On the Similarity of Almost Holomorphically Isomorphic DirectProducts of Torsion Free Groups .pdf Пусть G - абелева группа, r(G) - ее голоморф, то есть полупрямое расширение группы G с помощью группы ее автоморфизмов Aut(G). Для групповой операции в группе Aut(G) пользуемся мультипликативной записью, а для групповых операций в G и T(G) - аддитивной записью. Группу r(G) можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар (g, ф), где g е G, ф е Aut(G). Групповая операция в T(G) определяется по правилу: (g, ф) + (h, у) = (g + фА, фу) для любых (g, ф), (h, y)er(G). Нейтральным элементом в T(G) является элемент (0, s) (s -тождественный автоморфизм), а элементом, противоположным элементу (g, ф), является элемент (-p-1g, ф-1). Элементы вида (g, s) образуют в голоморфе T(G) нормальную подгруппу, изоморфную группе G, а элементы вида (0, ф) - подгруппу, изоморфную группе Aut(G). Будем отождествлять эти подгруппы с группами G и Aut(G) соответственно. Понятно, что GnAut(G) = {(0, s)}. Элементы вида (g, s) и (0, ф) голоморфа T(G) будем часто записывать просто в виде g и ф соответственно.Группы с изоморфными голоморфами называются голоморфно изоморфными. Голоморфно изоморфные группы не обязательно изоморфны. Исследованию голоморфно изоморфных абелевых групп посвящен ряд работ И. Х. Беккера (см. например, [1 - 4]).Обобщением понятия голоморфного изоморфизма является почти голоморфный изоморфизм групп. Две группы называются почти голоморфно изоморфными, если каждая из них изоморфна нормальной подгруппе голоморфа другой группы, то есть группы G и H почти голоморфно изоморфны, если G = H' , H = G ' , где G ' и H ' - нормальные подгруппы групп T(G) и Г(Н) соответственно. Почти голоморфно изоморфные конечно порожденные абелевы группы рассматривались в работе Миллса [5].Пусть П = p2, ...} - множество всех простых чисел, занумерованных в порядке возрастания. Если G - абелева группа без кручения, g е G, то характеристикой x(g) элемента g в группе G называется последовательность Xo(g) = k2, . „, kn, . „}, в которой каждое kn есть_ри-высота hPG)(g) элемента g вPnгруппе G. Если понятно, о какой группе G идет речь, то индексы G в обозначении характеристики и _рп-высоты элемента g будут опускаться.Напомним, что две характеристики х1 = , кк^1,кк^1,...} и Х2 = (kj(2), kk^2,k;2),...} считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда множество M = {n е N | k^} конечно, причем, если knl) Ф кП2), то k^1 фоо и к^2 . Во множестве характеристик естественным образом вводится частичный порядок, а именно Xi < Х2 тогда и только тогда, когда для каждого n выполняется условие k(nX) < к(2). Класс эквивалентности во множестве характеристик называется типом. Если характеристика элемента g абелевой группы без кручения G принадлежит типу t, то говорят, что элемент g имеет тип t (что записывается следующим образом: t (g) = t или tG(g) = t). Абелева группа без кручения, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип t, называется однородной [6. С. 129 - 131].Чтобы подчеркнуть, что все ненулевые элементы однородной группы G имеют фиксированный тип t, будем говорить, что G - однородная группа типа t и записывать это так: t (G) = t. Однородную группу G типа t будем обозначать такжеМножество типов будем рассматривать как частично упорядоченное множество относительно естественного отношения порядка (то есть t1 < t2 тогда и только тогда, когда существуют характеристики х1 и х2, принадлежащие типам t1 и t2 соответственно, такие, что х1 < Х2).Тип t называется /7„-делимым (pn е П), если для всякой характеристики х е t имеем kn = да.Абелева группа без кручения G называется транзитивной, если для любых двух элементов a, b е G, таких, что x(a) = X(b), существует автоморфизм Ф е Aut(G), такой, что b = фа.Пусть G = П Gt , H = П Ht - прямые произведения однородных групп Gt иHt соответственно, T1 и T2 - некоторые множества типов. Группы G и H назовем подобными, если T1 = T2 и для всякого типа t е T ранг r(Gt) группы Gt равен рангу r(Ht) группы Ht, где T = T1 = T2.В дальнейшем будет использоваться следующее утверждение.Лемма 1 [5]. Если S - нормальная абелева подгруппа голоморфа T(G) абелевой группы G, (а, а) е S, g е G, то2а е S, а2 е S; (1) ag - g е S; (2) a(ag - g) = ag - g; (3) a"g = g + n(ag - g); (4). . ( n(n -1). . „ ^ ... n(a, a) = 1 na +(ста - a), ст I; (5)2(aa - a) = 0. (6) Заметим, что если G - абелева группа без кручения, то формула (5) с учетом (6) принимает видn(a, a) = (na, a n). (7)Для абелевой группы без кручения G обозначим через T(G) - множество всех типов элементов группы G.Лемма 2. Пусть S - нормальная абелева подгруппа голоморфа r(G) абелевой группы без кручения G. Тогда для любого типа t е T(S) существует тип t' е T(G), такой, что t ' > t.Доказательство. Пусть тип t принадлежит множеству типов группы S. Тогда существует ненулевой элемент (a, a)eS, такой, что его характеристика принадлежит типу t (x((a, a)) е t). Эта характеристика имеет вид x((a, a)) = (kb k2, ■ k„, ...).Пусть a Ф 0. Обозначим его тип через t '. Если kn < да, то существует элемент (xn, Пи) е S, такой, что pknn (xn, r\n) = (a, a). Тогда с учетом (7) имеем(Рп" хп, пПГ"" ) = (a, ь). Получили, что pknn xn = a . Значит, уравнение a = /?П" xnразрешимо в группе G. Поэтому hPG) (a) > kn . Если kn = да, то для любого нату-Pnрального числа m существует такой элемент (ym, qm) е S, что уравнение Рп (Ут, ) = (a, о) разрешимо в S, а значит, уравнение ym = a разрешимо в G. Поэтому и*-0-1 (a) = да .PnТаким образом, X(G)(a) > X(S)((a, ст)) и, значит, t (a) = t '> t.Пусть a = 0. Тогда ст Ф s. Если kn < да, то существует элемент (0, r)n) е S, такой,kчто /7И" (0, г\„) = (0, о) или r\n" = ° . Так как ст Ф s, то существует элемент g е G, такой, что ag Ф g. Согласно (4) имеем ag = пg = g + pknn (nng - g). Отсюда следует, что ag - g = (n„g - g). Уравнение ag - g = x разрешимо в G. Значит,Если kn = да, то /7и-высота A(G^ (ag - g) = да . Таким образом, X(G)(ag -g) > X(s)((0, a)). Следовательно, t (ag - g) = t ' > t. ■Предложение 3. Пусть S - нормальная абелева подгруппа голоморфа T(G) абелевой группы без кручения G и Si - множество первых компонент элементов группы S. Тогда1))для любого типа t е T(S) существует тип t ' е T(S1), такой, что t ' > t;2))для любого типа t е T(S) существует тип t '' е T(GnS), такой, что t '' > t. Доказательство. 1) Пусть (a, a) е S и t((a, a)) = t. Тогда для любого элементаg е G имеем ag - g е S (лемма 1), а значит, и ag - g е S1. Обозначим тип элемента ag - g через t '. Из доказательства леммы 2 вытекает, что t (ag - g) = t ' > t и t ' е T(Si).2) Пусть (a, a) е S и t ((a, a)) = t. По лемме 1 имеем 2a е S и, значит, 2a е GnS. Имеем t (a) = t (2a) = t ''. Применяя лемму 2, получаем t (a) = t (2a) = = t '' > t и t '' е T(GnS). ■Предложение 4. Пусть G и H - почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения, G - однородная группа, а группа H обладает свойством: если t > t (b2), где b1, b2 е H, то t = t (b2). Тогда H - однородная группа и t (G) = t (H).Доказательство. Пусть тип однородной группы G равен t и пусть тип t1 е T(H). Группы G и H - почти голоморфно изоморфны, значит, H = G ', где G ' -нормальная подгруппа голоморфа T(G) и G = H ', где H ' - нормальная подгруппа голоморфа r(H). Из почти голоморфного изоморфизма групп G и H вытекает, что t1 е T(G '). Тогда из леммы 2 получаем, что тип t удовлетворяет условию t > t1. Так как G = H ', то t е T(H '). Согласно лемме 2, для типа t существует тип t2 е T(H), такой, что t2 > t. Получили, что t2 > t > ti . Из условия на типы элементов в группе H следует, что t1 = t2. Значит, t1 = t. В силу произвольности выбора типа ti получаем, что H - однородная группа и ее тип равен t. ■Следствие 5. Если G и H - однородные почти голоморфно изоморфные группы, то t(G) = t(H).Теорема 6. Пусть G = ГТ Gt , H = ГТ HT , где Gt и HT - однородные группыte2] xeTjтипов t и т соответственно, T1 и T2 - множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Если G и H - почти голоморфно изоморфные группы, то T1 = T2.Доказательство. Группы G и H почти голоморфно изоморфны, то есть G = H ', H = G ', где G ' и H ' - нормальные абелевы подгруппы голоморфов T(G) и r(H) соответственно.Пусть t0 е T1. Из почти голоморфного изоморфизма групп G и H следует, что t0 е T(H '). По лемме 2 существует тип т0 е T(H), такой, что т0 > t0.Предположим, что т0 е T(H) \ T2. Тогда т0 = inf {TЯ | TЯ е T2'}, где T2' с T2 и | T2' | > 2. Значит, для любого Tß е T2' справедливо т0 < Tß. Если существует тип Tß е T2', такой, что т0 = Tß, то получим, что т0 е T2, что противоречит предположению т0 е T(H) \ T2. Следовательно, т0 < TЯ.Имеем TЯ > т0 > t0. Из почти голоморфного изоморфизма групп G и H вытекает, что TЯ е T(G '). По лемме 2 существует тип t1 е T(G), такой, что t1 > TЯ.Возможны 2 случая:1))Пусть t1 е T1. Тогда t1 > TЯ > т0 > t0 откуда t1 > t0. Получили, что типы t0 и ti сравнимы. Это противоречит условию теоремы.2)Пусть ti е T(G) \ Tb Тогда ti = inf {ta | ta е Ti'}, где Ti' с T и | Ti' | > 2. Аналогично ранее доказанному получаем, что ta > ti. Имеем ta > ti > TЯ > т0 > t0. Типы t0 и ta принадлежат Ti и сравнимы между собой. Противоречие.Значит, т0 е T2, т0 > t0.Аналогично доказывается, что для типа т0 е T2 существует тип t2 е Ti, такой, что t2 > т0.Итак, t2 > т0 > t0. Так как типы в Ti попарно несравнимы, то t2 = t0. Значит, т0 = t0 и справедливо включение Ti с T2.Обратное включение T2 с Ti доказывается аналогично. Следовательно, Ti = T2. ■Лемма 7. Пусть G = П Gt , где Gt - однородная группа типа t, T - множествоteTпопарно несравнимых типов. Тогда для любого ненулевого элемента g е G и любого типа t е T справедливо условие: тип t(g) не больше типа t.Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют такой элемент g0 е G и тип t0 е T, для которых t(g0) > t0. Обозначим через nt - проекцию группыG на подгруппу Gt. Имеем t(g0) = inf { t е T| 7it(g0) Ф 0}. Значит, для любого типа t е T, для которого nt(g0) Ф 0, получаем t > t(g0) > t0, что противоречит несравнимости типов t и t0. ■В дальнейшем при рассмотрении прямых произведений вида A = П A мыteTбудем отождествлять группу At с изоморфной ей подгруппой pt nt A группы A, а любой элемент a е At - с элементом pt nt a, где nt - проекция группы A на группу At, а pt - координатное вложение группы A в группу At.Предложение 8. Пусть G = П Gt , где Gt - однородная группа типа t, T -teTмножество попарно несравнимых типов. Если для некоторой абелевой группы без кручения H существует изоморфное отображение р группы G на нормальную подгруппу H ' голоморфа Г(Н), то pGt - нормальная подгруппа голоморфа Г(Н) для любого типа t е T.Доказательство. Пусть t0 - произвольный тип из T и S = \iGt . Очевидно, чтоS - подгруппа группы H ', состоящая в точности из всех элементов группы H ', имеющих тип t0. Докажем, что S - нормальная подгруппа голоморфа r(H).Пусть (s, ю) е S, (b, ст) е r(H), x((s, ю)) е to и x((s, ю)) = (ki, k2, k„, ...). Для всякого натурального числа n, для которого kn < да, существует элемент (s„, ю„) е H ', такой, что pkn" (sn, юя) = (s, ю).ТогдаPkn (-(b, а) + (s„, ю„) + (b, а)) = = -(b, ст) + (s„, юя) + (b, ст) - (b, ст) + (sn, юя) +... +(b, ст) - (b, ст) + (sn, юя) + (b, ст) =4vJ 4vJrfrn раз= -(b, а) + рП" (sn, юя) + (b, а) = -(b, ст) + (s, ю) + (b, ст) e Я'.Следовательно, /7и-высота элемента - (b, ст) + (s, ю) + (b, ст) в группе H ' не меньше kn. Понятно, что если km = да для некоторого натурального числа m, то /7м-высота элемента - (b, ст) + (s, ю) + (b, ст) в группе H ' также равна да. Значит, t(-(b, ст) + (s, ю) + (b, ст)) > t0. Применяя лемму 7, получаем t(-(b, ст) + (s, ю) + + (b, ст)) = t0. Следовательно, - (b, ст) + (s, ю) + (b, ст) е S и поэтому S - нормальная подгруппа r(H). ■Теорема 9. Пусть G = П Gt, H = Ц Ht, где G, (t е Ti) и H, (t е T2) - транзи-teTj teT2тивные группы и множества T1 и T2 состоят из попарно несравнимых типов. Если группы G и H почти голоморфно изоморфны, то они подобны.Доказательство. Так как группы G и H почти голоморфно изоморфны, то G = H ', H = G ', где G ' и H ' - нормальные абелевы подгруппы голоморфов T(G) и r(H) соответственно. Обозначим через р изоморфное отображение группы G на группу H '.Так как множества Ti и T2 состоят из попарно несравнимых типов, то по теореме 6 получаем, что множества T1 и T2 совпадают. Таким образом, можно записать G = П Gt , H = П Ht .teT teTПусть t0 е T и пусть uGt|] = S . Обозначим через Н1 и W - множества первых ивторых компонент группы Н' соответственно, а через Si и Ф - множества первых и вторых компонент группы S соответственно. Очевидно, что S - подгруппа группы H '. Применяя предложение 8, получаем, что S - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(Н). Значит, S1 Ф 0 ([7]).Докажем, что тип любого элемента s е S1 в группе Н равен t0. Так как s е S1, то существует элемент (s, ю) е S. При изоморфизме тип элемента сохраняется, поэтому tH((s, ю)) = to. Пусть x((s, ю)) = (ki, k2, ..., k„, ...).Пусть kn < да. Тогда существует элемент (x, 8) е Н ', такой, чтоpknn (x, 8) = (s, ю). По формуле (7) имеем (s, ю) = (х, §Р""). Тогда s = x. Изэтого вытекает, что _рп-высота элемента s в группе Н не не меньше kn.Если kn = да, то получаем, что _рп-высота элемента s в группе Н равна да.Таким образом, x(s) > x(s, ю) и, значит, t(s) > t0. Так как согласно лемме 7, t(s) не может быть больше t0, то получаем, что t(s) = t0.Докажем, что S1 подгруппа группы Ht0. Предположим противное. Пусть существует элемент s е S1, такой, что s g. Hto, то есть nt s Ф 0 для некоторого типа tj Ф t0 (tj е T), где щ - проекция группы Н на группу Ht . Из доказательствалеммы 7 вытекает, что t(s) < tj. Так как t(s) = t0, то получаем, что t0 < tj. Противоречие с несравнимостью типов в T. Следовательно, S1 - подгруппа группы Ht .Так как S - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(Н), то по лемме 1 имеем 2S1 с S. Следовательно,r(Si) = r(2Si) < r(S). (*) Докажем, что при любом автоморфизме Xe Aut(Ht0) подгруппа 2S1 отображается в подгруппу S1. Для автоморфизма Xe Aut (Ht0) построим автоморфизмX' е Агй(Н) следующим образом: для любого элемента b е Н положим ntX'b = Xnt b ; nt.X'b = nt. b , если tj Ф t0 (nt. - проекция группы Н на подгруппуHtj).Рассмотрим элемент (s, ю) е S. Пусть X'(2s) = u. Тогда t(u) = t(2s) = t(s) = t0. Учитывая, что S1 - подгруппа группы Ht , получаем X'(2s) = Д(2s) и поэтомуu = X(2s).Так как Н1 - характеристическая подгруппа группы Н [8] и 2s е Н1, то u е Н1. Н ' - нормальная подгруппа голоморфа Г(Н) и, значит, 2s е Н ' (лемма 1). Имеем (0, X')(2s, s)(0, X')-1 = (X'(2s), s) = (u, s). Следовательно, u е Н '. Так как Н ' = pG, то существует элемент g е G, такой, что ug = u. Так как изоморфизм сохраняет типы, то t(g) = t0.Имеем g ё Gto (это следует из доказательства леммы 7). Значит u е S, поэтомуu е S1. Этим доказано, что для любого элемента s е S1 и любого автоморфизма Xe Aut (Ht0) элемент X(2s) е S1.Пусть {a,}; Е / - максимальная линейно независимая система элементов в Ht .Так как 2S1 Ф 0, то существует элемент x е 2S1, x Ф 0. Группа Ht0 - однородная,поэтому для любого i е I имеем t(a;) = t0. Так как t(x) = t0, то существуют числа W, и, е Z, такие, что x(w;«;) = x(nx).Группа Ht0 - транзитивна, поэтому существует автоморфизм q>e Aut (Hto),такой, что 9(n,x) = иад. Так как в силу доказанного ранее 9(2S1) с S1, то получаем, что для любого i е I иад е S1.Система {w, a,}, Е / - линейно независимая система элементов в группе S1. Следовательно, r(Sl) > r (Hto). Но S1 - подгруппа группы Ht0 , значит,r(Sx) < r (Hto). Из этих неравенств вытекает, что r(Sx) = r (Hto).По построению группы S имеем r (Gto) = r(S) . Применив неравенство (*), получим r (Gto) = r(S) > r(S1) = r (Hto). Таким образом, доказано, что r (Gto) > r (Hto).Аналогично доказывается, что r(Ht0) > r(Gt0).Сравнивая полученные неравенства, получаем, что r (Gto) = r (Hto). Следовательно, группы G и Н подобны.Теорема 10. Пусть G = П Gt , H = Ц Ht, где G, (t e Tj) и Н (t e T2) - однородные вполне разложимые группы и множества Tj и T2 состоят из попарно несравнимых типов. Если группы G и Н почти голоморфно изоморфны, то они изоморфны.Доказательство. Пусть A - произвольная однородная вполне разложимая группа; aj, a2 - ненулевые элементы группы A и x(aJ) = x(a2). Обозначим через (aj>* и (a2>* сервантные подгруппы, порожденные элементами aj и a2 соответственно. Подгруппы (aj>* и (a2>* имеют ранг 1 и один и тот же тип. Значит, (aj>* = (a2>*. Так как A - однородная сепарабельная группа, то каждая из групп (aj>* и (a2>* выделяется в ней прямым слагаемым ([6], предложение 87.2), то есть A = (aj>* Ф Aj, A = (a2>* Ф A2. Группы Aj и A2 - вполне разложимые группы ([6], теорема 86.7), являющиеся однородными группами одного и того же типа и одинакового ранга. Следовательно, Aj = A2.Понятно, что существует автоморфизм ф группы A, такой, что фа1 = a2.Так как любая группа Gt (t e Tj) и любая группа Нг (t e T2) являются однородными вполне разложимыми группами, то эти группы транзитивны. Следовательно, по теореме 9 группы G и Н подобны, то есть Tj = T2 и для всякого типа t e Tj r(Gt) = г(Н). Так как Gt и Нг - однородные вполне разложимые группы одинакового ранга, то Gt = Н, для всякого типа t e Tj. Значит, G = Н.Будем говорить, что группа G определяется в классе 5R своим голоморфом, если для любой группы Н из этого класса из голоморфного изоморфизма групп G и Н следует изоморфизм самих групп G и Н.Обозначим через 5R - класс групп, состоящий из всех прямых произведений однородных вполне разложимых групп с попарно несравнимыми типами.Следствие 11. Всякая группа из класса 5R определяется своим голоморфом в этом классе.

Скачать электронную версию публикации