Homomorphic Stability of Direct Product TorsionFree Abelian Groups .pdf При изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и исследовании вполне характеристических подгрупп интерес представляет следующий вопрос: в каких случаях объединение (теоретико-множественное) гомоморфных образов группы A в группе B является подгруппой группы B.Группа A называется гомоморфно устойчивой относительно группы B, если объединение гомоморфных образов группы A в группе B является подгруппой группы B, то есть если JJ Im у - подгруппа группы B.yeHom(A,B)В [1] и [2] решен вопрос о гомоморфной устойчивости прямых сумм абелевых групп, получено полное описание гомоморфно устойчивых вполне разложимых и жестких групп. Также исследована гомоморфная устойчивость произвольных абелевых групп относительно прямых произведений. В [3] доказаны результаты о гомоморфной устойчивости вполне транзитивных групп.В настоящей статье исследуется гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп без кручения. Везде далее в этой статье под группой будем понимать аддитивно записанную абелеву группу. В большинстве доказанных результатов предполагается неизмеримость множества компонент в прямых произведениях рассматриваемых групп. Это ограничение зависит лишь от аксиоматики теории множеств. Пока неизвестно совместно или нет существование измеримых кардинальных чисел с аксиоматикой ZF - теории множеств.Напомним определение узкой группы, которое понадобится нам в дальнейшем[4. С.189]. Пусть P обозначает прямое произведение счетного множества бескоданечных циклических групп, то есть P = Y\( en), где o(en) = да. Группа без круче-п=1ния G называется узкой, если при любом гомоморфизме ц.Р^О для почти всех n выполняется равенство цеп = 0.Рассмотрим гомоморфную устойчивость прямых произведений групп без кручения относительно узких групп.Теорема 1. Пусть B - узкая группа и {A;}; е/ - семейство групп без кручения, каждая из которых гомоморфно устойчива относительно группы B, причем множество I неизмеримо. Тогда группа Y\ A также гомоморфно устойчива относите/тельно группы B.Доказательство. Пусть A = Y\ A . Возьмем произвольные элементы c и d из множества JJ Im у . Тогда существуют гомоморфизмы а, Я группы A в груп-yeHom(A,B)пу B и элементы аь а2 из группы A, такие, что c = аа\, d = Яa2. Обозначим для каждого i е I через п, - проекцию группы A на группу A;, а через р; - координатное вложение группы A; в группу A.Пусть а, и Я; являются ограничениями гомоморфизмов а и Я соответственно, на подгруппе p;njA (i е I). Из теоремы 94.4 ([4. С. 191]) следует, что для гомоморфизмов а и Я существуют соответственно конечные подмножества Ia и IЯ множества I, такие, что для всякого элемента а е A имеем a a = Z ai (р;nia) иЯа=Z Я (pi nia).Пусть I' = Ia П IЯ. Возможны два случая: 1) I' = 0, 2) I' Ф 0. В первом случае рассмотрим следующий гомоморфизм 8 группы A в группу B: для всякого элемента а е A имеем 8 a = Z аг- (рг-nta) + Z Я; (рг-nta). Пусть h -такой элемент группы A: n;h = п;аь если i е Ia; nfi = - л,а2, если i е IЯ и n;h = 0, если i е I \( Ia UIЯ). Имеем8h = Z ai (pinih) + Z Яi (pinih) = Z ai (piniai)-!E/aге/р !E/a- Z Яi ( Pi ni a2 ) = a a1 "Я a2 = c " d .Значит, с - d е Im 8 и поэтому c - d e JJ Im у .yeHom(A, B)Рассмотрим второй случай. Так как P;7i;A = A; для всякого i е I, то любая группа p/JijA (i е I) гомоморфно устойчива относительно группы B. Значит, для всякого i е I существуют гомоморфизм ф; группы p;ii;A в группу B и элемент а(,) е A, такие, что а;(р Яiai) - Я;(p;n;) = фг{РгПга(г)). Пусть I'a = Ia\ I' и I'Я = IЯ \ I'. Рассмотрим следующий гомоморфизм jj группы A в группу B: для всякого элемента а е A имеем цa = Z ai (Pinia) + Z Яi (Pinia) + Z (PiПa). Пусть h - такой элементiEl'aiE/ЯiE/'группы A: %h = п;а(г), если i е I'; пh = пгаь если i е I'a; n;h = -п;а2, если i е I'Я и %h = 0, если i е I\( IaUIЯ). Имеемиh = Z ai (Pinih) + Z Яi (Pinih) + Z ф (Pinih) = Z ai (Piniai)-ie/Яiel' ie/a- Z Яi (pi ni a2)+Z ^ (pi nih) = Z ai (pi ni ai)- Z Яi (pi ni a2) -+Z ф* (рг nta(1)) = Z ai (pi nt ai)- Z Яi- (pi- nt a2)+(Z ai (pi %i ai)- Z Яi (pi %i a2))=(Z ai (p; ni a)+Z ai (pi ni a))-Viel'iel'/ \i

Скачать электронную версию публикации