On the geometry of и-ordered groups .pdf 1. Теорема о двух базисахМы придерживаемся определений n-упорядоченного множества и группы, изложенных в [1, 2] При n = 1 получаем линейно упорядоченные группы [3]. Циклически упорядоченные группы 2-мерно упорядочены [4, 5]. Группа H8 допускает 4-упорядочивание [6].Теорема 1.1. Пусть A и B - два базиса n-мерного линейного пространства L, A = (ab an) над R. Тогда можно так упорядочить базис B: B = (an+b..., a2n), что для каждого к, 1 < k < n + 1, множество (ak,..., ak+n.{) есть базис L.Доказательство. Нумерацию элементов базиса B зададим по индукции.1) Пусть xeB. Рассмотрим множество (a2,..., an, х).Если это множество линейно зависимо, то существуют такие c2,..., cneR, что c2a2 + ... cnan + cn+ix = 0, где cn+i^ 0, так как (a2, an) линейно независимы. Следовательно, x равен линейной комбинации элементов a2, ..., an. Итак, для каждого xeB выполнено одно из двух:1)x равен линейной комбинации элементов a2, . „, an;ii) множество (a2,..., an, x) линейно независимо, то есть (a2,..., an, x) есть базис L.Если бы i) выполнялось для всех xeB, то множество B было бы линейно зависимым. Итак, существует такой x0eB, что множество (a2,..., an, x0) линейно независимо. Обозначим an+i = x0.2)Пусть an+b..., an+seB и таковы, что все множества (a*,..., ak+n где 1 < k < s + 1, линейно независимы. Опишем выбор элемента an+s+ieB. По предположению индукции, множество (as+b..., an+s) линейно независимо. Следовательно, линейно независимо и множество из (n - 1) элемента (as+2,..., an+s).Аналогично 1) найдётся такой xeB, что множество (as+2,.--, an+s, x) линейно независимо. Обозначим an+s+i = x. Теорема доказана.Теорема 1.2. Пусть A и B - два базиса n-мерного линейного пространства L без общих элементов. Тогда существует не менее 2n различных базисов пространства L, составленных из элементов множества AuB.Доказательство. Пусть k < n, где n = |A| + |B|. Из множества A выберем к произвольных элементов atiaik. По предыдущему, найдётся такое множествоэлементов (a, ....,a, ) из B, что (a, ....,a, ,a, ....,a, ) есть базис линейного пространства L. Выбирая различными способами подмножества (aiiaik) множества A, получим Ckn различных базисов пространства L, каждый из которых содержит к элементов из A.Меняя к от нуля до n, получим всего С" + C +... + C" = 2" базисов L.2. Теоремы о гиперплоскостях в упорядоченной группеТеорема 2.1. Пусть P есть (n-^-мерная плоскость в n-упорядоченной группе G, aЈP, A с P, B с P, |A| = |B| = n, A n B = 0.Если Z(A, a) Ф 0, Z(A, b) Ф 0, A = (ab an), то найдётся такая нумерация элементов множества B = (an+1,..., a2n), что для каждого натурального к, 1 < к < n + 1, выполнено) ф 0.Доказательство. Так как множество S = AuBu{a} является n-упорядоченным и его мощность равна (2n + 1), то это множество реализуемо в Rn. Пусть f есть инъекция S в Rn, реализующая порядок Z как ориентацию г\ в Rn.Обозначим векторf (x) -f (a) через x . ПоложимA = (ф(x) - ф(а) | x ё A} , B = (ф(x) - ф(а) | x ё B} .Теперь A и B есть базисы Rn. По теореме 1.1 можно так упорядочить множество B = (an+1,...a2n), что при каждом натуральном к, 1 < к < n + 1, множество(akan+k _j) есть базис Rn, следовательно, Z(ak,..., ak+n-1) Ф 0.Теорема 2.2. Пусть - n-упорядоченная группа, множество A = {a1, ak+1} - к-грань . Для того чтобы плоскость PA была подгруппой группы G, необходимо и достаточно, чтобы V/, j ё1, k +1 (a;ayePA).Необходимость очевидна.Достаточность. Пусть V/, j ё 1, k +1 (a;0/ePA). Покажем, что PA < G. Рассмотрим произвольный элемент xePA, тогдаVCeGn-k-1 (Z(A, C, x) = 0).Функция порядка Z согласована с алгебраической структурой группы G, поэтомуV/ ё 1, k +1 VCe Gn-k-1 (Z(Aa;, Ca,-, xa,-) = 0).Из леммы 5 получаем, что Aa, и xA являются k-гранями . Из леммы 4 вытекает, что для всех i справедливо xai ё PAa,, но тогда xA с PAa,. По теореме 1получаем, что PxA = PAa;. По условию для всех i выполнено Aa,cPA, следовательно, (теорема 1) PAa, = PA. Таким образом, PA = PxA. Пусть теперь у - произвольный элемент PA, тогдаVCeGn-k-1 (Z(xA, C, у) = 0). Умножая слева все аргументы функции Z на x-1, получимVCeGn-k-1 (Z(A, x-1C, x-1y) = 0).Из леммы 4 получаем, что yx-1ePA. Таким образом, для любых x и у из PA элемент yx-1 тоже принадлежит PA. Поэтому PA < G. Теорема доказана.3. Один класс 4-мерно упорядоченных конечных групп.В этой работе будем придерживаться определения n-упорядоченных групп, введенных в [1]. Тоболкиным А.А. доказано, что мультипликативная группа кватернионов H допускает 4-упорядочивание и не допускает n-упорядочивания при n, [-1, если h .Тогда для всех натуральных t выполнено: hz'nДоказательство ведется индукцией по t. Лемма 3.3:H8Cn < H.Доказательство. Пусть x, yeH8Cn, тогда существуют h1, h2eH и t1, t2eZ, такие, что x = Aje^J, y = А2еП, . Имеемxy = h,e*he'* = h1h2s' +f (h* e H8C„ ,x-1 = (h^1)-1 = Ј-n'1 h-1 = h1-1Ј-f(h")h e H8Cn. Следовательно, H8Cn является подгруппой группы H.Теорема 3.4. Существует бесконечно много конечных групп, допускающих 4-упорядочивание.Доказательство. Группа H8Cn конечна, так как является произведением конечных групп. Группа H допускает 4-упорядчивание, значит, и каждая ее подгруппа, содержащая невырожденную пятерку элементов, будет допускать 4-упорядочивание. Порядок, индуцируемый с H на H8Cn, не вырожден для всех n ф 1, 2, 4, так как в H8Cn есть невырожденная пятерка: 1, i, j, k, sn.Следовательно, при n > 5 4-мерный порядок на H8Cn не вырожден. Заметим, что при m, n > 5 выполненоH8Cn = H8Cm О n = m.Поэтому множество { H8Cn }n > 5 состоит из счетного числа конечных 4-упорядоченных групп. Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации