) означает множество всех непрерывных функций ср: X -> < . наделенное топологией поточечной сходимости. Таким образом, в частном случае, когда X - это компактифи-кация otN натурального ряда N одной точкой а , мы получаем известное пространство c сходящихся последовательностей, наделенное топологией покоординатной сходимости. Это пространство c топологически изоморфно (линейно го-меоморфно) пространству бесконечно малых последовательностей со, поэтому, следуя статье [1], мы не различаем эти пространства. Аналогично, пространство Ср (aN Ѳ N) может рассматриваться как произведение .ѵ х с,, с топологией покоординатной сходимости. В [1] также используется известный факт, что с0 линейно гомеоморфно своей счетной co-степени, взятой относительно стандартной нормы ||х || = | |(*і,- .хи,...)|| = max||хи|: п е Г]}. Однако для других целей эта норма в [1] и в данной работе не используется. В настоящей работе все топологические пространства заранее предполагаются тихоновскими, и поэтому, как известно, можно отождествить каждое такое пространство X с некоторым (замкнутым) подпространством в Cp (Cp ((X)) = CpCp ((X). В силу этого каждая точка х е X рассматривается одновременно и как (линейный непрерывный) функционал х: Ср (X) -> К , х(ср) = ср(х). Говоря о непрерывных отображениях вида f: Cp (X) ^ Cp (Y), мы по умолчанию предполагаем, что f 10 j = 0 , где 0,0- функции, тождественно равные нулю на пространствах X, Y соответственно. (Это предположение справедливо, как легко убедиться, и для всех гомеоморфизмов, описанных в разд. 3.) В частности, если пространство Y состоит из одной точки, Y = {у}, то Cp (Y) есть вещественная прямая и мы имеем f ^ 0X j = 0 . Запись f = 0 означает, что f (ф) = 0 для всех ф£ Cp (X). Отображение, сопряженное к и : Cp (X) ^ Cp (Y), - это отображение и* :С С (Y) ->С С (X), и*(/) = / °и. Хорошо известно, что если и - гомеоморфизм, то и * - изоморфизм топологических колец и, в частности, и* (0) = 0 . За дополнительной информацией по терминам общей топологии можно обратиться к [4], а по специальным вопросам теории пространств непрерывных функций - к [5]. 2. Отображения со свойством конечного носителя В этом разделе мы описываем класс гомеоморфизмов со свойством конечного носителя и нужные для дальнейшего свойства этого класса. Определение 2.1. Говорят, что функция / :Ср(Х) -- функционал с конечным носителем, если существует конечное K с X такое, что: 7 Математика / Mathematics 1. Для каждого s> 0 и фе Cp (X) существует S> 0 такое, что если maxЦф(х) -ф(х)|: х е К} 0 и феCp (Z). Так как f * (х) - функционал с конечным носителем, то найдётся 8j > 0 такое, что если фе Cp (Y) и maxЦg^)(x) -ф(у)|: у е Кх} 0 такое, что если р е Cp (Z) и maxjqXz)-p(z)|: z е К} ■ [0; +оо), р+ ((гъг2\\^\\Х2)) = К ~гі\\ + |52 “Г2І • Выберем произвольное число a > 0 и положим ak = a ■ (1 - 2~k), k e К . Для выбранного значения a зададим семейство гомеоморфизмов евклидовой плоскости t: Ж2 -»Ж2 таких, что все отображения ср^ : Ж2 х[0; 1] ->■ Ж2 , ср/. ((/j./,)./) = = Фк,t (Х r2 ) = (фІ,/ (Х r2 ); Фк,/ (r1, r2 )) непрерывны (т.е. являются автоизотопиями плоскости). Итак, зафиксируем k е N и рассмотрим (очевидно, непрерывные) функции zk :с0 -» Ж, zk(x) = min(x2,...,x/S;) , и tk : с0 -» [0; 1], где /Дх) = 1, а при к > 1 °, zk(х) < ак/2; tk (х) = < (2zk(х) - ak )!(ak+1 - ak ^ akl2 < zk(х) < ak+1/2; (3.1) 1, zk(х) > ak+i/2полагая Зададим значения Фі,t (rb ) при r1 > 0 затем Фк,t (-r1, r2 ) = Фк,t (r1, r2 ), Фк,t (0, r2) = (0, r2). Пусть все отображения Фк,t тождественны при r2 > r1 > 0, 9 Математика / Mathematics а также при |rj| < ak . При r1 > ak и r2 < rx каждая точка r = (r1,r2) принадлежит единственному множеству ^b(r) = a; b(r)] x{-b(r)} 'u{b(r)}x[-b(r); b(r)], где b(r) = b(r\\,r^) = max(rj, - r2) . (3.2) Все отображения ,t определены так, что ф£,t (Гь(г)) = Гь(г) . Действительно, пусть J :^ГЙ(-Г),р+ j ^-[я^;3й(г)] сК - такая изометрия, что J([ak,b(r)\\x{-b(r)}) = \\ak,b{r)\\, У({й(г)}х[-й(г);й(г)]) = [Z>(r);3Z>(r)]. Рассмот рим функцию фki:[ak ;3b(r)] ^ [ak ;3b(r)] с графиком в виде ломаной с наименьшим возможным числом звеньев, такую, что уw(ak) = ak, уki(3b(r)) = = 3b(r) , Фи (am) = 2b(r) + aml2 при ak < am < b(r) , ^k 1 (b(r)) = 5b(r)/2 , фи (a) = = 2b(r) + a/2 при a < b(r). При 0 < t < 1 полагаем ф^ (s) = s +1 -(y^(s) - s), s e \\ak; 3 b(r)\\. Наконец, пусть ф^ t = J-1 °\\\\ikt°J при всех 0 < t < 1. Из такого определения фk t следует, что фk о - тождественное отображение, и при ak < am < b(r) Ф*,/(«т=-6(г)) = Ф{г),ат/2) . (3.3) Теперь для каждого k е N зададим гомеоморфизм ик :с0 -> с{) формулой uk (x) = uk (*1>x2,- = xk , xk+1 = xk+2,-) = / 1 2 , \\ (3.4) = \\^k,tk(*) (X1 ,xk+llx2,-,xk, Ч>Шх) (*1> xk+1). ■xk+2> ■■ ■■ ■ j ■ Далее, определим гомеоморфизмы vn :c0 -> c() правилом vn = un и по ложим v(x) = lim vn (x) для всех x e со. В статье [1] доказано (предложение 1 и v лемма 2), что v: G ^ со - гомеоморфизм, где G = {x e со : xi < a} . Зададим еще ото- 2a бражение и0 :Жхс0 -правилом м0(г,х) =--arctgr,x1,...,xn,... и положим {п ) и = ѵ н(). Понятно, что таким образом мы получили гомеоморфизм м:1хс0 ->cq. В [1] доказано, что при этом выполнено неравенство Щи (r, x)|| - j|x||| < a. Полагая в описанном выше построении a = 1/n , получим гомеоморфизмы U„ lxc0 -> с(> такие, что |||С/и(г,х)||-||х||| М заданные формулой Рп (х) = хп для всех х = (х1,...хи,...) е Ср(аЫ). Как уже отмечалось в разд. 2, функционал такого вида имеет одноточечный носитель {п}. Так как мы условились не различать (линейно гомеоморфные) пространства ('р (■ М, Ра(х) = lim хп = 0 - нулевой функционал, и потому его носи- П-»СО тель пуст (предложение 2.2). Так как при отображениях, сопряженных к гомеоморфизмам пространств функций, нулевой функционал переходит в нулевой функционал, это позволяет ниже не рассматривать функционал Ра и не следить за преобразованиями его носителя. Ниже без изменений используются обозначения из предыдущего раздела. Теорема 4.1. Функционал и*(р) не имеет конечного носителя. Доказательство. Пусть, напротив, К caN - конечный носитель функционала и*(р). Тогда К\\{(х}~ конечное подмножество в КЮ{0}, и потому существует натуральное число п > 2 такое, что К\\{а} с {0,1,...,п}. Покажем, что условие 1 определения 2.1 не выполняется. 1 2 Пусть s = l/2. Рассмотрим последовательности у , у е К х с0 , совпадающие на множестве K, а именно у1 =^tg,(0,...,0,-(а +1),0,...)j , у2 =^tg ,(0,...,0,ап,0,...)j, где нули в начале последовательностей повторяются п - 2 раза. По определению отображений u, Uq (см. предыдущий раздел) и*(Р)(у1) = Р (v(uq (У1))) = Р (ѵ(*п,0,..., 0, -(а +1), 0,...)) , и*(Р1)(у2) = P(v(uq(у2))) = Р1 (ѵ(ап,0,...,0,ап,0,...)) . 1 2 Для последовательностей х = (ап,0,...,0, -(а +1),0,...), х = (ап,0,...,0,ап,0,...) имеем х , х е Оп с Оп+1, где = |х е cq : х1 < а^ |. Поэтому ([1. Лемма 2]) ѵ(х1) = ѵп(х1) = ип (ѵп-1(х1)), ѵ(х2) = ѵп(х2) = ип (ѵп-1(х2)). (4.1) Дальнейшее рассуждение распадается на n шагов, начиная с последовательностей х , х . На j-м шаге (j > 1) рассматриваются последовательности, полученные на шаге j - 1. По формуле (3.1) для них находим значения функций 11 Математика / Mathematics Zj, tj. Затем рассматриваем точки плоскости, определяемые 1-й и j +1 -й координатами этих последовательностей, и по формулам (3.2 ), (3.3) находим значения гомеоморфизма ф,t в этих точках плоскости. Наконец, по формуле (3.4) находим значения гомеоморфизма u j (новые последовательности) и переходим к шагу j +1. 1 2 На первом шаге, по определению, ti(x ) = ti(x ) = 1. По формулам (3.3) получаем ф 11 (an,0) = (an,an/2). Подставляя эти координаты в формулу (3.4), получим u^x1) = {an,an/2,0,...,0,-(a + 1),0,...) . После n - 2 -го шага, учитывая равенство ѵи_2 =un_2 ... 1Қ . можем записать vn-2 (x1) = (an, an/ 2,..., an/ 2, -(a +1), 0,...) , vn-2(x2) = (an,an/2,...,an/2,an,0,...) . Применим теперь un-1. Так как zn-1 (an, an/2,..., an/2, -(a +1),0,...) = = Zn-1 (vn-2 (x1)) = an/ 2 = a(n-1)+1/ 2 , то tn-1 (vn-2 (x1)) = 1 . AналогИЧно, из Zn-1 X x( an, an /2,..., an /2, an ,0,...) = an /2 и формулы (3.1) следует, что tn-1 (vn-2( x2)) = 1. Поэтому фп-1 1 (an, -(a +1)) = (a + 1, an/2), фи-11 (an, an ) = (an, an ) и, таким образом, vn-1(xl) = un-1 (vn-2 (xl)) = (a +1 an/ 2,..., an/ 2 an/ 2, 0,...) , vw-l(x2) =(an, an/2,..., an/2, an ,0,...)=v„-22 . Далее, для i = 1,2 имеем zn (vn-1 (xl)) = an/ 2 < an+12, что влечет tn (vn- (x1)) = 0 , а это, в свою очередь означает, что отображение un оставляет точки vn-1 (xl). i = 1,2, неподвижными: vn (xl ) = un (vn-1(xl) ) = vn-1(xl ) > i = 1, 2 . Учитывая (4.1), заключаем, что v(x1) = v(u0 (y1)) = u( y1) = (a + 1, anl 2,..., an/ 2, a„/ 2,0,...), v(x2 ) = v(u0 (y2 )) = u( y2 ) = (an, a„/2,..., an/ 2, a„, 0,...). Таким образом, u* ОР1ХУ) - u* (P)(y2) = P1(u( y1)) - P1(u(y2)) = a +1 - a„ > 1 >e . ■ Следствие 4.2. Гомеоморфизм м не имеет свойства конечного носителя. Доказательство. Утверждение прямо следует из определений 2.3, 2.4 и теоремы 4.1. ■ Следствие 4.2 означает, что ни один гомеоморфизм Un не имеет свойства конечного носителя. Следствие 4.3. Гомеоморфизм U не имеет свойства конечного носителя. 12 Аметова В.С., Лазарев В.Р. О свойстве конечного носителя гомеоморфизма Гулько-Хмылёвой Доказательство. Определение отображения U позволяет без потери общности считать, что 1 е Щ. Следовательно, для r е s и x е с0 имеем U* (Pi)(r, x) = Pi (U(r, x)) = Pi (Ui(ri, x1), U2(r2, x2),...) = = Pi (UiOi,xi)) = Ui*(Pi)(ri,xi). По теореме 4.1, функционал U*(Pi) не имеет конечного носителя, следовательно, таков же функционал U*(Pi). Осталось применить определения 2.3, 2.4. ■ Замечательно, что остальные функционалы u* (Pn), n > i, имеют конечные носители. При установлении этого факта мы будем опираться на замечание 2.6. Лемма 4.4. При n > i носитель функционала u*_i(Pn) содержится в множестве K (n) = {i,..., n}. Доказательство. Достаточно показать, что множество K(n) = {i,...,n} удовлетворяет условию 1 определения 2.1. Пусть s> 0, x е су,. Так как функции zn_i :с0 ->Ш , !п_\\ :с0 -непрерывно зависят от координат х2,...,хи_1 точки х (см. разд. 3), то отображение сри_1? :с0 ->Ж непрерывно зависит от координат xi,x2,...,xn_i,xn этой точки (см. там же). Поэтому, существует 8>0 такое, что для любого x’ е W(x;i,...,n;8) выполняется неравенство Р (Фи-1,/л_1(1 )ХХ,Хп ), Х-^цХХ Хп )i i функционалы v* (Pm) имеют конечные носители. Доказательство. Фиксируем произвольное т > 1. Согласно замечанию 2.6, достаточно указать конечное подмножество S в aN, содержащее носитель v* (Pm), т.е. удовлетворяющее условию 1 определения 2.1. По определению отображения ѵ, для всякого х е с0, ѵ(х) = lim ѵи(х) = lim (un ... щ)(х). Следоn-> CO n-> OO 13 Математика / Mathematics вательно, в силу непрерывности функционала Pm и определения гомеоморфизмов un при n > m, можем записать ѵ* (Рт Xх) = Рт (v(x)) =Рт\\ lim со = -Рт ((мт-1 °-°MlXX>) =Mf (...И*_і(Рт))(х), т.е. ѵ (Pm) = uj l...um_1(Pm)І. Таким образом, по лемме 4.4 и замечанию 2.6, достаточно рассмотреть функционалы u*{...um_2(Pk)|, где k = 1,...,m, и для каждого из этих функционалов указать конечное множество, удовлетворяющее условию 1 определения 2.1. Леммы 4.4-4.6 показывают, что на втором шаге рассуждения придется рассмотреть функционалы u*|...um_3(P)|, где по-прежнему к = 1,...,m. Леммы 4.4-4.6 гарантируют, что на следующих шагах набор функционалов Pi,..., Pm, к которым применяются сопряженные гомеоморфизмы, не изменится. Стало быть, по замечанию 2.6, носитель функционала ѵ* (Pm) содержится в объединении (конечных) множеств, каждое из которых удовлетворяет условию 1 определения 2.1 для функционала u* (Pk), k = 1,...,m. Снова по леммам 4.4-4.6 заключаем, что достаточно взять объединение носителей функционалов Д,...,Pm. Таким образом, искомое множество - S = {1,..., m}. ■ Так как носители функционалов ііц(/}.). к = 1.....т. в пространстве ocNcj{0} отличаются от носителей І\\_Рт в aN самое большее присоединением точки О, то получаем Следствие 4.9. При m > 1 функционалы u* (Pm) имеют конечные носители. 5. Заключительные замечания Итак, в предыдущем разделе мы установили, что гомеоморфизм Гулько-Хмылёвой не имеет свойства конечного носителя. Этот результат оставляет открытым следующий интересный Вопрос 5.1. Пусть u : Cp (X) ^ Cp (7) - гомеоморфизм со свойством конечного носителя. Верно ли, что если пространство X компактно, то и Y компактно?

Скачать электронную версию публикации