Continuous Mappings of Sorgenfrey Line Onto Real Line .pdf Прямая Зоргенфрея S - это вещественная прямая с топологией, базу которой образует семейство всех полуинтервалов, открытых справа. В статье изучаются непрерывные отображения между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой R. Поскольку образ связного пространства связен, а прямая Зоргенфрея наследственно несвязна, то не существует непрерывного отображения вещественной прямой ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея, отличное от одноточечного. Что касается отображений из S в R, поскольку тождественное отображение S на R непрерывно, то прямая Зоргенфрея уплотняется (т.е. отображается непрерывно и инъективно) на вещественную прямую. Также в 1984 г. Д.В. Моторовым доказано, что метрические образы прямой Зоргенфрея - это в точности A-множества [1]. А в 1988 г. С.А. Светличным - что открытые метрические образы прямой Зоргенфрея полны по Чеху [2].В работе строится непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую (теорема 1). Также доказывается, что не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея ни на вещественную прямую, ни на отрезок (теорема 16). В конце статьи показано, что существует уплотнение прямой Зоргенфрея на вещественный отрезок (замечание 17).В статье используются обозначения и терминология, принятые в книге "Общая топология" Р. Энгелькинга [3]. Символом N обозначается множество натуральных чисел, символом f | А - сужение отображения f на множество А.Теорема 1. Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея S на вещественную прямую R.Доказательство. Известно, что прямая Зоргенфрея гомеоморфна своему подпространству S0 = [0,1) с S. Действительно, поскольку любой полуинтервал вида [x, y) в S является открыто-замкнутым множеством, то прямую Зоргенфрея можно представить в виде счетной прямой суммы полуинтервалов вида [z, z + 1), где z - целое число. Точно так же S0 можно разбить на счетную сумму непересекающихся открыто-замкнутых полуинтервалов вида [1 - 1/n, 1 - 1/(n+1)), где n е N, откуда и следует что S0 гомеоморфно S. Нам будет удобнее работать с S0, чем с S, - мы построим непрерывное открытое отображение пространства S0 на интервал (-1, 1) с R, тем самым теорема 1 будет доказана.Для k е Nu{0}, п\,...,щ е N индукцией по k определим числа а, l„l,„„k ,bnl...nk , \...nk е R. Отметим, что при k = 0 мы считаем, что an...nk есть ^ bn1...nkесть b, и т.д. для 1, h и других аналогичных далее вводимых обозначений. Приk = 0 положим ащ ...nk = a = °= 1 = U bnj...nk = b = 0, hn ...nk = h = 3/4. Приk > 0 и m е N положим= lnl...nk ;m-1anl...nt ,m = anl...nt + Z 1 i=1V-k,m = (1/2) + (1/4) K-nk,m - %-Пк )); (3)brty...nk ,m = bn\...nk + ( 11 hni...nk ,m' (4)Определим множества T с S0 иc So. При (иь...,«,-,...) e NN,k e Nu{0} положимTnl...nt = ^-anl...nk , anl...nk + lnl...nk XГЯ1...Я;= П m6nu{°} 7^...^ .Таким образом при k = 0 мы имеем T nk = [0,1) = S0. Отметим некоторыесвойства построенных нами чисел и множеств.Лемма 2. Для любых k e Nu{0},e N, m e N выполняются условия (a)- (h):(a)()Семейство { 7„ t } ;en является разбиением множества T nk .(b)Длина полуинтервала T nk равна l nk и при этом l nk < 1/2k.(c)()Замыкание множества T nk m в топологии вещественной прямой R содержится в множестве Т nk .(d)()l^n, > 0.(e)hn...nk > 0.(f,m = (1/2)-( hm..,nk + (1/4). 1щ. . ,nk -(1 - ^)).(g)V-k,m < (1/2)-( hn...nk + ^f" ).(h)Нт;_ ani^k4 = an...nk + /„.^ .Доказательство. Условия (a) - (f) и (h) очевидны, условие (g) следует из условий (f) и (d). ■Лемма 3. (а) Для любой последовательности (ni,...,n;-,...)eNN мощность множества T n равна 1.(b) Для любой точки xe[0, 1) найдется единственная последовательность (ni,...,n,,...)eN , такая, что Tn n = {x}.Доказательство. Достаточно воспользоваться условиями (a) - (c) леммы 2 и тем фактом, что T = [0,1) при k = 0. ■Лемма 4. Для любых k eNu{0}, щ,..., n2k+\ e N выполняются следующие условия:(а) 0 < hn...n2k +1 < $ .Доказательство. Докажем эту лемму индукцией по k. База индукции при k = 0 очевидна. Предположим, что утверждение леммы выполняется при k = n, и докажем его для k = n+1. Применив два раза подряд условия (b), (d), (e), (g) леммы 2, получаемhn,..n2n+2 < (1/2)-(\..Л2n+1 + -m+r-I ) < (1/2)-((1/2)-( hn...n2„ + ^T-T ) + -m+r^ ) 0 | < --- 0 (при k "> ю) - здесь символ [а] обозначает целую часть числа a. Мы получили, что существует предел lirn^oofk(x) e R, который мы обозначим через f (x). Теперь докажем, что последовательность функций {f(x)} k^N равномерно сходится к функции f (x):fx) - fm(x)| = |limk^„ bn ^ - b„vJtm \ = |по формуле (4)| =Zoo , х-"* °o 1 ^ 2 1 h < > < 2=- 0 (при m - да).i=m+1 4-«,- Zji=m+1 /2] ~ 2[(m+1)/2l 2[(m+1)/2]-2V F ^Мы получили, что для любой точки x e [0, 1) выполняется |fx) -fm(x)\ < < i/2[(m+1)/2]-2, следовательно, функциональная последовательность fk} k^N равномерно сходится к функции f. ■Итак, мы построили отображение fx) = lim^ofx), которое действует из S0 в R. Мы докажем, что это отображение непрерывно, открыто и что f (S0)= (-1, 1).Лемма 6. Для любых k e Nu{0}, nh...,nk e N выполняетсяf ( Тщ...Пк )- [Ьщ...Пк hni...nk ' bni...nk + hni...nk ] .Доказательство. Пусть x e \\..Mk - \...„к , ^...n, + \.„п* ]. Выберем индукцией по i номера mt e N таким образом, чтоxe [Ьщ...Пк,mi„.mi hi\...nk,mi...mj , Ьщ...Пк,m^...mi + ^щ...Пк,m\-mi 1 .(6)База индукции при i = 0 выполнена. Предположим, что мы построили номера mi,...,m„, такие, что формула (6) выполняется для всех i < n. Построим номер mn+1 так, чтобы формула (6) выполнялась при i = n + 1. Рассмотрим два случая:a)x > Ьп...Я£,m1...m„ .В этом случае x e [ bn...„,,mj...m„ , Ьщ...пк,mt...m„ + Kv..nk,m,...m„ ]. Положим mn+1 = 1.По условию (f) леммы 2 имеем,mi-m„+i = (1/2)- h„l...nk,ml...mn .Тогда по формуле (4)+ (1/2)-следовательно,[,mi...mn+i -,,mi...m„+i + hny...nk,ml...mn+l ] =[ bny...nk,m-y...mn , bny...nk,m-y...mn + ^г\...щ,гщ...тп 1 ^ x.b)x < Ьщ...пк,ml...mn .В этом случае x e [ bn-...nk,mj ...m„ - \...nk,mj...m„ , bn ...nk,mj...m„ ). Положим m„+l=2.По условию (f) леммы 2 имеемhnl...nt,m ...mn+1 = (1/2)' hti-...nk,m...m„ +(1/16)' /И1...пк,mi...mn .Снова по формуле (4),»h-m„+i = bni...nk,ml...mn - (1/2)' \...nk,ml...m„ - (1/16)' 1n!...nk,m!...mn ,следовательно,[ bn1...nk,m1...m„ +! hnl...nk,щ...т„+1 , bnl...nkzptm1...m„+1 + hn1...nk,m1...m„ +1 ] [ bn-...nk,m-...mn hn...nk,m-...mn (1/8) ^ni„.nk,m^...mn , bn-...nk,m-...mn ] - |по условию (d) леммы 1| - [ bn...nk,mj...m„ - hn...nk,m...m„ , bn ...nk,m...m„ ] э x.Итак, мы построили последовательность номеров {w,},en, такую, что выполняется (6). Положим Н„ = [ bn...nk,mj...m„ - hn...nk,m...m„ , bn...nk,mj...m„ + \...nk,m...m„ ]. Излеммы 4 следует, что диаметр отрезка Hn стремится к нулю при n - да Кроме того, система множеств Hn центрирована, так как по условию (6) x e Hn. А поскольку bn ...nk ,mj ...m„ e Hn то получаем, чтоbnl...nk,ml...m„ -+ x (при n^OT). (7)По лемме 3 существует точка с e f]Тщ^к,щ..Жп , значит с e Ttli...nk . Поскольку с e Тщ...nk,m...m„ , то fk+n(c) = bn ...nk,m...m„ e Hn. По определениюf(c) = limn^„fk+n(c) = lirn^ Ьщ^щ m-^ = |по условию (7)| = x. А так как с e T „ , то тем самым лемма 6 доказана. ■Лемма 7. Для любых k eNu{0},ni,...,nk+i e N найдется s > 0, такое, что( (ЭП1...ПЪ +1 - АИ1...Як+1 - (1/4)' 1ni...nk +i , ЬЛ1...Як +1 + h«!...«k +1 + (1/4)' 'п1...Пъ +i ) СС (V.«k - hn...nk - (1/4)' К-щ + S,+ hn...nk + (1/4)'- S).Доказательство. Возьмем s = 1/4' /«,„«. ' 1/2й*+1. ТогдаV.nk +1 - \...nk +1 - (1/4)' lni...nk +1 > |по формуле (4) и условию (e) леммы 2| > > bnb..nk - hn...nk,nk +1 - hn...nk,nk +i - (1/4)' 1n1...nk +i = |по условию (f) леммы 2| == V.„k - (\...nk + (1/4)')) - (1/4)' V* +i = |по формуле =2 l= bn n - hnn - (1/4)' / n '(1) - (1/4)^-^ =nl...nk ni...nk v / «...nk \ 2«k+1 y v y 2"k+i= bn1...nk - hn,-k - (1/4)' 1«...«k + (1/4)'' ^ = K-nk - V-k (1/4)' /n,..«k + S.Второе неравенство, утверждающее, чтоЬщ...пк +1 + \...„k +1 + (1/4)' V-k +i < Ьщ...„к + V-k + (1/4)' '«...nk - Sдоказывается аналогично. ■Лемма 8. Для любых к e Nu{0}, nl,...,nk e N выполняетсяf( Tni...nk ) = (bn...nk " hni...nk " (1/4)-/n...nk , bn...nk + \-k + (1/4)-/n1...nk ).Доказательство.I. Докажем включение в одну сторону:f (Tm...nk ) - (bn...nk - hn...nk - (1/4)' 1щ...пк , Ьщ...Пк + \...nk + (1/4)' '«...«k ). Возьмем точку xe( bn...nk - hn ...nk -(1/4)' ...nk , bnj...nk + hn..nk +(1/4)' ln ...nk ).Из условия (f) леммы 2 следует, чтоhn...nk +(1/4)' 1«...«k - 2hn...nk,m =(1/4)' "2»1-Г ' ...nk .Тогда из условий (b) и (d) леммы 2 получим, что для любого s > 0 найдется m0eN, такое, что для всех m > m0 выполняется0 < V.„k + (1/4) /n...„k - 2Дn...„k,я bnn .' nl...nkВ этом случаеxe [bnl...nk , bnj...nk + Kv..nk +(1/4)' ln1...nk ).ПоложимS = bnj...nk + hn1...nk +(1/4)' 1n1...nk - x и m = 2m0 + 1.Из неравенства (8) получим, чтоx < bn...nk + 2V.nk,m = |по формуле (4)| = bn...nk,m -\...nk,m + 2V.nkm == |так как m = 2mo+1| = bn...nk,m + hn...«k,m .Далееx > bnj...nk = |по формуле (4)| = bn...nk,m -(-1)И+1' hn...„k,m == |так как m = 2mo+^ = bn...„km - hn ...„k>m . В итоге получаем, чтоx e [bn[,...,nk,m - hnj,...,nk,m ' bn,...,nk,m + hn,...,nk,m ] (9)b)x < bn1...nk .В этом случае xe (bnl...nk -hnj...nk - (1/4)' Im. ..nk , bn ...nk ). Этот случай аналогичен случаю a): ВозьмемS = x - (bnj...nk -hnj...nk - (1/4)' 1n1...nk ) и m = 2m0.Из (8) получим, чтоx > bnj...nk - 2Kv..nk,m = |по формуле (4)| = = bn...nk,m - (-1)И+1' hn ...„k,я - 2hnj...nk,m = |т.к. m = 2m0| = bn ...nk ,m - \...nk ,m .С другой стороны,< b b(Ih b+ hx bni..Mk n...nk,m ( 1)n...nk,m n...nk,m n...nk,m .Снова получаем, что выполняется (9). Применив лемму 6, получим, что xef( T m). Из условия (a) леммы 2 следует, что xef (T ), включение "-"доказано.II. Докажем включение во вторую сторону:f ( Tn ...nk ) £ (bnl...nk - hn...nk -(1/4)' V-k , bn..-k + hn ...nk +(1/4)' V-k ).Зафиксируем произвольную точку xe Tn ...nk . По лемме 3 существует последовательность (m1,...,m;,...)eNN, такая, что xe Тщ^т ^ . Из условия (b) леммы 2 следует, что m1 = n1, mk = nk. По определению f (x) = lmv^ Ьц m . Для произвольного i e N, i > к, применив лемму 7 (i - к) раз, получим следующую цепочку вложений:bml...mi e (bm1...mi - hm1...mi - (1/4)' ^m1...mi , bml...mi + hml...mi +(1/4)' ltnl...mi ) С С (bm1...mi_j - hm1...mi_1 - (1/4)' ^m1...mi_1 +Јi-fo bm1...mi_1 + hm1...mi_1 +(1/4)' ltn1...mi_1 -Јi-k) С ... , с |т.к. Wi = П1, «t = «k| С С (b«...nk -h«1...«k - (1/4)' /n...„k +вь bn...„k + Дni...„k + (1/4)' /щ...Пк - Јt).Но тогда (здесь квадратные скобки обозначают замыкание в топологии R)lim»- e \-(K-nk -V.n, -(1/4)' lw +£ь + V-k +(1/4)' - Ј*)] СС (V.nk - V.nk - (1/4)' /nl...nk , V.nk + Пщ...пк +(1/4)' /„1...„k ).А поскольку f (x) = limn^„ Ьщ m., то второе включение также доказано. ■Лемма 9. Образ полуинтервала [0,1) при отображении f равен интервалу (-1,1).Доказательство. Достаточно взять k = 0 и применить лемму 8. ■ Лемма 10. Для любой точки c e [0, 1) найдется база ее окрестностей B(c), такая, что для любой окрестности UeB(c) ее образ f(U) открыт в R.Доказательство.По лемме 3 найдется последовательность (n1,...,n,-,...)eNN, такая, что ce ^ [ ащ_п., ащ_щ + l„vJtj). Тогда искомая база окрестностей в точке cимеет следующий вид: B(c) = {[c,a + /n...„k) : k e Nu{0}}. Докажем, что определенное таким образом семейство является искомой базой окрестностей, удовлетворяющей требованиям леммы. Тот факт, что B(c) является базой окрестностей в точке c, следует из условия (b) леммы 2. Чтобы доказать, что образ [c,ащ^„к + 1n...„k) при отображенииfоткрыт, покажем, чтоf ([ С ani...nk + In,...nk )) = (bni...nk - \...пк - (1/4)' 1щ...nk , bn...пк ++ (1/4)'' 1Ч...nk ).Включение "с" следует из леммы 8.Обратное включение "-" доказывается практически так же, как и часть I доказательства леммы 8, только с небольшим изменением: в обоих пунктах доказательства, и в a), и в b), на m0 накладывается дополнительное условие: m0 должно быть настолько большим, чтобы для каждого m > m0 в дополнение к формуле (8) выполнялось a m > c (тот факт, что так можно сделать, следует из условия (h)леммы 2). Все рассуждения при этом сохранятся, и мы получим, чтоx e f ( Тщ...пкm) . А поскольку an...nk,m > c, то Tnb..nkm Ј [c, an...nk + In,...nk X следовательно, x e f([ c, a +1 )), что и требовалось. Второе включение доказано, авместе с ним доказана и лемма 10. ■Лемма 11. Отображение f открыто и непрерывно.Доказательство. Отображение f непрерывно как предел равномерно сходящейся последовательности функций (лемма 5). Тот факт, что отображение f открыто, вытекает из леммы 10. ■Поскольку пространство S0 гомеоморфно S (см. начало доказательства теоремы 1) и интервал (-1,1) e R гомеоморфен R, то из лемм 9 и 11 получаем, что теорема 1 доказана. ■Поскольку вещественную прямую можно непрерывно открыто отобразить на отрезок, то из теоремы 1 вытекаетСледствие 12. Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея S на отрезок [0,1] e R.Теперь мы докажем, что не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея ни на вещественную прямую, ни на отрезок. Предварительно сформулируем две классических теоремы, из которых этот факт легко следует.Теорема 13 ([4. гл. VI. упр. 87]). Пусть f - непрерывное замкнутое отображение паракомпакта X на T^пространство Y с первой аксиомой счетности. Тогда существует такое замкнутое подпространство X* пространства X, что f (X) = Y и f \X : X - Y - совершенное отображение.Теорема 14 ([3. глЛ^. упр. 5.5.7(b)]). Паракомпакт X с диагональю типа 0$ в XxX метризуем в том и только том случае, если X допускает совершенное отображение на метризуемое пространство.Мы докажем следующую теорему:Теорема 15. Пусть f:B - R - непрерывное замкнутое отображение подпространства B прямой Зоргенфрея в числовую прямую. Тогда образ f B) не более чем счетен.Доказательство. Положим A = f (B). Будем следовать от противного, пусть множество A несчетно. Так как прямая Зоргенфрея наследственно паракомпактна (см., например, [5] или [3]), то по теореме 13 существует подпространство Be B, такое, что f \B : B - A - совершенное отображение и f\(B ) = A. Поскольку B имеет диагональ типа 0g в B *B , то по теореме 14 B метризуемо. Поскольку множество A несчетно, то несчетно и множество B = f^1(A), следовательно, сетевой вес B несчетен (любое несчетное подмножество S имеет несчетный сетевой вес, см., например, [5] или [3]). Так как прямая Зоргенфрея наследственно сепара-бельна и B метризуемо, то вес B счетен, следовательно, счетен и его сетевой вес. Мы получили противоречие, тем самым теорема 15 доказана.^В качестве следствия имеем:Теорема 16. Не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея ни на вещественную прямую, ни на вещественный отрезок.Тождественное отображение S на R является уплотнением (т.е. непрерывным инъективным отображением). Покажем, что прямая Зоргенфрея уплотняется и на вещественный отрезок.Замечание 17. Существует уплотнение прямой Зоргенфрея на вещественный отрезок.Доказательство. Учитывая, что прямая Зоргенфрея гомеоморфна своему подмножеству [0,1) e S (см. начало статьи), определим искомое отображение f: [0,1) - [0,1] следующим образом:f(0) = 0 и для любого neN отображение f переводит полуинтервал [1/(n+1),1/n) на полуинтервал (1/(n+1),1/n], при этом на полуинтервале [1/(n+1),1/n) отображение f действует как симметрия с центром в точке (1/(n+1)+1/n)/2.Очевидно, что определенное таким образом отображение f является биекцией между полуинтервалом [0,1) и отрезком [0,1]. Чтобы доказать непрерывность отображения f в точке a e [0,1), нужно рассмотреть два случая: a Ф 0 и a = 0. Если a Ф 0, то найдется neN, такое, что ae[1/(n+1),1/n), и тогда непрерывность в точке a очевидна. Если же a = 0, то нужно доказать, что для любого 8 > 0 найдется s > 0, такое, что f ([0,s)) e [0,8). Найдем neN, такое, что 1/n < 8, и возьмем s = 1/n. Тогда для любого целого i > n выполняется f ([хг+1,хг)) = (x;+1,xj e [0,8), следовательно, f ([0,s) e [0, 8), что и требовалось.

Скачать электронную версию публикации