О решении краевой задачи для неоднородного уравнения эллиптического типа с использованием многочленов Лежандра и Чебышева
Выполняется построение решения неоднородного эллиптического уравнения четвертого порядка в рамках теории Кирхгофа-Лява тонких изотропных пластин с использованием полиномов Лежандра и Чебышева первого рода. Предполагается, что область интегрирования представляет собой прямоугольник. В качестве граничных условий используются такие типы граничных условий, которые соответствуют защемлению по контуру прямоугольной пластины, шарнирному опиранию и их комбинации. Функция, аппроксимирующая решение рассматриваемого уравнения, представляется в виде конечной суммы ряда этих полиномов для каждой независимой переменной. С использованием метода коллокации в сочетании с матричными преобразованиями и свойствами многочленов Лежандра и Чебышева краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при разложении искомой функции по этим полиномам. При этом в качестве точек коллокации применяются нули многочленов Лежандра и Чебышева для каждой независимой переменной. Представлены результаты расчетов с использованием предложенного метода изгиба квадратной тонкой изотропной пластины при рассматриваемых граничных условиях под действием распределенной нагрузки интенсивностью определенного вида, приводящего к аналитическому решению соответствующей краевой задачи. Как показало сравнение, построенные решения с высокой степенью точности совпадают с аналитическими решениями.
Ключевые слова
неоднородное эллиптическое уравнение высокого порядка,
ортогональные многочлены,
изгиб тонких изотропных пластинАвторы
| Гермидер Оксана Владимировна | Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова | кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерных конструкций, архитектуры и графики | o.germider@narfu.ru |
| Попов Василий Николаевич | Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова | доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей и прикладной математики | v.popov@narfu.ru |
Всего: 2
Ссылки
Алцыбеев Г.О., Голоскоков Д.П., Матросов А.В. Метод суперпозиции в задаче изгиба за щемленной по контуру тонкой изотропной пластинки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2022. Т. 18, № 3. С. 347-364. doi: 10.21638/11701/spbu10.2022.305.
Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966.
Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Метод коллокации и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 6. С. 31-43.
Шапеев В.П., Брындин Л.С., Беляев В.А. hp-Вариант метода коллокации и наименьших квадратов с интегральными коллокациями решения бигармонического уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. 2022. Т. 26, № 3. С. 556-572. doi: 10.14498/vsgtu1936.
Беляев В.А., Брындин Л.С., Голушко С.К., Семисалов Б.В., Шапеев В.П. H-, P- и HPварианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62, № 4. С. 531-552. doi: 10.31857/S0044466922040020.
Mai-Duy N., Strunin D., Karunasena W. A new high-order nine-point stencil, based on integrated-RBF approximations, for the first biharmonic equation // Engineering analysis with boundary elements. 2022. V. 143. P. 687-699. doi: 10.1016/j.enganabound.2022.07.014.
Shao W., Wu X. An effective Chebyshev tau meshless domain decomposition method based on the integration-differentiation for solving fourth order equations // Applied Mathematical Modelling. 2015. V. 39 (9). P. 2554-2569. doi: 10.1016/j.apm.2014.10.048.
Ye X., Zhang Sh. A family of H-div-div mixed triangular finite elements for the biharmonic equa tion // Results inApphed Mathematics. 2022. V. 15. Art. 100318. doi: 10.1016/j.rinam.2022.100318.
Моханти Р.К., Каур Д. Компактная разностная схема высокой точности для одномерной нестационарной квазилинейной бигармонической задачи второго рода: приложение к физическим задачам // Сибирский журнал вычислительной математики. 2018. Т. 21, № 1. С. 65-82. doi: 10.15372/SJNM20180105.
Lytvyn O.M., Lytvyn O.O., Tomanova I.S. Solving the biharmonic plate bending problem by the Ritz method using explicit formulas for splines of degree 5 // Cybernetics and Systems Analysis. 2018. V. 54. P. 944-947. doi: 10.1007/s10559-018-0097-x.
Зверяев Е.М., Коваленко М.Д., Абруков Д.А., Меньшова И.В., Кержаев А.П. О разложениях по функциям Папковича-Фадля в задаче изгиба пластины. М., 2019. doi: 10.20948/ prepr-2019-38 (Препринты Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН; № 38).
Щербаков И.В., Люкшин Б.А. Моделирование поведения отклика ортотропной пластина: при воздействии динамической нагрузки // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. Т. 61. С. 111-118. doi: 10.17223/19988621/61/10.
VentselE., Krauthammer Th. Thin plates and shells. Theory: analysis and applications. Boca Raton: CRC Press, 2001.
Shanmugam N.E., Wang C.M. Analysis and design of plated structures. 2nd ed. Woodhead Publishing, 2022. doi: 10.1016/C2020-0-00441-X.
Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.
Shen J., Tang T., Wang L. Spectral methods. Heidelberg; Berlin: Springer, 2011.
Mason J., Handscomb D. Chebyshev polynomials. Florida: CRC Press, 2003.
Liu S., Trenkler G. Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products // International Journal of Information and Systems Sciences. 2008. V. 4 (1). P. 160-177.
Hildebrand F.B.Introduction to numerical analysis. 2nd ed. New York: Dover Publications, 1987.
Вы можете добавить статью