On some sequence of Hilbert space elements, which isnot basis .pdf Хорошо известно понятие наклона 8(Hb H2) двух подпространств H\, H2 гильбертова пространства H, введенное М.М. Гринблюмом в [1]:8(Hi,H2) = inf н |K + h2\\,h eS (ff ),Й2 eff 2где S(Hi) = (йеНь = 1} - единичная сфера.Также известен следующий критерий, сформулированный Гринблюмом в [2]:Теорема. Для того чтобы последовательность {hn }"=1 была базисной, необходимо и достаточно, чтобы существовало число 8 > 0, такое, что при всех neN8(L„, Ln) > 8 > 0,где Ln = L({hk}=l), Ii = L({hkYl=n+l), L(M) - замкнутая линейная оболочка множества M с N.В данной работе строится последовательность {hn }"=1 элементов гильбертовапространства H, которая не является базисной в пространстве H и, следовательно, не удовлетворяет данному критерию.Поскольку все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству всех суммируемых в квадрате последовательностей /2, то мы рассмотрим такую последовательность в гильбертовом пространстве /2. Норма и скалярное произведение в данном пространстве задаются следующими формулами:INI = \ El для любого x = (x(1), x(2),..., x(n),...)e/2;oo (x,у) = Z x(i)y(i) для любых x = (x(1), x(2),..., x(n),...)e/2,y = (y(1), y(2),..., у(и),.. .)e/2 (черта обозначает комплексное сопряжение).Через {en }"=1 обозначается стандартный базис в /2, т.е. en(k) = 8nk.Углом а между двумя элементами x, ye/2 назовем такое число а, для которого(x, у) cos а =Построим последовательность линейно-независимых элементов {fn }"=1 гильбертова пространства /2, удовлетворяющую условиям:1))f = ei = (1, 0, 0, ...);2))||/И|| = 1 для любого neN;3))(/И, fi) = a, 0 < |a| < 1, n Ф m, n, meN.Из условий (/1/2) = 1 и ||/2|| = 1 получим f2 = (a,^ll-a2,0,0,...). Элементf находим из условий (/1, /3) = a, (/2, /3) = a и ||/3|| = 1. Получимaf3 =л/ГaVT-a |(1 - a)(l + 2a) Л-Д0,..1 + aЗаметим, что f2(1) = /3(1) в силу условия (/1, f2) = (/1, f3) = a. Введем следующие обозначения:/1(1) = xi,f2(1) = У1, f2(2) = X2,/3(1) = У1, f3(2) = У2, f3(3) = X3. Предположим, что построены элементы f1, f2, fn:fi = (xi,0,...),fn-1 = (y1 > y2>y3>>Уп-2, Xn-1A-0. fn = (yl>y2>y3>>yn-2> yn-l> XnA-0.удовлетворяющие условиям 1) - 3).Покажем, что существуют числа уи и хи+1, такие, что система элементовf1, f2 >> fn ' fn+1 = ( y1' y2>> yn-2' yn-1' yn ' Xn+1 А--) удовлетворяет условиям 1) -3). Для этого рассмотрим следующую систему:(fn ' fn+1) \\fn\ = 1' Jlfn+J = 1'у;2 + y22 +... + у2_2 + yl_x + yn xn = a,т.е. \ y2 + y2 + . „ + Уп2_2 + y2-1 + x2 = 1, + y2-2 + y2-1 + y2 + xn2+1 =Вычитая первое равенство из второго и третьего, получим,y„2 + x„2+iyn Xn = 1 - a>yn xn = 1 - a.Отсюда с помощью несложных преобразований находим.2 2 2xn+i =J 2(1" a)'(1 - a)2(1)Уп1 - aУп■ то Хп+1В частности, если a --^2 ХпНайдем явное выражение для xn иyn. Поскольку элемент e„esp{f[,f2, f„}, то найдутся скаляры ai, a2, a„, такие, чтоaf + a2f2 +. ■ ■+ a„f„ = e„ .(2)Умножим обе части равенства (2) скалярно на f1, f2, f„. Получим систему уравнений с неизвестными ai, a2, ., an:fa1 -ata + a(a1 +a2 + ... + an) = 0,a2 - a2a + a(a1 +a2 + ... + an) = 0, (3)an-1-a n-1a + a(a1 +a 2 +... + a n) = 0,a"an-ia + a(ai +a2 +... + a n ) = xn Вычитая из первого уравнения системы второе, получим a1 = a2. Аналогично получим, что a2 = a3 = . „= an-1. Таким образом, исходная система примет вид[at + а((и - 2)at + a n) = 0,[a(n - \)al +an = xn.Отсюда получаемa,2 '1 + -1 + (n - 2)a - (n - 1)a1 + (n - 2)a - (n - 1)aС другой стороны, сравнивая покоординатно правую и левую части в уравнении (2) и учитывая, что a1 = a2 = . „= an-1, имеем«1 + У\((n - 2)ai +a я) = 0,a1 x2 + y2 ((n - 3)a1 +an ) = °' (4)и xn = I-Выражая an из последнего уравнения системы (4) и приравнивая полученное соотношение к найденному из системы (3) значению a„, получаем уравнение для нахождения xn, из которого находимxn(5)Используя (1), получаемУп(6)V(l + (n - 2)a)(l + (n -1)a) ' Таким образом, нашли явное выражение для x„ и y„.Докажем теперь, что построенная последовательность элементов {fn}™=1 гильбертова пространства /2 не является базисом в /2. Действительно, если предположить, что последовательность {fn }^=1 является базисом, то для элемента У = (у1,Уг,.-;Уп,.--)

Скачать электронную версию публикации