On polynomial homeomorphisms of spaces of continuous functions .pdf В настоящей статье рассматриваются только вполне регулярные топологические Ti-пространства (иначе говоря - тихоновские пространства), поэтому в дальнейшем они называются просто пространствами.Для каждого пространства X через Cp(X) будем обозначать пространство непрерывных вещественнозначных функций на Х, наделённое топологией поточечной сходимости. В пространстве Ср(Ср(Х)) мы выделяем подпространствоCpCp (X), состоящее из непрерывных функций f обращающихся в ноль на нулевом элементе ОХ пространства Cp(X). Элементы пространства С0 Cp (X) мы называем функционалами. Введём в рассмотрение специальный вид функционалов.Определение 1. Пусть x еXn - упорядоченный набор (xb..., xn) точек пространства Х, а = (он,..., а„) - мультииндекс. Обозначим через xa = xa xa"функционал, заданный правилом xa(p) = p(xv f'1 -p(xn)а", где феСр(Х). Полиномами будем называть функционалы видаm p =■ xa; |a| = a1 + + an = k} (все baeR\{0}).k=1При этом множество {x1v..,xn} будем называть носителем полиномар и обозначать через К(р).Ясно, что все полиномы суть элементы пространства С0 Cp (X), так как, поданному определению, в них отсутствуют члены нулевой степени. Для некоторого пространства Х множество всевозможных полиномов обозначим через Мр(Х).Итак, Mp (X) с C0 Cp (X) . Понятно также, что при m = 1 мы получаем обычныелинейные непрерывные функционалы (см. [1. С. 25]), так что Lp(X) с Mp(X). Множество Мр(Х) не замкнуто ни относительно сложения, ни относительно умножения в СрCp (X). Действительно, разность полиномов x2 + Xjx2 + x2 иx2 - XjX2 + x2, равная 2x1x2, уже не принадлежит Мр(Х), так как здесь m = 2, но коэффициенты при x2 и x2 равны нулю в противоречие с определением. То же можно сказать о произведении элементов x1, x2 из Мр(Х). Лишь операция умножения на скаляр не выводит за пределы Мр(Х). В [2] доказано, что Мр(Х) есть всюдуплотное подмножество в С°Ср (X). Очевидна следующаяЛемма 1. Если^Мр(Х), фе Cp(X) и tp(x) = 0 при всех xeK(f ), тоf (ф) = 0.В дальнейшем мы отождествляем точки х пространства Х с функционаламивычисления x' из С°Ср (X), ^(ф) = ф^). Такие функционалы обозначаем простобуквой х: x^) = ф^), где фе Cp(X).Рассмотрим теперь пространства Х, Y , для которых существует гомеоморфизм h: Cp(X - Cp(Y). Не теряя общности, можно считать, что h(OX) = Oy, и поэтому h порождает сопряженный гомеоморфизм И* : CpCp(Y) - CpCp (X), h*(f = f° h.Будем обозначать h (у) через у , а h -1(x) через х . Напомним, что такие простран-tства X, Y называются ^-эквивалентными, это записывается как X ~ Y. Если же h линеен (соответственно равномерно непрерывен вместе с h-1), то X, Y называются/-эквивалентными (это записывается как X ~ Y) (соответственно и-эквивалент-uными, X~Y).Определение 2. Гомеоморфизм h: Cp(X) - Cp(Y) назовем полиномиальным, аp *пространства Х и Y - ^-эквивалентными ( пишем X ~ Y), если у еМр(Х), а x еМр(Y) при всех х из Х, у из Y.ip tЗамечание. Из вышеизложенного следует, что X~Y => X~Y => X~Y, однако неизвестна связь между p- и и-эквивалентностью.Следующий элементарный пример показывает, что полиномиальные гомеоморфизмы существуют и, за исключением тривиальных случаев, не являются равномерными. Однако автору не известно, могут ли пространства X, Y быть р-экви-валентными, не являясь при этом и- и даже /-эквивалентными.Пример. Пусть X = {x1, x2}, Y = {у1,у2} - дискретные двоеточия. Стало быть, Cp(X) = Cp(Y) = R2. Определим отображение h: Cp(X) - Cp(Y) правилом /г(ф)(у0 = ф3^) - ф(x2), h(ф)(y2) = ф^). Тогда формулы h-1(\|/)(x1) = уОъ), h-1(\|/)(x2) = у3(у2) - ¥(у1), как легко видеть, определяют обратное к h отображение. Значит, h взаимно однозначно и, очевидно, непрерывно вместе с h-1. Далее,h* (yi) (Ф) = y* (ф) = yi (а(ф)) = а(ф) (yi) == ф3 (xi)" Ф (x2) = xi (ф)" x2 (ф)> откуда y* = x3 - x2. Аналогично,h* (y2 ) (ф) = y* (ф) = y2 (Кф)) = h(ф) (y2 ) = ф (x1 ) = x1 (ф) ,откуда y*2 = xj.Таким же образомh*1 (xi) О) = x* (V) = xi (h-1 (V)) = («-1 (V)) (xi) = V (y2) = y2 (V) ,откуда x* = y2 , и(x2 ) (v) = x2 (v) = x2 ((v)) = (v) (x2 ) == V3 (y2)-¥(yi) = y2(V)-yi(¥),откуда x* = y2- yi.Заключаем, что гомеоморфизм h - полиномиальный. Нетрудно также показать, что он не является равномерно непрерывным. Действительно, выберем две последовательности (ф„)ИЕц, (уп)п^ из CP(X), положив фи(х0 = n, ф„(х2) = 0, \|/(xi) = n+n-1, yn(x2) = 0 при всех n. Легко вычислить, что max |\|/и -фи| = n- --^ > 0 , в товремя как max|h (уn) - h (фи )| > 3n, откуда и следует наше утверждение. ■Всякий полиномиальный гомеоморфизм h: Cp(X) - Cp(Y) определяет конечно-значные отображения S: Y - X, S(y) = K(y ) и S ': X - Y, S '(x) = K(x ), которые, конечно, играют равноправную роль. Поэтому в дальнейшем рассуждения, не требующие рассмотрения обоих отображений, будут проводиться относительно отображения S.Лемма 2. Пусть yeY, |S(y)| = k(y), {t/1v.., Цвд} - произвольная дизъюнктная система (открытых) окрестностей точек x1v.., xkfy) из S(y). Тогда у точки у найдется окрестность Vy, целиком состоящая из точек z, для которых S(z)nU, Ф 0 для всех i = 1,..., k(y).Доказательство. Рассмотрим семейство функций {фь..., фад} с Cp(X), такое,k(y) ^что ф,^,) = ti, Фг-|ХУ7, = 0. Положим Vy = Р (h(срг-)) 1 (R\{0}). ТогдаyeVy. Действительно, зафиксируем j, 1 < j

Скачать электронную версию публикации